揭示解題方法的數(shù)學(xué)本質(zhì) 改進數(shù)學(xué)解題教學(xué)

孔德宏 賀政剛

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650092)

在中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師往往只是講了一道題的多種解法，而對為什么可以這樣解(解法的依據(jù))，以及解法的數(shù)學(xué)本質(zhì)往往揭示得不夠，呈現(xiàn)出課堂解題教學(xué)熱熱鬧鬧、方法多樣的表象.但這樣的解題教學(xué)事實上卻是低效甚至無效的，本質(zhì)上也是有害學(xué)生學(xué)習(xí)的.本文以一個問題(已知一條二次曲線，求一次式的最值)的三種典型解法為例，談?wù)剶?shù)學(xué)解題教學(xué)中如何揭示解法的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而改進數(shù)學(xué)解題教學(xué).

問題已知x2+y2-xy=3,求2x+y的最大值.

分析由于條件是一個二次式，很難把這個二次式直接代入目標(biāo)式.于是大體有兩種思路：一是令2x+y=t,把該一次式反向代回條件消y，得到關(guān)于x的二次方程，進而用判別式法求t的最大值；二是改變看問題的角度，想辦法轉(zhuǎn)化條件,使之可以正向代入目標(biāo)式子中,以達到消元的目的，進而解決問題.正向代入又有兩種思路：一是借助余弦定理；二是借助坐標(biāo)變換.

由正弦定理

于是

2a+b=2·2sinA+2sinB

評析由于條件是一個二次式，很難把這個二次式直接代入目標(biāo)式子.于是根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)，創(chuàng)造性地使用余弦定理，把一個一般的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題.接下來使用正弦定理，把條件“直接正向”代入目標(biāo)式子，達到了消元的目的，最后解決問題.

對于解法1，學(xué)生一方面感受到了知識間縱橫聯(lián)系之美，方法之妙外，也許還會有一些疑慮和顧忌：還有沒有其他情形？這樣解會不會用特殊代替了一般？

變式不妨把問題改為已知x2+y2-xy=3,求y-x的最大值.

仍然沿用解法1的解法，則

y-x=b-a

=2sinB-2sinA

事實上，用解法1來解本類問題有很多的局限，比如，為了使用余弦定理，條件就必須是二次齊次式等于常數(shù)的形式，即形如mx2+ny2+pxy=q的式子.

解法2(判別式法)令2x+y=t,

消y得7x2-5tx+t2-3=0

①

因為①式是關(guān)于x的二次方程，并且有實數(shù)解.

所以Δ=(-5t)2-4×7×(t2-3)≥0，

評析直接把條件正向代入目標(biāo)式子很困難，這里逆向思維為之，令2x+y=t后，把目標(biāo)反向代入條件消y，得到關(guān)于x的二次方程，進而用判別式法求t的最大值.

上述思考看起來很有道理，但事實上果真如此嗎？答案是否定的，解法2是完全正確的.

我們不妨從解析幾何的角度進行分析：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，2x+y=t為一組平行直線，記為l；x2+y2-xy=3為一條圓錐曲線，記為τ.由解析幾何的知識知l與τ有交點的充要條件為方程①有實數(shù)解，進而等價于Δ≥0，且此時交點的橫坐標(biāo)x一定在自然定義域D上.所以，上述思考中的檢驗是多余的，也就是說今后在已知二次曲線，求一次式的最值時，只需用Δ≥0解出即可,并不需要檢驗.

另一類易犯的錯誤如果教師在解法2的教學(xué)過程中，不說清楚為什么不需要考慮x的限制條件的本質(zhì)原因，那么這又會帶來另一類錯誤，即無視x的取值范圍，比如我們對題目進行一點改變：已知x2+y2-xy=3,且-1≤x≤1，求2x+y的最大值.

令f(x)=7x2-5tx+t2-3，則問題轉(zhuǎn)化為f(x)在[-1,1]有解，求t最大值.

解得-4≤t≤4，故t的最大值為4，即2x+y的最大值為4.

所以教師在解法2的教學(xué)過程中，應(yīng)對x的取值范圍的作用進行深入揭示，并概括出結(jié)論：當(dāng)二次曲線的x的范圍為自然定義域時，我們可以直接用Δ≥0求出t的范圍；當(dāng)二次曲線的x的范圍不是自然定義域時，在設(shè)出t后，通常要用二次方程根的分布加以解決.

解法3(坐標(biāo)變換+三角換元)令

②

的最大值.

評析問題中的二次曲線含交叉乘積項，而通過坐標(biāo)變換②，使得交叉項消失了，接下來就可以利用三角換元法快速得到答案，解法不得不說是很精彩的.但這樣的解題教學(xué)，除了讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)是從天而降的，神奇、難學(xué)和不解外；除了讓學(xué)生對教師能想出這樣的解法而感到膜拜外，并沒有任何教學(xué)價值.為什么可以這樣換元？一定要這樣換元嗎？學(xué)生一點也不清晰，從而對這類問題的解題能力沒有任何提升.

實際上解法3的背景是幾何變換中的轉(zhuǎn)軸變換.

我們知道ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(a、b、c不同時為0)是平面xOy上的一條二次曲線.當(dāng)b≠0時，總可以通過轉(zhuǎn)軸變換

③

將原坐標(biāo)系xOy逆時針旋轉(zhuǎn)角θ后得到新坐標(biāo)系x′Oy′，從而消除交叉項.

將③式代入方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0，得到原二次曲線在新坐標(biāo)系下的方程為F(x′,y′)=0,F(x′,y′)為關(guān)于x′,y′的二元二次多項式.其交叉項為

[(c-a)sin 2θ+bcos 2θ]x′y′.

令(c-a)sin 2θ+bcos 2θ=0,

④

選取滿足④式的θ就能通過旋轉(zhuǎn)變換③，使得交叉項消失.得

F(x′,y′)=a′x′2+c′y′2+d′x′+e′y′+f′=0

⑤

此時，通常a′,c′不能同時為0，否則就不能成為題目中的二次曲線了.

(1)若a′、c′均不為0，就可以對⑤式中的x′項、y′項分別配方，化成橢圓或雙曲線型a′(x′+p)2+c′(y′+q)2=r′的形式，接下來就能用三角換元解決問題；

(2)若a′、c′中有一個為0，不妨設(shè)a′=0,c′≠0，就可以對⑤式中的y′項配方，化成c′(y′+q)2+d′x′+r′=0的形式.當(dāng)d′≠0，則為拋物線型，接下來就可以直接把條件中的x′解出來，正向代入目標(biāo)式子求解；當(dāng)d′=0,化成c′(y′+q)2+r′=0的形式，題目通常不會出現(xiàn)這種情況，因為此時就無法求目標(biāo)一次式的最大值了.

事實上，對于二次曲線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換得到⑤式，接下來再作一個坐標(biāo)系的平移變換，也就是通過配平方后換元，則最終可以把二次曲線化成下列三種情形：λ1x2+λ2y2=λ3(橢圓型或雙曲線型)；λ1y2+λ2x=0(拋物線型)；λ1y2+λ2=0(直線型).

總結(jié)在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中,教師只有在自己理解通透的前提下,才能更好地啟發(fā)學(xué)生弄清楚解法的來龍去脈，并提煉數(shù)學(xué)思想方法，突出數(shù)學(xué)本質(zhì).也只有這樣的解題教學(xué)，才能確實提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.反之，則會使學(xué)生一知半解,知其然而不知其所以然,這樣的教學(xué)是非常有害的.