9～14歲兒童概率認(rèn)知與四類認(rèn)知的關(guān)系研究

鞏子坤，殷文娣，何聲清

(1． 杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036； 2. 北京師范大學(xué)教育學(xué)部，北京 100875)

9～14歲兒童概率認(rèn)知與四類認(rèn)知的關(guān)系研究

鞏子坤1，殷文娣1，何聲清2

(1． 杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036； 2. 北京師范大學(xué)教育學(xué)部，北京 100875)

以622名9～14歲兒童為被試，考察概率認(rèn)知與一般認(rèn)知、排列認(rèn)知、組合認(rèn)知及演繹推理認(rèn)知的關(guān)系.結(jié)果表明，4類認(rèn)知與概率認(rèn)知在發(fā)展階段上存在一致性，大都經(jīng)歷了緩慢發(fā)展(9～10歲)、快速發(fā)展(11～12歲)、停滯發(fā)展/倒退發(fā)展(13～14歲)3個(gè)階段.組合認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知的影響最大，一般認(rèn)知和演繹推理認(rèn)知的影響次之，排列認(rèn)知的影響不顯著.一般認(rèn)知、組合認(rèn)知、演繹推理認(rèn)知對(duì)5個(gè)概率任務(wù)均有顯著影響，而排列認(rèn)知的影響未達(dá)顯著.

概率認(rèn)知；一般認(rèn)知；排列認(rèn)知；組合認(rèn)知；演繹推理認(rèn)知

0 引言

“概率”是描述和刻畫不確定現(xiàn)象的工具，它幫助人們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象作出理性判斷[1].概率素養(yǎng)已作為新課程背景下的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一被提上議程[2-3].我國數(shù)學(xué)新課程也將概率內(nèi)容作為三大內(nèi)容領(lǐng)域之一[4-5].然而一線教學(xué)實(shí)踐[6-7]和相關(guān)實(shí)證研究[8-11]都一再表明，兒童對(duì)概率的理解存在困難，教師對(duì)該部分內(nèi)容的教學(xué)也常常不適應(yīng).

兒童對(duì)概率的理解為何存在困難？哪些因素影響了兒童對(duì)概率概念的發(fā)展？結(jié)合已有理論和研究，兒童的概率認(rèn)知受以下3個(gè)因素的影響較大.

第一個(gè)因素是兒童的一般認(rèn)知發(fā)展.方富熹等[12]認(rèn)為，兒童各種認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展是其認(rèn)知發(fā)展的重要方面，也是其完成其他相關(guān)認(rèn)知活動(dòng)的心理基礎(chǔ).一般認(rèn)知發(fā)展對(duì)概率認(rèn)知發(fā)展的影響體現(xiàn)在各個(gè)方面：Piaget等[13]認(rèn)為，兒童隨機(jī)觀念的形成是以認(rèn)知“不可逆性”為標(biāo)志的，直到理解了可逆運(yùn)算之后，他們才能理解隨機(jī)概念.Batanero等[14]認(rèn)為，兒童的概率認(rèn)知有賴于其對(duì)隨機(jī)事件“獨(dú)立性”的理解，如果他們難于意識(shí)到兩個(gè)獨(dú)立事件本質(zhì)上是相互獨(dú)立的，則常常會(huì)把它們建立人為的聯(lián)系.Vahey等的研究[15]認(rèn)為，在理解概率之前，兒童應(yīng)起碼認(rèn)識(shí)到它是可以被事先理論計(jì)算或估計(jì)的.章建躍[16]認(rèn)為，統(tǒng)計(jì)思維依賴于辯證思維的發(fā)展，而辯證思維從14歲才開始萌芽，因此不可過早引入統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容.除上述方面以外，兒童因果思維的發(fā)展也是影響概率認(rèn)知的一個(gè)重要因素[17-19]，兒童常常傾向于訴諸“因果”思維來解釋“隨機(jī)”問題.

第二個(gè)因素是兒童演繹思維的發(fā)展.Piaget等[13]認(rèn)為，兒童在12歲之前主要發(fā)展了隨機(jī)性等基本概念，對(duì)于概率的量化則只能到了形式運(yùn)演階段在邏輯演繹能力的基礎(chǔ)上得以發(fā)展.Copeland[20]也指出，“概率思維是在形式運(yùn)算水平發(fā)展起來的.形式運(yùn)算是更加抽象的運(yùn)算，它要求假設(shè)演繹的能力.我們所進(jìn)行的每一項(xiàng)研究都使我們期望相同的結(jié)論：概率思維的形成是以一種非常嚴(yán)格的方式依賴于演繹能力的進(jìn)步的.”筆者以往的研究[21]也表明，兒童的概率認(rèn)知與演繹推理認(rèn)知之間有顯著的相關(guān)性，且它們的發(fā)展趨勢(shì)基本一致.

