數(shù)列模式化解題策略研究（2）

劉志鵬

內(nèi)容提要：對(duì)于數(shù)列的研究源于現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)和生活的需要，人們?cè)谏钪邪l(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)列，我們嘗試通過觀察這些數(shù)列來研究一下這些數(shù)列的通項(xiàng)公式是怎么樣的，以便于更深入的了解、理解數(shù)列，能運(yùn)用其解決一些問題。

關(guān)鍵詞：類型；技巧；模式化

觀察法求數(shù)列通項(xiàng)公式主要是通過觀察數(shù)列每一項(xiàng)的序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們可以把它看成是一個(gè)序號(hào)到另一個(gè)數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系?；蛘呤潜容^已知的數(shù)列，通過歸納，轉(zhuǎn)化（等差數(shù)列或等比數(shù)列）等方法，嘗試寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再去驗(yàn)證，如果有誤差，再做調(diào)整。這對(duì)于學(xué)生的歸納推理能力要求較高，所以應(yīng)注意細(xì)心觀察，合理聯(lián)想，善于總結(jié)。

類型一. 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式

例1（1）5，10，15，20，25，…

（2）3，5，9，17，33，…

（3）1，-3，5，-7，9，…

（4）9，99，999，9999，…

（5）1，2，1，2，1，2，…

（6） ， ， ， ， ，…

解析：（1）通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，每一項(xiàng)都是5的倍數(shù)，第一項(xiàng)5×1，第二項(xiàng)5×2，第三項(xiàng)5×3，第四項(xiàng)5×4，第五項(xiàng)5×5，…，所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為： = 。

（2）通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，每一項(xiàng)都減去1之后數(shù)列會(huì)變?yōu)?，4，8，16，32，…，聯(lián)系正整數(shù)冪，即21，22，23，24，25，…，所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為： = 。

（3）通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)是正負(fù)相間的形式，那么可以選擇用 來控制每一項(xiàng)的正負(fù)，同時(shí)每一項(xiàng)的絕對(duì)值都是奇數(shù)，即1，3，5，7，9，…，所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為： = 。

（4）通過觀察可以聯(lián)想到這樣一個(gè)數(shù)列10，100，1000，10000，…，數(shù)列的第一項(xiàng)是 ，第二項(xiàng)是 ，第三項(xiàng)是 ，第四項(xiàng)是 ，…，先得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 = ，然后減一，就得到 = -1，即為這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（5）通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是1，偶數(shù)項(xiàng)是2，我們可以用分段的形式來寫，所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為： =

（6）通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)大都有根號(hào)，所以想到把第二項(xiàng)的數(shù)放到根號(hào)里，變?yōu)?，第四項(xiàng)變?yōu)?，這樣根號(hào)里面的數(shù)分別是3，9，15，21，27，…，即3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，…，先得到這些數(shù)的規(guī)律為 ，所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為： = 。

類型二. 觀察一組圖形的變化規(guī)律，試寫出其變化的通項(xiàng)公式

例2 下列關(guān)于笑臉的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式

解析：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，這組圖形是由1，3，6，10，…這樣一個(gè)數(shù)列組成的，第一項(xiàng) 1=1

第二項(xiàng) 3=1+2

第三項(xiàng) 6=1+2+3

第四項(xiàng) 10=1+2+3+4

…

第n項(xiàng) 1+2+3+4+…+n=

所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 =

例3 下圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形，在下圖的四個(gè)三角形中，著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列的前四項(xiàng)，依次著色方案繼續(xù)對(duì)三角形著色，則著色三角形的個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式個(gè)數(shù)為（ ）

A. B. C. D.

解析：根據(jù)圖形的特點(diǎn)，每增加一個(gè)三角形應(yīng)在原來的基礎(chǔ)上再增加3倍個(gè)三角形，三角形的個(gè)數(shù)為：1，3，3×3，3×9，…，歸納出第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)。

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)圖形中有1個(gè)三角形，

第二個(gè)圖形中有3個(gè)三角形，

第三個(gè)圖形中有3×3個(gè)三角形，

第四個(gè)圖形中有3×9個(gè)三角形，

以此類推：第n個(gè)圖形中有3n-1個(gè)三角形，故 =3n-1，所以選A

類型三.斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)列為意大利數(shù)學(xué)家Fibonacci最初發(fā)現(xiàn)的，斐波那契數(shù)列源于兔子的繁殖問題：兔子出生后兩個(gè)月就能每月生小兔，若每月不多不少恰好生一對(duì)（一雌一雄），假如養(yǎng)了初生的小兔子一對(duì)，試問一年后共有多少對(duì)兔子？依此類推，該問題產(chǎn)生的數(shù)列如下：1，1，2，3，5，8，13，21，…，這個(gè)數(shù)列有個(gè)十分明顯的特點(diǎn)，那就是，數(shù)列前面相鄰兩項(xiàng)之和，構(gòu)成了數(shù)列的后一項(xiàng)。此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱為黃金分割數(shù)列。如果用 表示第 n 月的大兔對(duì)數(shù)，則有 = + 。

數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域常常奇妙而出乎意料地聯(lián)系在一起： 斐波那契數(shù)列是從兔子問題中抽象出來的，如果它在其它方面沒有應(yīng)用，它就不會(huì)有強(qiáng)大的生命.發(fā)人深省的是，斐波那契數(shù)列確實(shí)在許多問題中出現(xiàn).

自然界中的斐波那契數(shù)：花瓣數(shù)中的斐波那契數(shù)大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰是斐波那契數(shù).例如，蘭花、茉利花、百合花有3個(gè)花瓣，毛茛屬的植物有5個(gè)花瓣，翠雀屬植物有8個(gè)花瓣，萬壽菊屬植物有13個(gè)花瓣，紫菀屬植物有21個(gè)花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個(gè)花瓣.向日葵花盤內(nèi)，種子是按對(duì)數(shù)螺線排列的，有順時(shí)針轉(zhuǎn)和逆時(shí)針轉(zhuǎn)的兩組對(duì)數(shù)螺線。兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過一個(gè)更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是斐波那契數(shù).

例4觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空。

（1）1，2，，（ ），5，8，（ ），21，34，（ ），89

（2）3，5，（ ），13，21，（ ），55

解析：通過觀察數(shù)列，發(fā)現(xiàn)符合斐波那契數(shù)列的形式，所以（1）的答案為3，13，55 （2）的答案為8，34

總之，觀察法求數(shù)列通項(xiàng)公式作為數(shù)列學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在高中數(shù)列教學(xué)中應(yīng)該著重引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)列，去認(rèn)識(shí)數(shù)列，進(jìn)而總結(jié)出各種類型數(shù)列的解題策略和解題技巧，拓寬學(xué)生視野，提高學(xué)生能力，已達(dá)到提高學(xué)習(xí)效率的目的。

參考文獻(xiàn)：[1]高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)；

[2]2008——2017高考數(shù)學(xué)考綱；

[3]2008——2017高考數(shù)學(xué)原題。endprint