論學生思維參與的數(shù)學概念教學*
——以“圓中有關的角”的概念教學為例

伍春蘭 張 勃

(北京教育學院數(shù)學系 100120) (北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)第二中學 102488)

在多次教師培訓中，筆者曾就概念教學對數(shù)學教師調查．100%的教師堅稱非常重視概念教學，而對學生數(shù)學學習出現(xiàn)的最大問題，也常歸因于他們概念不清，或沒有掌握概念．矛盾現(xiàn)象表明：辛苦認真地數(shù)學概念教學的效益不高．

盡管人們從哲學、心理學和生理學等角度，闡釋的“思維”定義并不一致，但通俗而言，思維就是動腦筋進行思考．我們平常所說的“想”、“思考”、“考慮”等就是思維活動．[1]

筆者主張的學生思維參與的數(shù)學概念教學，就是學生將思維貫穿到概念學習過程的始終，逐步養(yǎng)成其思維參與學習的自覺意識，從而不斷提升其思維品質．參與數(shù)學概念學習的思維方法包括觀察、比較、分類、分析、綜合、抽象、概括、類比、歸納、聯(lián)想、猜想、—般化、特殊化等．

下面以“圓心角”和“圓周角”引入的個案，探求數(shù)學概念教學中學生思維參與的可行路徑．

1 學習內容簡析

追求數(shù)學概念教學學生思維參與，首先需要對教學內容系統(tǒng)地思考．

“圓中有關的角”包括圓心角、圓周角、圓內角、圓外角和弦切角等，這些概念既可以算作約定式定義，也可以視為關系定義．從關系考慮，它們可看成圓和角兩種幾何基本圖形組合形成的具有研究價值的特殊角．因此，在理解圓中有關角的概念時，依據(jù)角的元素(頂點、兩條邊)，可從角的頂點與圓的位置關系和角的兩邊與圓的位置關系兩方面考察．同時還要關注到概念引入的必要性：值得研究且可以研究．盡管圓內角、圓外角和弦切角不是《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》的“規(guī)定動作”，但是其內容在教師的引導下學生可輕松了解，所以教科書有相應的習題讓學生研習，這樣不僅有利于他們在整體建構“圓中有關的角”的知識體系中理解圓心角和圓周角，而且在此建構過程中經歷了數(shù)學思考．