第三個(gè)因素是兒童組合認(rèn)知的發(fā)展.Piaget等[13]認(rèn)為，到了學(xué)習(xí)復(fù)合概率的階段，兒童的概率認(rèn)知不可避免地受到組合認(rèn)知的影響，“兒童從11，12歲開始將概率的概念建立在可能的組合數(shù)之上，能夠進(jìn)行精確的計(jì)算了.因?yàn)闄C(jī)遇與概率的概念本質(zhì)上是組合性的.”古典概率具有先驗(yàn)性，在推演和計(jì)算上依賴于其對(duì)樣本空間的理解[22-23].而在復(fù)合事件的情境下，構(gòu)造樣本空間的過程實(shí)質(zhì)上是對(duì)各個(gè)可能結(jié)果做組合的過程[24-25]，因此組合認(rèn)知在概率認(rèn)知中扮演著重要知識(shí)基礎(chǔ)的角色.

排列認(rèn)知與組合認(rèn)知有著密切的聯(lián)系：排列是有序的組合，組合是無序的排列.與組合認(rèn)知一樣，排列認(rèn)知對(duì)兒童的概率認(rèn)知也可能有一定影響.

以上初步厘清了影響兒童概率認(rèn)知的4個(gè)因素.然而，概率認(rèn)知與以上認(rèn)知(因素)有多大程度的相關(guān)性？這些認(rèn)知是如何影響兒童的概率認(rèn)知的？本研究探查一般認(rèn)知、排列認(rèn)知、組合認(rèn)知、演繹推理認(rèn)知(簡稱4類認(rèn)知)對(duì)兒童概率認(rèn)知的影響，細(xì)言之，概率認(rèn)知與4類認(rèn)知發(fā)展的一致性，以及4類認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知影響的權(quán)重.

1 研究方法

1.1 被試

采用分層取樣的方式，選取浙江省杭州市城區(qū)(207名)、城鄉(xiāng)接合地區(qū)(211名)及農(nóng)村地區(qū)(204名)3個(gè)類型學(xué)校的9～14歲被試共計(jì)622名.之所以選擇9歲兒童作為研究的起始年齡，是因?yàn)橛嘘P(guān)研究[26-27]表明，9歲是演繹推理發(fā)展的萌芽時(shí)期，也是概率認(rèn)知發(fā)展的重要時(shí)期.

1.2 調(diào)查問卷設(shè)計(jì)

1.2.1 概率認(rèn)知問卷

由于該研究是對(duì)筆者以往研究的深化，本部分問卷延續(xù)了文[21]的設(shè)計(jì).具體而言，它包含4套題目，每一套題目包含5個(gè)概率認(rèn)知任務(wù)，即認(rèn)知隨機(jī)性、認(rèn)知隨機(jī)分布、隨機(jī)性大小的模糊認(rèn)知(簡稱模糊認(rèn)知)、用整數(shù)表示可能性的大小(簡稱數(shù)量化)、用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小(簡稱分?jǐn)?shù)表示).

1.2.2 一般認(rèn)知問卷

該問卷采用“兒童認(rèn)知發(fā)展水平診斷工具(IPDT)”[12，28-29].IPDT包括5個(gè)問題領(lǐng)域，各包含2～5個(gè)子測(cè)驗(yàn)，共有18個(gè)子測(cè)驗(yàn).每個(gè)子測(cè)驗(yàn)包含4個(gè)題目，問卷共計(jì)72個(gè)題目.IPDT的具體結(jié)構(gòu)如表1.

