具有庇護(hù)所和收獲的SIS模型的全局穩(wěn)定性分析

童姍姍， 朱玉清， 牛玉俊， 李貞旭

(1. 南陽理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 河南 南陽 473004； 2. 南陽市中心醫(yī)院 磁共振影像科， 河南 南陽 473009)

具有庇護(hù)所和收獲的SIS模型的全局穩(wěn)定性分析

童姍姍1， 朱玉清1， 牛玉俊1， 李貞旭2

(1. 南陽理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 河南 南陽 473004； 2. 南陽市中心醫(yī)院 磁共振影像科， 河南 南陽 473009)

討論了一類具有庇護(hù)所和收獲的SIS生態(tài)流行病模型.應(yīng)用Hurwitz判據(jù)、 Liapunov函數(shù)、 LaSalle不變集原理、 數(shù)值模擬等方法進(jìn)行研究， 得到了各平衡點存在的充分條件， 各平衡點的局部和全局性態(tài)， 收獲努力量和庇護(hù)所效應(yīng)對系統(tǒng)持久生存性的影響. 結(jié)果表明, 庇護(hù)所的庇護(hù)比例經(jīng)過3個不同取值區(qū)間的兩個臨界值時， 分別引起流行病由地方病變?yōu)橄В?捕食者種群由滅絕變?yōu)榕c食餌種群共存， 故庇護(hù)所效應(yīng)具有穩(wěn)定化作用， 適當(dāng)調(diào)節(jié)收獲努力量和庇護(hù)所比例可消除流行病.

庇護(hù)所效應(yīng)； 生態(tài)流行病模型； 全局漸近穩(wěn)定性； 平衡點

傳染病是影響自然種群的重要因素[1-3]， 因此生態(tài)流行病模型已經(jīng)成為眾多學(xué)者研究的熱點之一. 1946年， Crombic通過實驗方法將避難所效應(yīng)引入到食餌-捕食模型[4]， 成為生物理論環(huán)保研究的奠基者， 指引學(xué)者們通過庇護(hù)一定比例或一定數(shù)量的食餌來實現(xiàn)系統(tǒng)的持久性生存[5-9]. 因此， 具有避難所的食餌-捕食模型 逐漸成為理論生態(tài)學(xué)的重要研究課題之一. 然而， 在避難所和生態(tài)流行病的基礎(chǔ)上， 大多數(shù)學(xué)者主要研究了食餌種群存在傳染病的情形[8-10]， 對于捕食者存在傳染病的模型研究結(jié)果很少.另一方面， 開發(fā)利用生物資源的最優(yōu)策略問題， 日益成為我們兼顧生態(tài)效益和經(jīng)濟(jì)效益的重要措施， 因此眾多學(xué)者就不同的生態(tài)問題引入收獲系數(shù)， 從數(shù)學(xué)上定量分析收獲努力量對合理開發(fā)和科學(xué)管理資源的影響[11-12]， 但是對于生態(tài)流行病模型考慮收獲的研究甚少. 綜上， 本文提出一類具有庇護(hù)所和收獲且捕食者有SIS傳染病的食餌-捕食模型如下：

式中：X(t),S(t),I(t)分別表示t時刻食餌種群、 捕食者種群易感者、 染病者的密度；mX(t)表示t時刻進(jìn)入避難所的食餌數(shù)量且m∈(0,1)；E1,E2分別表示對食餌種群和捕食者種群的捕獲努力量；q1，q2分別表示對食餌種群和捕食者種群的收獲系數(shù)， 參數(shù)a,b,c,e,β,d1,d2,δ均為正常數(shù)且有一定生物意義.

1 平衡點分析

令x1=

1) 當(dāng)E1∈(0,x3)時， 系統(tǒng)(1)有2個平衡點P0，P1；

2) 當(dāng)E1∈(0,x2)時， 系統(tǒng)(1)有3個平衡點P0，P1，P2；

3) 當(dāng)E1∈(0,x1)時， 系統(tǒng)(1)有4個平衡點P0，P1，P2，P3.

其中

2 平衡點的局部穩(wěn)定性

系統(tǒng)(1)關(guān)于平衡點P(X,S,I)的Jacobian矩陣為

定理1 當(dāng)E1∈(0,x3)時， 平衡點P0是鞍點， 當(dāng)E1∈(x3,+∞)，P0局部漸近穩(wěn)定.