圓是初中學習的最后一個基本平面圖形，一般教材安排在九年級學習，因此圓心角和圓周角內容教學中橫向和縱向地系統(tǒng)思考是合理的，也是必要的．

2 圓心角第一課時設計分析

2．1 設計

教師U、V和W教齡分別是4年、11年和19年，他們都是普通學校的初中數(shù)學教師．

教師U結合示意圖(見圖1)，給出圓心角的定義；然后拖動角的頂點(在圓內、圓上和圓外)演示，學生辨識圓心角．

教師V讓學生看教材圓心角概念，然后學生畫圖舉例說明什么是圓心角，教師再補充出示辨析題(正例及反例)．

教師W讓學生邊觀看課件邊思考，初始狀態(tài)如圖2，正方形ABCD的中心與圓心O重合，點A、B、C、D在圓上，思考：

(1)正方形ABCD繞圓心O旋轉90°，你發(fā)現(xiàn)了什么？⊙O繞圓心O旋轉90°呢？

(2)正方形ABCD繞圓心O旋轉任意角度α(α不是90°、180°、270°、360°)，你又發(fā)現(xiàn)了什么？當⊙O繞圓心O旋轉任意角度α呢？

(3)如圖3，請標出正方形ABCD繞圓心O旋轉的角α，并嘗試給這類角起個名字并用文字語言描述這類角．

圖1

圖2

圖3

圖4

在上述3個問題基礎上，學生了解了圓的旋轉不變性，標出旋轉角(如圖4)，了解了圓心角概念．

2．2 訪談

筆者詢問教師U和教師V：概念引入的方法，您一般都是采用這種模式嗎？兩位老師稱“基本上”．

接著筆者與三位教師交流了如下四個問題：

(1)您認為不先告知學生圓心角的定義，學生能猜出圓心角的內涵，并用圖形語言表示嗎？

(2)反過來，如果只給若干圓心角的圖形，學生能用文字語言概括并恰當命名嗎？

(3)上述兩種引入方法，會很費時間嗎？

(4)教師提供的辨析練習改換為學生編題活動，學習效果會更好嗎？

對于前三個問題，三位教師都明確表示大部分學生可以做到，兩種引入方法不會太費時間．對于問題(4)三位教師認為學生編題活動可以提高學生的參與，教師V和教師W都表示以后可以嘗試一下，而教師U擔憂自己的學生太差，大部分學生會有問題．

筆者又向教師W探尋：您怎么想到用“圓的旋轉不變性”引入圓心角．教師W說：我用的人教版教材在引入圓心角概念前，有個探究“圓的旋轉不變性”活動，但是教材設計的那個活動，只是讓圓繞圓心旋轉，沒有一個參照物，感覺做不做這個活動對學生理解“圓的旋轉不變性”沒什么區(qū)別．于是我想嵌入一個圓內接正四邊形(圓內接多邊形概念教材是在圓周角概念后才介紹的，但這不影響什么，我先不出此概念就行了嘛)幫助學生理解，也順便引入了圓心角概念．

2．3 評析

對于圓心角概念，教師V讓學生看教科書，可是給學生的時間不足以讓學生思考，而多數(shù)學生也不知怎樣思考，所以只是掃視一下點到為止，這與教師U直接告知的教法沒有本質區(qū)別，然后兩位教師通過正反例辨識，進一步認識概念，達到了快速了解圓心角的目的．

其實稍微改變以下兩點，學生思維參與的機會就能增加．第一，揭示圓心角內涵前，先讓學生從文字語言及圖形語言合情猜想什么是圓心角，或給出若干圖形讓學生為其命名并用文字語言概括(下定義)．第二，將教師提供的辨析題改換為學生活動：請畫出不是圓心角且與圓相關的角，并分類．此活動是學生能完成又具有挑戰(zhàn)性的任務，因此他們樂于參與，不僅思維得到鍛煉，而且對“圓中有關的角”也有了整體認識．通過訪談，教師基本認可上述觀點．但是由于教學習慣，以及自己學生數(shù)學成績差和學生學習能力低的現(xiàn)實，教師會以低認知的活動教學，降低思維難度．筆者曾在若干生源較弱的學校，以上述方式借班進行概念教學，他們感受到思考的魅力，學生云：“這節(jié)課讓我感受到了數(shù)學的開心快樂和其中的奧妙”．這從另一個方面佐證了以學生學習水平低而忽視學生在學習中的思考的教法是誤區(qū)．

教師W借助圓內接正四邊形，使學生不僅容易理解圓的旋轉不變性，也充分暴露了旋轉角——繞圓心旋轉的角，這樣圓心角引入的必要性得以展現(xiàn)．圓心角引入的必要性除了可從圓的旋轉不變性入手，也可以從圓弧的角度(或弧度)考量．圓弧是一條曲線，當兩條圓弧長度相等，這兩條圓弧不一定能重合，這意味著兩條圓弧未必相等．因此圓弧的特征量除了長度以外，還需要其它量．角度制規(guī)定周角的1/360是1度，因此把圓周等分成360份，每一份這樣的圓弧規(guī)定為1°(度)的弧是合理的，即圓弧的另一個特征量用其度數(shù)刻畫就順理成章了，而且弧的度數(shù)等于圓心角的度數(shù)．其實用角的另一種度量單位——弧度制的弧度數(shù)來說明就更好理解了，只是弧度制不是初中的學習內容．這樣用圓心角的大小來刻畫圓弧，說明引入圓心角的必要性，以及圓弧在研究圓中有關角的關系時所起的橋梁作用(圓弧把圓心角、圓周角、圓內角、圓外角和弦切角聯(lián)系起來)，還是值得讓學生思考的．