表1 IPDT紙筆測(cè)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)Tab. 1 Structure of IPDT test

1.2.3 排列認(rèn)知問卷

1.2.4 組合認(rèn)知問卷

1.2.5 演繹推理認(rèn)知問卷

本部分問卷同樣延續(xù)了文[21]的設(shè)計(jì).研究者選取了較容易理解的充分條件假言推理.基于方富熹等[26]的問卷并進(jìn)行適當(dāng)改編后，設(shè)置了2套題目.以其中第1套題為例：所有的孩子得到一輛自行車，都會(huì)高興.孩子小莉得到一輛自行車，小莉高興嗎？

1.3 程序與計(jì)分

一般認(rèn)知問卷采用電腦測(cè)試，其他認(rèn)知問卷采用紙筆測(cè)試.被試對(duì)每一問題的反應(yīng)按照0，1兩級(jí)計(jì)分(正確計(jì)1分，錯(cuò)誤計(jì)0分).

2 結(jié)果與分析

2.1 信度和效度

以Cronbach α系數(shù)為指標(biāo)，分別考察各套問卷的內(nèi)部一致性系數(shù).結(jié)果顯示，概率認(rèn)知問卷(α=0.870)、一般認(rèn)知問卷(α=0.914)、排列認(rèn)知問卷(α=0.859)、組合認(rèn)知問卷(α=0.714)及演繹推理認(rèn)知問卷(α=0.877)均具有較高的同質(zhì)性信度.

效度檢驗(yàn)表明，各套問卷內(nèi)部測(cè)試項(xiàng)目的得分與總得分的相關(guān)性以及各測(cè)試項(xiàng)目之間的相關(guān)性(概率認(rèn)知問卷，r=0.287～0.818；一般認(rèn)知問卷，r=0.489～0.860；排列認(rèn)知問卷，r=0.351～0.818；組合認(rèn)知問卷，r=0.264～0.757；演繹推理認(rèn)知問卷，r=0.427～0.885)都達(dá)到了顯著水平(p<0.01)，表明各問卷均具有良好的結(jié)構(gòu)效度.

2.2 概率認(rèn)知與4類認(rèn)知得分的描述統(tǒng)計(jì)

為驗(yàn)證4類認(rèn)知影響兒童概率認(rèn)知的假設(shè)，首先對(duì)概率認(rèn)知與4類認(rèn)知進(jìn)行了描述統(tǒng)計(jì)(表2).

表2 9～14歲兒童概率認(rèn)知與4類認(rèn)知的得分比較(得分率)Tab. 2 Comparison between probability cognition and the other topics’ cognition for 9 to 14 years (scoring rate)

從表2可以看出，兒童的概率認(rèn)知與4類認(rèn)知的發(fā)展整體上呈現(xiàn)出上升趨勢(shì)，且9～10歲是緩慢發(fā)展階段，10～12歲是較快發(fā)展階段，12～14歲是停滯發(fā)展甚至是倒退發(fā)展階段.概率認(rèn)知與4類認(rèn)知的整體發(fā)展趨勢(shì)是一致的.

2.3 概率認(rèn)知與4類認(rèn)知的關(guān)系

2.3.1 概率認(rèn)知與4類認(rèn)知的相關(guān)性

對(duì)4類認(rèn)知與概率認(rèn)知進(jìn)行相關(guān)分析，結(jié)果表明，概率認(rèn)知與一般認(rèn)知(r=0.487)、排列認(rèn)知(r=0.287)、組合認(rèn)知(r=0.549)及演繹推理認(rèn)知(r=0.362)的相關(guān)系數(shù)均達(dá)到顯著性水平(p<0.001).

2.3.2 概率認(rèn)知與4類認(rèn)知發(fā)展階段的一致性

概率認(rèn)知發(fā)展階段.根據(jù)已有研究[21]，9～14歲兒童概率認(rèn)知發(fā)展可以分為3個(gè)階段：緩慢發(fā)展階段(9～10歲)，得分率增加但沒有顯著性差異；快速發(fā)展階段(11～12歲)，得分率增加且有顯著性差異；停滯發(fā)展階段(13～14歲)，得分率減少但沒有顯著性差異.

一般認(rèn)知發(fā)展階段.以學(xué)生的年齡為自變量，以一般認(rèn)知總得分為因變量，進(jìn)行單因素方差分析.結(jié)果表明，F(xiàn)(5，616)=50.578，p<0.001，不同的年齡組間存在顯著性差異.多重比較表明，11歲與12、13歲之間，12歲與13、14歲之間，13與14歲之間，差異不顯著(p>0.05)；其余年齡之間的差異顯著(p<0.05).結(jié)合描述統(tǒng)計(jì)，9～14歲兒童一般認(rèn)知發(fā)展可以分為2個(gè)階段：9～11歲為快速發(fā)展階段；12～14歲為緩慢發(fā)展階段.