證明將P0(0,0,0)代入J(P)中可得到J(P0) 的特征方程為

(λ-a+q1E1)(λ+d1+q2E2)·

(λ+d2+q2E2+δ)=0,

則λ1=a-q1E1,λ2=-(d1+q2E2),λ3=-(d2+q2E2+δ), 故當(dāng)E1∈(0,x3)時，P0是鞍點， 當(dāng)E1∈(x3,+∞)時，P0局部漸近穩(wěn)定.

定理2 當(dāng)E1∈(x2,x3)時， 平衡點P1局部漸近穩(wěn)定，E1∈(0,x2)時，P1是鞍點.

(λ+d2+q2E2+δ)=0,

定理3 當(dāng)E1∈(x1,x2)時， 平衡點P2局部漸近穩(wěn)定，E1∈(0,x1)時，P2是鞍點.

證明將

代入J(P)中可得到J(P2)的特征方程為

令

則λ2和λ3是f(λ)=0的兩根， 且

λ2·λ3=

故當(dāng)E1∈(x1,x2)時，P2局部漸近穩(wěn)定，E1∈(0,x1)時，P2是鞍點.

定理4 當(dāng)E1∈(0,x1)時， 平衡點P3是局部漸近穩(wěn)定的.

證明將P3(X*,S*,I*)代入J(P)中可得到J(P3)的特征方程為

λ3+A1λ2+A2λ+A3=0,

令

M1=(a-q1E1)β-c(d2+q2E2+δ),

M2=(a-q1E1)eβ-ce(d2+q2E2+δ)-

d(d1+q2E2)β,

則

由P3的存在性知，M1>0，M2>0， 從而

綜上， 只要P3存在就局部漸近穩(wěn)定.

3 平衡點的全局穩(wěn)定性

定理5 當(dāng)E1∈(x2,x3)時， 平衡點P1是全局漸近穩(wěn)定的.

證明定義Liapunov函數(shù)

則V沿著系統(tǒng)的軌線的全導(dǎo)數(shù)

定理6 當(dāng)E1∈(x1,x2)時， 平衡點P2是全局漸近穩(wěn)定的.

證明定義Liapunov函數(shù)

則V沿著系統(tǒng)的軌線的全導(dǎo)數(shù)

定理7 當(dāng)E1∈(0,x1)時， 平衡點P3是全局漸近穩(wěn)定的.

證明定義Liapunov函數(shù)

則V沿著系統(tǒng)的軌線的全導(dǎo)數(shù)

V′=ω1(X-X*)(a-q1E1-bX-c(1-m)S)+ω2(S-S*)(e(1-m)X-d1-q1E1-βI)+

ω3(I-I*)(βS-d2-q2E2)=-bω1(X-X*)2+(e(1-m)ω2-c(1-m)ω1)(X-X*)(S-S*)+

β(ω3-ω2)(S-S*)(I-I*).

令e(1-m)ω2-c(1-m)ω1=0，ω3-ω2=0， 則有cω1=eω2=eω3， 此時V′=-bω1(X-X*)2≤0， 當(dāng)且僅當(dāng)X=X*時取等號， 此時S=S*，I=I*， 因此， 由LaSalle不變集原理知， 當(dāng)E1∈(0,x1)時， 平衡點P3是全局漸近穩(wěn)定的.

4 生物意義

4.1 收獲的調(diào)控作用

下面討論當(dāng)食餌的庇護(hù)所比例和捕食者的捕獲努力量一定時， 收獲對系統(tǒng)的穩(wěn)定化作用， 進(jìn)而可以通過調(diào)節(jié)食餌的捕獲努力量的值來調(diào)節(jié)系統(tǒng)的狀態(tài)， 達(dá)到食餌和捕食者種群數(shù)量的最大化， 還可以防控流行病， 以取得良好的資源收獲.

定理8 1) 若E1∈(0,x1)， 則平衡點P3(X*,S*,I*) 全局漸近穩(wěn)定， 即食餌種群和捕食者種群都會持續(xù)生存， 且疾病會形成地方??；

2) 若E1∈(x1,x2)， 則平衡點P2(X2,S2,0)全局漸近穩(wěn)定， 即食餌種群和捕食者種群都會持續(xù)生存， 且疾病將會消亡；

4.2 庇護(hù)所效應(yīng)的調(diào)控作用

下面討論當(dāng)食餌和捕食者種群的收獲系數(shù)和捕獲努力量一定時， 庇護(hù)所效應(yīng)對系統(tǒng)的穩(wěn)定化作用， 進(jìn)而可以通過調(diào)節(jié)m的值來調(diào)節(jié)系統(tǒng)的狀態(tài)， 使食餌和捕食者種群持續(xù)共存， 消除流行病， 實現(xiàn)經(jīng)濟(jì)利益和生態(tài)利益的統(tǒng)一.