3 圓周角第一課時設計分析

3．1 設計

教師甲、乙和丙教齡分別是5年、7年和20年，他們都是普通學校的初中數(shù)學教師．

教師甲首先創(chuàng)設情境：射門游戲中，大門在AB，分別在⊙O上的C、D、E處射門(見圖5)時，形成3個張角∠ACB，∠ADB，∠AEB，這3個張角大小有什么關系？接著指出這3個張角叫做圓周角．然后讓學生給圓周角下定義，學生回答頂點在圓上的角叫圓周角．教師甲出示圖6和圖7，讓學生進一步完善圓周角概念，并讓學生思考圓心角概念為什么不附加“兩邊和圓相交”這一條件？

教師乙在復習圓心角的基礎上，指出今天學習另一種與圓相關的角——圓周角，然后讓學生看教材圓周角概念，并完成導學案的2個問題：(1)頂點在，并且和圓的角叫圓周角；(2)與圓心角定義比較，圓周角概念不附加后面的條件行不行？

教師丙先給出一組圖(見圖6—圖12)，讓學生猜想7個∠ACB共性是什么？學生回答共性是頂點在圓上．教師丙追問：圖8—圖12中5個∠ACB共性還有什么？學生有些疑惑，教師丙提示觀察角的兩邊，學生馬上回答角兩邊和圓相交．教師又進一步提問：能給這類角起個名字嗎？學生起名為圓周角，也有個別學生起名為圓上角．教師丙肯定了學生的命名，讓學生給圓周角下定義，同時與圓心角概念比較．最后讓學生將圓周角分類，并說明分類標準．

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

3．2 訪談

筆者：您(教師甲)創(chuàng)設射門游戲引入圓周角的意圖是什么？

教師甲：新課程倡導從實際出發(fā)，這個情景我是參考×版的教材改編的，就是想讓學生發(fā)現(xiàn)生活中處處有數(shù)學，激發(fā)他們的學習興趣．

筆者：您(教師乙)的導學案有關概念教學基本都是這樣設計？

教師乙：對，通過挖掉概念的關鍵字、詞，教會學生抓住概念的重點．

筆者：您(教師丙)認為不給出學生圓周角圖形，讓他們自己通過畫圖將圓周角分類，并尋找分類標準，是否可行．

教師丙：可行，就是開始會很亂，時間也許會多些．

3．3 評析

教師甲、乙和丙的教法省時，學生學得明白，但學生的思維參與不夠．相比較3位教師的設計，教師丙的教法，學生思維參與的多些，但還是有些代替．

圓周角概念是繼圓心角概念之后學習的，兩個概念某種意義而言是并列的，所以研究圓周角概念，讓學生獨立探究：什么是圓周角？哪些不是圓周角？圓周角如何劃分？圓周角與圓心角的區(qū)別與聯(lián)系？

圓周角的內涵有兩條，一個是頂點與圓的關系，一個是角的兩邊與圓的關系．頂點在圓上學生基本都能自然想到，而角兩邊與圓相交不經提示會忽略．如果在學習圓心角時讓學生思考過角兩邊與圓的關系(雖然圓心角概念不必提及角兩邊)，這樣學生不僅經歷思考問題的全過程，也促使學生學習圓周角時，能主動思考角兩邊與圓的關系．

教師甲創(chuàng)設射門游戲是編造的，還需要新的概念“張角”，而且課堂觀察發(fā)現(xiàn)此情景也沒有引發(fā)學生參與學習的熱情，因此這樣引出圓周角概念并不是最佳的．事實上，弧面黑板、弧面屏幕、大會議室弧形擺放的桌椅等，都是與“圓中有關的角”相關的現(xiàn)實問題．好的現(xiàn)實問題引入，應該是真實的，適切學生并能引發(fā)其積極思考的，如果達不到這一目標舍棄反而更好．