排列認(rèn)知發(fā)展階段.以兒童的年齡為自變量，排列認(rèn)知總得分為因變量，進(jìn)行單因素方差分析.結(jié)果表明，Welch(5，286.548)=4.302，p<0.01，不同的年齡組間存在顯著性差異.多重比較表明，只有9歲兒童與12歲、13歲兒童之間存在顯著性差異(p<0.01)，其余年齡之間的差異不顯著(p>0.05).結(jié)合描述統(tǒng)計(jì)，9～14歲兒童排列認(rèn)知發(fā)展可以分為2個(gè)階段：9～12歲為緩慢發(fā)展階段；13～14歲為停滯發(fā)展階段.

組合認(rèn)知發(fā)展階段.以兒童的年齡為自變量，組合認(rèn)知總得分為因變量，單因素方差分析結(jié)果表明，Welch(5，285.086)=14.804，p<0.01，不同的年齡組間存在著非常顯著的差異.多重比較表明，9、10、11歲兒童都與12、13歲兒童之間存在顯著性差異(p<0.05)，12、13歲兒童都與14歲兒童之間存在顯著性差異(p<0.05)，其余年齡之間不存在顯著性差異(p>0.05).結(jié)合描述統(tǒng)計(jì)，9～14歲兒童組合認(rèn)知發(fā)展可以分為4個(gè)階段：緩慢發(fā)展階段(9～11歲)；快速發(fā)展階段(12歲)；停滯發(fā)展階段(13歲)；倒退發(fā)展階段(14歲).

演繹推理認(rèn)知發(fā)展階段.根據(jù)文[21]結(jié)果，9～14歲兒童演繹推理認(rèn)知發(fā)展可以分為4個(gè)階段：緩慢發(fā)展階段1(9～10歲)；快速發(fā)展階段(11歲)；緩慢發(fā)展階段2(12～13歲)；停滯發(fā)展階段(14歲).

對(duì)概率認(rèn)知與4類認(rèn)知的發(fā)展階段進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表3.

表3 4類認(rèn)知與概率認(rèn)知發(fā)展階段的比較Tab. 3 Comparison of developmental stages between probability cognition and the other topics’ cognition

可見，概率認(rèn)知與4類認(rèn)知大都經(jīng)歷了緩慢發(fā)展(9～10歲)、快速發(fā)展(11～12歲)、停滯發(fā)展/倒退發(fā)展(13～14歲)3個(gè)階段.特別地，在第3個(gè)階段，除一般認(rèn)知出現(xiàn)了緩慢發(fā)展外，其他認(rèn)知均出現(xiàn)了停滯與倒退發(fā)展.除排列認(rèn)知之外，組合認(rèn)知、演繹推理認(rèn)知、一般認(rèn)知、概率認(rèn)知發(fā)展的重要時(shí)期均出現(xiàn)在11歲左右.綜上，無論是發(fā)展的趨勢(shì)，還是發(fā)展的重要時(shí)期，概率認(rèn)知與其他4類認(rèn)知均具有一致性.

2.4 影響兒童概率認(rèn)知發(fā)展的關(guān)鍵因素分析

2.4.1 4類認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知的影響

以4類認(rèn)知為預(yù)測(cè)變量，概率認(rèn)知為被預(yù)測(cè)變量，進(jìn)行多元回歸分析.結(jié)果表明，F(xiàn)(4，616)=129.958，p<0.001，4類認(rèn)知與概率認(rèn)知存在顯著的線性關(guān)系.標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)表明，4類認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知的影響權(quán)重依次為：組合認(rèn)知43.9%，一般認(rèn)知27.0%，演繹推理認(rèn)知16.9%，排列認(rèn)知8.6%.相應(yīng)的回歸方程為：

概率認(rèn)知=3.119+0.080(一般認(rèn)知)+0.346(排列認(rèn)知)+1.648(組合認(rèn)知)+0.314(演繹推理認(rèn)知).