1)若m∈(0,1)/Ω1， 食餌和捕食者種群密度趨向于一個全局漸近的平衡點P3， 食餌和捕食者種群都會持續(xù)生存， 且疾病會形成地方病；

2)若m∈[(0,1)/Ω2]∩Ω1， 食餌和捕食者種群密度趨向于一個全局漸近的平衡點P2， 食餌和捕食者種群都會持續(xù)生存， 且疾病將會消亡；

3)若m∈Ω2， 食餌和捕食者種群密度趨向于一個全局漸近的平衡點P1， 捕食者種群因缺乏食物資源而滅絕， 食餌種群會持續(xù)生存.

可見， 庇護(hù)所效應(yīng)對系統(tǒng)(1)有以下影響：

1)系統(tǒng)的平衡點由不穩(wěn)定變成全局漸近穩(wěn)定， 所以庇護(hù)所對該收獲系統(tǒng)有穩(wěn)定化作用；

2)疾病由地方病變成消失， 所以庇護(hù)所該收獲模型有防控疾病的作用；

3)當(dāng)庇護(hù)所效應(yīng)增強到一定程度后， 會造成食餌資源缺乏， 導(dǎo)致捕食者滅絕， 所以庇護(hù)食餌的比例應(yīng)適當(dāng).

5 數(shù)值模擬

對于系統(tǒng)(1)， 分別取a1=11.5,b=0.4,c=0.57,e=0.05,d1=0.1,d2=0.12,β=0.05,δ=0.01,q1=0.1,q2=0.2,E1=5,E2=2, 得到如下系統(tǒng)

則

1) 當(dāng)m∈(0,1)時， 系統(tǒng)(2)有2個平衡點P0，P1；

2) 當(dāng)m∈(0,0.64)時， 系統(tǒng)(2)有3個平衡點P0，P1，P2；

3) 當(dāng)m∈(0,0.50)時， 系統(tǒng)(2)有4個平衡點P0，P1，P2，P3；

這里， 零平衡點P0(0,0,0)， 捕食者滅絕平衡點P1(27.5,0,0)， 無病平衡點P2(X2,S2,0)， 疾病平衡點P3(X*,S*,I*)， 其中

X2=10(1-m)-1,

S2=19.30(1-m)-1-7.02(1-m)-2,

X*=-15.11(1-m)+27.50,S*=10.60,

I*=-14.32(1-m)2+28.13(1-m)-10.19.

根據(jù)定理2， 可得庇護(hù)空間中庇護(hù)食餌比例的3個區(qū)間分別是(0,0.50)， (0.50,0.64)， (0.64,1). 取相同的兩組初值(28,25,22)， (18,15,12)， 對不同的m可得圖 1， 其中m=0.1∈(0,0.50)，m=0.52,0.55,0.57,0.59∈(0.50,0.64),m=0.7∈(0.64,1).

圖 1(a) 是疾病平衡點P3(X*,S*,I*)的全局漸近穩(wěn)定圖； 圖 1(f)是捕食者滅絕平衡點P1(27.5,0,0)的全局漸近穩(wěn)定圖； 需要特別關(guān)注的是無病平衡點P2(x2,y2,0)， 因為生態(tài)環(huán)境的理想狀態(tài)是消除疾病， 并達(dá)到兩種群的持久共存. 由圖 1(b)～圖 1(e) 可以看出， 將食餌種群的庇護(hù)比例m控制在區(qū)間(0.50,0.64)內(nèi)， 染病捕食者的種群密度趨于0， 此時疾病消亡， 食餌和易感捕食者的種群密度最終都會穩(wěn)定地趨向于某個正值， 這就是食餌和捕食者種群的共存平衡密度x2和y2. 又可見共存平衡密度x2和y2不受系統(tǒng)初值的影響， 而受避難所保護(hù)食餌種群比例m影響，m越大， 食餌種群的平衡密度x2越大， 捕食者種群的平衡密度y2越小. 另外易得