教師丙讓學生劃分圓周角，為后面學習圓心角與圓周角關系定理證明時，突破分類討論的難點做了鋪墊，也加深了對圓周角的認識．但教師丙先提供了各類圓周角示意圖，降低了思維難度，而這個難度學生是能夠挑戰(zhàn)的．如果嘗試讓學生自己畫圖將圓周角分類，為學生提供多角度思維空間：以角的大小(銳角、直角、鈍角)、圓心與角的兩邊關系(圓心在兩邊內、圓心在邊上、圓心在兩邊外)、角所對的弧(優(yōu)弧、劣弧、半圓)等劃分圓周角．

4 概念教學建議

上述6位教師的概念課片段，是從筆者不同培訓項目或活動中遴選的．在概念教學第一課時，筆者發(fā)現(xiàn)下列現(xiàn)象司空見慣：教師先展示一個似與概念相關的情景(有時此環(huán)節(jié)省略)，再照本宣科地拋出概念，或學生看教科書中概念的表述，然后教師提出該概念的注意事項，最后是理解概念的相關練習，比如通過關鍵字、詞設計的填空題，正例反例判斷題，簡單的應用等．這種被教師牽引的僅圍繞概念“是什么”展開的教學，學生的思維參與及情感投入都是低水平的，很難和概念形成親密關系，對概念的理解是膚淺的在所難免．因此，提高學生的思維參與，是數(shù)學概念教學急需解決的問題．

4．1 并聯(lián)設計章節(jié)內的概念，為學生提供更多的思維活動

章節(jié)內如果涉及幾個概念，教材編排順序是第一個概念及相關命題(性質、判斷等)，接著是第二個概念及相關命題……，這樣的線性結構，邏輯清楚流暢，難度?。敻拍铋g關系密切，可打破這種串聯(lián)方式，為學生提供高認知的思維活動．比如從角與圓位置關系，將圓心角、圓周角，甚至圓內角和圓外角并聯(lián)引入，再研究它們的若干性質．這樣學生更多地經歷觀察、比較、分析、歸納、概括、抽象等思維活動，而且從結構上將學習內容聯(lián)在一起，有利于知識的掌握．

4．2 拉長概念引入和建立的思維鏈條，讓學生的思維參與更深入

數(shù)學概念教學通常分為引入、建立、鞏固和運用等四個階段，觀察發(fā)現(xiàn)很多教師概念的引入和建立匆匆忙忙，而概念的鞏固和運用扎扎實實，這是一個誤區(qū)．概念的快速和盤托出，失去了引發(fā)學生學習興趣的契機，也失去了沿著數(shù)學家形成概念的路徑再創(chuàng)造的時機．

拉長概念引入和建立的思維鏈條，可通過下列途徑實現(xiàn)：了解概念的來龍去脈；從實際或其他學科及數(shù)學角度，探究概念建立的必要性和合理性；嘗試給概念命名、下定義，特別是約定式定義，及關系定義；對定義的進一步反思等．

4．3 尋找新概念可利用的前概念，給學生的思維參與以方向

對于上下位概念、并列概念、類比概念等，當其中之一已學習過，再學習相應的概念就應該給學生更多地自主空間．當學生思維受阻時，啟發(fā)學生聯(lián)想相應前概念研習的方法和結論．

4．4 指導研究概念的方法，使學生思維參與成為自覺

學習了新的概念，學生往往自覺沒有問題，教師卻提出了一系列注意問題．這說明學生還缺少獨立研究概念的能力，所以教學初期要暴露教師是怎樣發(fā)現(xiàn)和提出問題的，滲透研究概念的方法，

以后再逐漸放手，養(yǎng)成學生思維參與的自覺意識．

數(shù)學概念既是我們思考數(shù)學問題的邏輯起點，其本身也是飽含思維含量的學習資源．因此在數(shù)學概念教學中，提高學生的思維參與，既是培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力的剛性需求，也是以學生發(fā)展為本教育觀的專業(yè)體現(xiàn)．