2.4.2 4類認(rèn)知對(duì)5個(gè)概率認(rèn)知任務(wù)的影響

相關(guān)分析表明，4類認(rèn)知與5個(gè)概率認(rèn)知任務(wù)有顯著性相關(guān)(r=0.082～0.435).以4類認(rèn)知為預(yù)測(cè)變量，5個(gè)概率認(rèn)知任務(wù)分別為被預(yù)測(cè)變量，進(jìn)行多元回歸分析.表4中R2值表明：4類認(rèn)知對(duì)于模糊認(rèn)知、分?jǐn)?shù)表示、數(shù)量化3個(gè)認(rèn)知任務(wù)的回歸關(guān)系比較密切，而對(duì)于認(rèn)知隨機(jī)分布與認(rèn)知隨機(jī)性回歸關(guān)系一般.由于前三者主要涉及到概率的定量化，因此總體而言，4類認(rèn)知在解釋概率的定量化認(rèn)知方面有效，而在解釋隨機(jī)性認(rèn)知方面效果一般.

標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)表明：演繹推理認(rèn)知、排列認(rèn)知、一般認(rèn)知顯著影響了認(rèn)知隨機(jī)性，組合認(rèn)知不顯著影響認(rèn)知隨機(jī)性；一般認(rèn)知、排列認(rèn)知顯著影響了認(rèn)知隨機(jī)分布，演繹推理認(rèn)知沒有影響認(rèn)知隨機(jī)分布；一般認(rèn)知、組合認(rèn)知、演繹推理認(rèn)知顯著影響了模糊認(rèn)知、數(shù)量化及分?jǐn)?shù)表示，而排列認(rèn)知對(duì)上述方面的影響不顯著.

表4 4類認(rèn)知對(duì)5個(gè)概率認(rèn)知任務(wù)的回歸分析Tab. 4 Regression analysis of the 4 topics’ cognition to the 5 probability sub-concepts’ cognition

*，p<0.05；**,p<0.01；***，p<0.001.

相應(yīng)的回歸方程分別為：

認(rèn)知隨機(jī)性=2.582+0.080(一般認(rèn)知)+0.124(排列認(rèn)知)+0.124(組合認(rèn)知)+0.079(演繹推理認(rèn)知)；

認(rèn)知隨機(jī)分布=1.007+0.116(排列認(rèn)知)+0.019(一般認(rèn)知)；

模糊認(rèn)知=-0.126+0.035(一般認(rèn)知)+0.086(排列認(rèn)知)+0.228(組合認(rèn)知)+0.073(演繹推理認(rèn)知)；

數(shù)量化=0.587+0.016(一般認(rèn)知)+0.047(排列認(rèn)知)+0.231(組合認(rèn)知)+0.075(演繹推理認(rèn)知)；

分?jǐn)?shù)表示=0.076+0.021(一般認(rèn)知)+0.089(排列認(rèn)知)+0.179(組合認(rèn)知)+0.087(演繹推理認(rèn)知).

綜上所述，一般認(rèn)知、組合認(rèn)知、演繹推理認(rèn)知顯著影響了不同的概率認(rèn)知任務(wù)；排列認(rèn)知的影響通常不顯著.這個(gè)結(jié)果與4類認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知的影響是基本一致的.

2.4.3 3個(gè)概率認(rèn)知發(fā)展階段4類認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知的影響

相關(guān)分析表明，3個(gè)發(fā)展階段，4類認(rèn)知與概率認(rèn)知存在顯著性相關(guān)(r=0.214～0.560).以4類認(rèn)知為預(yù)測(cè)變量，3個(gè)發(fā)展階段的概率認(rèn)知為被預(yù)測(cè)變量，分別進(jìn)行多元回歸分析.由表5中R2值可知：3個(gè)發(fā)展階段，4類認(rèn)知對(duì)于概率認(rèn)知的回歸關(guān)系密切.這個(gè)結(jié)果與整個(gè)發(fā)展階段的結(jié)果是一致的.

標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)表明：在緩慢發(fā)展階段，4類認(rèn)知均顯著影響了概率認(rèn)知，組合認(rèn)知的影響最大，排列認(rèn)知的影響最小.在快速發(fā)展階段和停滯發(fā)展階段，組合認(rèn)知、一般認(rèn)知、演繹推理認(rèn)知顯著影響了概率認(rèn)知，排列認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知無顯著影響.

表5 3個(gè)發(fā)展階段4類認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知的回歸分析

*，p<0.05；**,p<0.01；***，p<0.001.