圖 1 m不同時系統(tǒng)(2)的數(shù)值模擬圖Fig.1 Solution curves of system (2) with different m

故在無病平衡點P2(x2,y2,0)的整個存在區(qū)間(0,0.64)內(nèi)， 隨著m增加， 食餌種群的平衡密度x2是單調(diào)增加的， 易感捕食者種群的平衡密度y2先增后減， 臨界值為0.27， 當(dāng)m趨于0.64時， 捕食者種群的平衡密度y2趨于0， 即易感捕食者種群趨于滅絕， 同時食餌種群的平衡密度趨于27.5， 表明此時兩種群密度趨于捕食者滅絕平衡點P1(27.5,0,0).

綜上，m∈(0,0.50)時, 疾病平衡點P3(X*,S*,I*)全局漸近穩(wěn)定,食餌和捕食者種群都會持續(xù)生存， 但是SIS傳染病形成了地方?。籱∈(0.50,0.64) 時, 無病平衡點P2(x2,y2,0)全局漸近穩(wěn)定,食餌和捕食者種群都會持續(xù)生存， 且疾病消亡；m∈(0.64,1)時, 捕食者滅絕平衡點P1(27.5,0,0) 全局漸近穩(wěn)定, 捕食者種群因缺乏食物資源而滅絕， 只有食餌種群持續(xù)生存. 可見， 0.50 和0.64是兩個重要的臨界值， 當(dāng)m由0經(jīng)過0.50時， 流行病由地方病變?yōu)橄В?當(dāng)m由1經(jīng)過0.64時， 捕食者由滅絕變?yōu)榕c食餌種群共存； 只有當(dāng)m∈(0.50,0.64)時， 食餌和捕食者兩種群處于持久共存的無病狀態(tài)， 也是生態(tài)環(huán)境的理想狀態(tài)， 因此在實踐中選取庇護(hù)比例時， 須使m處于區(qū)間(0.50,0.64)內(nèi)， 以科學(xué)維持生態(tài)平衡.

6 結(jié) 論

本文研究了一類具有庇護(hù)所和收獲且捕食者有SIS傳染病的食餌-捕食模型， 通過分析系統(tǒng)各平衡點的性態(tài)， 得到了收獲和庇護(hù)所對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響， 從而給出了控制疾病和實現(xiàn)兩種群持續(xù)共存的充分條件， 最后進(jìn)行數(shù)值模擬， 為合理開發(fā)和管理生態(tài)資源提供了理論依據(jù).

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TheGlobalStabilityAnalysisofSISModelwithaPreyRefugeandHarvesting

TONG Shan-shan1, ZHU Yu-qing1, NIU Yu-jun1, LI Zhen-xu2

(1. School of Mathematics and Statistics, Nanyang Institute of Technology, Nanyang 473004, China；2. Dept. of Magnetic Resonance, Nanyang Central Hospital, Nanyang 473009, China)

A SIS epidemic model with a prey refuge and harvesting was investigated. By applying the Hurwitz criterion, Liapunov function, LaSalle's invariable set principle and Numerical simulation, the sufficient conditions for the existence of the equilibrium point, the local and global quality of equilibrium point were analyzed, and the effect of prey refuge and harvesting effort on the system permanence was discussed. The results indicate that, when the proportion of the shelter passes through two critical values of three different intervals, respectively, the epidemic disease is disappearing from the place, the extinction of the predator species become the coexistence of the two species with bait population. So the shelter has a stabilizing effect, adjusting the harvesting effort and the proportion of shelter can eliminate the epidemic proportions, in order to protect the ecological resources.

prey refuge; eco-epidemiological model; global asymptotic stability; equilibrium point

1673-3193(2017)05-0524-07

2016-03-28

國家自然科學(xué)基金資助項目(U1504105)； 河南省科學(xué)技術(shù)基金資助項目(122102210060)； 河南省科技計劃項目(1423410107)； 南陽市科技計劃項目(RKX06)

童姍姍(1986-)， 女， 講師， 碩士， 主要從事生物動力系統(tǒng)及數(shù)學(xué)模型應(yīng)用研究.

李貞旭(1983-)， 男， 主治醫(yī)師， 碩士， 主要從事影像醫(yī)學(xué)與核醫(yī)學(xué)研究.

O175.1

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.05.004