以上分析表明：在不同的概率認(rèn)知發(fā)展階段，組合認(rèn)知、一般認(rèn)知、演繹推理認(rèn)知顯著影響了概率認(rèn)知，排列認(rèn)知的影響通常不顯著.這個(gè)結(jié)果與概率認(rèn)知整個(gè)發(fā)展階段4類認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知的影響是一致的，也與4類認(rèn)知對(duì)5個(gè)概率認(rèn)知任務(wù)的影響是一致的.

3 討論與建議

3.1 4類認(rèn)知與概率認(rèn)知存在顯著相關(guān)性，且在發(fā)展階段上存在一致性

對(duì)于9～14歲的兒童而言，概率認(rèn)知45.4%的變異可以由以上4類認(rèn)知解釋，其中組合認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知的影響最大，一般認(rèn)知、演繹推理認(rèn)知次之，排列認(rèn)知的影響最小.這個(gè)結(jié)果與4類認(rèn)知對(duì)5個(gè)概率認(rèn)知任務(wù)的影響是一致的，也與3個(gè)概率認(rèn)知發(fā)展階段中4類認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知的影響一致.4類認(rèn)知對(duì)于9～14歲兒童概率認(rèn)知、不同概率任務(wù)的認(rèn)知及3個(gè)發(fā)展階段概率認(rèn)知的影響權(quán)重基本是一致的(表6).

表6 4類認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知的綜合影響Tab. 6 The comprehensive impact of the 4 topics’ cognition to probability cognition

排列認(rèn)知的影響不顯著，這也許與排列認(rèn)知問卷有關(guān)：3套排列題目相對(duì)簡單，9～14歲兒童的平均得分率是88%，即便是9歲的兒童得分率也達(dá)到了80%，從而測(cè)試結(jié)果出現(xiàn)了“天花板效應(yīng)”.筆者相信，如果對(duì)排列認(rèn)知問卷進(jìn)行完善，也許會(huì)得到不同的結(jié)果.

3.2 組合認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知影響最大

無論是對(duì)概率認(rèn)知的影響，還是不同發(fā)展階段對(duì)概率認(rèn)知的影響，組合認(rèn)知均成為了第一要素，說明組合認(rèn)知的確在概率認(rèn)知發(fā)展中扮演十分重要的角色，這也得到了眾多研究[13，24]的支撐.正是因?yàn)榻M合認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知的影響最大，所以在學(xué)習(xí)概率之前，應(yīng)將組合作為預(yù)備知識(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)臐B透和啟蒙.人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材二年級(jí)上冊(cè)第八章的“數(shù)學(xué)廣角”就設(shè)計(jì)了此類問題：用一角、兩角、五角買一本五角的拼音本，有幾種買法[30]？車亮的研究表明，即使是年齡很小的孩子也能夠在教師的指導(dǎo)下有效地應(yīng)對(duì)組合問題[31].當(dāng)然，即便是發(fā)展水平最高的12歲兒童，其組合認(rèn)知得分率也才達(dá)到68%.對(duì)于兒童的組合認(rèn)知，不可有過高要求.

3.3 一般認(rèn)知、演繹推理認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知影響較大

一般認(rèn)知對(duì)概率認(rèn)知的影響權(quán)重僅次于組合認(rèn)知.筆者發(fā)現(xiàn)，城市、城鄉(xiāng)、農(nóng)村兒童概率認(rèn)知之間、一般認(rèn)知之間沒有顯著性差異[28].這表明，盡管城市兒童比城鄉(xiāng)及農(nóng)村兒童有更多的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，但是由于概率認(rèn)知與一般認(rèn)知密切相關(guān)，常規(guī)知識(shí)與技能學(xué)習(xí)沒有影響兒童的概率認(rèn)知與一般認(rèn)知.

相對(duì)于主觀概率，客觀概率可以進(jìn)一步分為理論概率與實(shí)驗(yàn)概率.理論概率的一個(gè)例子就是古典概型，古典概率具有先驗(yàn)性，它可以事先通過隨機(jī)分布(樣本空間)進(jìn)行理論計(jì)算，而“列舉所有可能結(jié)果個(gè)數(shù)(構(gòu)建樣本空間)→鎖定目標(biāo)結(jié)果的個(gè)數(shù)→將其與所有可能結(jié)果的個(gè)數(shù)做對(duì)比”的過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)演繹推理的過程.

3.4 本研究的理論貢獻(xiàn)及應(yīng)用價(jià)值

本研究詳細(xì)探查了4類認(rèn)知與概率認(rèn)知的發(fā)展階段一致性，4類認(rèn)知在概率認(rèn)知不同發(fā)展階段的影響及其權(quán)重，以及4類認(rèn)知對(duì)不同概率任務(wù)認(rèn)知的影響及其權(quán)重.以往研究多從理論上論述概率認(rèn)知的可能影響因素[16]，或者僅證實(shí)了某個(gè)單一因素與概率認(rèn)知的相關(guān)性[21]，缺乏對(duì)多種影響因素及其權(quán)重的綜合考察，更缺乏對(duì)概率認(rèn)知發(fā)展不同階段的主導(dǎo)影響因素的深入探索，亦沒有就上述因素對(duì)不同概率任務(wù)的影響進(jìn)行綜合考察與對(duì)比.本研究綜合探查了影響概率認(rèn)知的因素.

除了上述理論貢獻(xiàn)以外，本研究對(duì)當(dāng)前中小學(xué)概率內(nèi)容的教學(xué)有以下參考.第一，尊重兒童概率認(rèn)知發(fā)展的客觀規(guī)律及其局限.兒童的概率認(rèn)知發(fā)展不是一蹴而就的，Piaget的研究[13]表明兒童在不同階段發(fā)展的內(nèi)容不同，本研究則進(jìn)一步表明不同階段所依賴的知識(shí)基礎(chǔ)不同.兒童概率知識(shí)的學(xué)習(xí)是伴隨著其他數(shù)學(xué)分支同步進(jìn)行的，教學(xué)要明確各個(gè)階段概率內(nèi)容所依賴的相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生的概率學(xué)習(xí)建立在可靠的知識(shí)基礎(chǔ)之上.第二，區(qū)分不同因素對(duì)不同概率任務(wù)認(rèn)知的影響.兒童對(duì)5個(gè)概率任務(wù)的發(fā)展時(shí)機(jī)和速度均有所差異，并且對(duì)某些任務(wù)的認(rèn)知不太依賴該4個(gè)因素的發(fā)展而對(duì)另一些任務(wù)的認(rèn)知?jiǎng)t非常依賴，這需要在教學(xué)中加以區(qū)分.例如，兒童的隨機(jī)性認(rèn)知對(duì)組合認(rèn)知的依賴性相對(duì)不高，而概率大小的數(shù)量化則對(duì)組合認(rèn)知的依賴性較高.這說明，有關(guān)概率定量的內(nèi)容(概率比較、概率計(jì)算、樣本空間等)一般需要建立在組合內(nèi)容的學(xué)習(xí)之上，而有關(guān)隨機(jī)思維的培養(yǎng)則可以更早地進(jìn)行.

[1] CLEMEN R, GREGORY R. Preparing adult students to be better decision makers[C]//GAL I. Adult Numeracy Development: Theory, Research and Practice. Cresskill: Hampton Press,2000:73-86.

[2] GAL I. Adults’ statistical literacy: meanings, components, responsibilities[J]. International Statistical Review,2002,70(1):1-25.

[3] NILSSON P, LI J. Teaching and learning of probability[C]//CHO S J. The Proceedings of the 12th International Congress on Mathematical Education. New York: Springer,2015:437-442.

[4] 中華人民共和國教育部．全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿) [M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2001．

[5] 中華人民共和國教育部．全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

[6] 李小燕.小學(xué)課改中的統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)問題探析[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2011(4)：22-23.

[7] 徐達(dá)育．概率問題求解中的典型錯(cuò)誤剖析與教學(xué)對(duì)策[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2014(11)：46-49．

[8] 鞏子坤，宋乃慶.“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)：反思與建議[J].人民教育，2006(21)：24-27.

[9] 高海燕．6～12歲兒童對(duì)概率概念的理解[D]．杭州：杭州師范大學(xué)，2011．

[10] 閆炳霞．小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)中的問題研究[D]．重慶：西南大學(xué)，2007．

[11] 丁楓．初中階段概率教學(xué)問題分析及策略研究[D]．濟(jì)南：山東師范大學(xué)，2008．

[12] 方富熹，蓋笑松，張麗錦．皮亞杰認(rèn)知發(fā)展量表(IPDT)中國城市常模的制訂[J]．中國心理衛(wèi)生雜志，2005，19(12)：789-792．

[13] PIAGET J, INHELDER B. The origin of the idea of chance in children[M]. New York: Norton,1975.

[14] BATANERO C, SERRANO L. The meaning of randomness for secondary students[J]. Journal for Research in Mathematics Education,1999,30(5):558-567.

[15] VAHEY P， ENYEDY N， GIFFORD B. Learning probability through the use of a collaborative, inquiry-based simulation environment[J]. Journal of Interactive Learning Research,2000,11(1):51-84.

[16] 章建躍．?dāng)?shù)學(xué)教育改革中幾個(gè)問題的思考[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2005，44(6)：6-10．

[17] NICOLSON C P. Is chance fair? One student’s thoughts on probability[J]. Teaching Children Mathematics,2005,12(2):83-89.

[18] METZ K E. Emergent understanding and attribution of randomness: comparative analysis of the reasoning of primary grade children and undergraduates[J]. Cognition and Instruction,1998,16(3):285-365.

[19] 鞏子坤，何聲清．7～14歲兒童隨機(jī)性認(rèn)知的發(fā)展[J]．應(yīng)用心理學(xué)，2016，22(4)：343-351．

[20] COPELAND R W．兒童怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)[M]．李其維，康清鑣，譯.上海：上海教育出版社，1985．

[21] 鞏子坤，何衛(wèi)國，王海．9～14歲兒童演繹推理認(rèn)知與概率認(rèn)知的相關(guān)性研究[J]．杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，12(3)：274-277．

[22] SHAUGHNESSY J M. Research on students’ understandings of probability[C]//KILPATRICK J, MARTIN W G, SCHIFTER D. A Research Companion to Principles and Standards for School Mathematics. Reston: National Council of Teachers of Mathematics,2003:216-226.

[23] 何聲清，鞏子坤．11～14歲學(xué)生關(guān)于可能性比較的認(rèn)知發(fā)展研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22(5)：57-61．

[24] BATANERO C, NAVARRO P V, GODINO J D. Effect of the implicit combinatorial model on combinatorial reasoning in secondary school pupils[J]. Educational Studies in Mathematics,1997,32(2):181-199.

[25] FISCHBEIN E, GROSSMAN A. Schemata and intuitions in combinatorial reasoning[J]. Educational Studies in Mathematics,1997,34(1):27-47.

[26] 方富熹，方格，朱莉琪．“如果P，那么Q，……?”:兒童充分條件假言演繹推理能力發(fā)展初探[J]．心理學(xué)報(bào)，1999，31(3)：322-329．

[27] 劉范，張?jiān)鼋埽畠和J(rèn)知發(fā)展與教育[M]．北京：人民教育出版社，1987．

[28] 鞏子坤.兒童的概率認(rèn)知發(fā)展研究[D].杭州：浙江大學(xué)，2012.

[29] PATTERSON H O, MILAKOFSKY L. A paper and pencil inventory for the assessment of Piaget’s tasks[J]. Applied Psychological Measurement,1980,4(3):341-353.

[30] 盧江，楊剛．義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)(二年級(jí)(上))[M]．北京：人民教育出版社，2010．

[31] 車亮．小學(xué)二年級(jí)學(xué)生“排列組合”學(xué)習(xí)過程與特征刻畫研究[D]．杭州：杭州師范大學(xué)，2014．

OntheRelationsamongProbabilityCognitionandFourTypesCognitioninChildrenof9to14YearsOld

GONG Zikun1, YIN Wendi1, HE Shengqing2

(1. School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China; 2. Faculty of Education, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

This study selected 622 children aged 9 to 14 as the subjects and focused on the relations among probability cognition and general cognition, arrangement cognition, combination cognition as well as deductive reasoning cognition. The results showed that four types cognition and probability cognition basically experienced 3 stages: slow development, 9 to 10 years old; rapid development, 11 to 12 years old; stagnation development/backward development, 13 to 14 years old. Combination cognition affected probability cognition most and followed by general cognition and deductive reasoning cognition, while arrangement cognition did not affect probability cognition significantly. General cognition, deductive reasoning cognition and combination cognition significantly affected on the 5 probability tasks while arrangement cognition did not affect them significantly.

probability cognition; general cognition; arrangement cognition; combination cognition; deductive reasoning

2017-03-27

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目(15YJA880020).

鞏子坤(1966-)，男，教授，博士，主要從事數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究.E-mail:zkgong@163.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.06.003

B844

A

1674-232X(2017)06-0580-07