二階變系數(shù)線性微分方程的一類通解

王 慧，葉永升

（淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000）

二階變系數(shù)線性微分方程的一類通解

王 慧，葉永升

（淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000）

文章利用待定函數(shù)法，把二階變系數(shù)線性微分方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)降為一階線性微分方程，從而推導出二階變系數(shù)線性微分方程的一類通解為，其中C1，C2為任意常數(shù)，k為常數(shù)，并證明該通解存在的充要條件是p(x)+(x+k)q(x)=0，同時還得出特殊情形的相應結果.

變系數(shù)；線性；微分方程；通解

0 引言

變系數(shù)線性微分方程不僅在常微分方程理論方面具有重要價值，而且在物理學、化學、自動控制以及電子技術等方面也具有重要作用.在變系數(shù)線性微分方程求解問題中，對于階數(shù)較高的微分方程，可以通過降階法，將其轉化為階數(shù)較低的微分方程求解，因此，低階方程的求解非常重要，特別是二階變系數(shù)線性微分方程的研究一直備受關注.此類方程的通解求法一般是比較困難的，沒有普遍適用的方法可循，但當其系數(shù)滿足某些特定條件時，其通解是可求的.文獻［1-10］是近年來關于此類方程求解問題的研究成果，研究思路大體一致，即通過變量代換的思想方法，把二階變系數(shù)線性微分方程降為一階微分方程或者是轉化為二階常系數(shù)線性微分方程，從而得到二階變系數(shù)線性微分方程的可解類型或通解存在條件.本文將利用待定函數(shù)法，進一步討論二階變系數(shù)線性微分方程的通解形式，尋找通解存在的充要條件.

1 預備知識

稱為二階變系數(shù)線性微分方程.若f(x)≡0時，方程（1）變?yōu)?/p>

方程（2）稱為與方程（1）對應的二階變系數(shù)齊次線性微分方程.若f(x)≠0，方程（1）稱為二階變系數(shù)非齊次線性微分方程.

引理1［11］若p(x)，q(x)為x的連續(xù)函數(shù)，則一階線性微分方程y′+p(x)y=q(x)的通解為

為證明本文主要結論的需要，下面介紹相關定義及引理.

定義1［11］若p(x)，q(x)及f(x)為x的連續(xù)函數(shù)，則方程

其中C為任意常數(shù).

2 主要結論

定理1二階變系數(shù)非齊次線性微分方程（1）有通解

的充要條件是p(x)+(x+k)q(x)=0，其中C1，C2為任意常數(shù)，k為常數(shù).

證明為了簡便，不妨記，則（3）式可寫為

必要性：若（3）式是方程（1）的通解，則

將y,y′,y″代入方程（1），得

化簡，得

充分性：設y=(x+k)u(x)是方程（1）的解，其中u(x)為待定的二階可導函數(shù)，k為常數(shù)，則

將y,y′,y″代入方程（1），整理可得

由于p(x)+(x+k)q(x)=0，得

這是一個以u′(x)為未知函數(shù)的一階非齊次線性微分方程，由引理1知，其通解為

兩邊積分，得

故原方程的通解為

其中C1，C2為任意常數(shù)，k為常數(shù).

由定理1，可以得到以下推論.

推論1二階變系數(shù)非齊次線性微分方程（1）有通解

的充要條件是p(x)+xq(x)=0，其中C1，C2為任意常數(shù).

推論2二階變系數(shù)齊次線性微分方程（2）有通解

的充要條件是p(x)+(x+k)q(x)=0，其中C1，C2為任意常數(shù)，k為常數(shù).

推論3二階變系數(shù)齊次線性微分方程（2）有通解

的充要條件是p(x)+xq(x)=0，其中C1，C2為任意常數(shù).

3 應用舉例

例1求微分方程的通解，k為常數(shù).

解該方程是二階變系數(shù)非齊次線性微分方程，這里

滿足條件p(x)+(x+k)q(x)=0，由定理1知，方程的通解為

其中C1，C2為任意常數(shù).

例2求微分方程的通解，其中n為常數(shù).

解該方程是二階變系數(shù)齊次線性微分方程，這里

滿足p(x)+xq(x)=0，由推論3知，方程的通解為

其中C1，C2為任意常數(shù).

4 結束語

變系數(shù)線性微分方程在實際生活中應用廣泛，但是其通解形式一直很難求，本文利用待定函數(shù)法，把二階變系數(shù)線性微分方程降為一階線性微分方程，推出二階變系數(shù)線性微分方程的一類通解形式，并證明該通解存在的充要條件.

［1］李高，常秀芳.關于二階變系數(shù)線性常微分方程求解法的研究［J］.大學數(shù)學，2010，26（2）：12-14.

［2］杜慶.二階變系數(shù)線性非齊次微分方程的通解［J］.天津工程師范學院學報，2010，20（4）：48-50.

［3］楊萬順.二階變系數(shù)線性常微分方程的求解［J］.濰坊學院學報，2011，11（2）：62-64.

［4］張玉蘭.二階變系數(shù)齊次微分方程的通解［J］.長沙大學學報，2013，27（2）：1-3.

［5］張玉蘭.一類二階變系數(shù)線性微分方程的通解［J］.佳木斯大學學報（自然科學版），2013，31（4）：638-639.

［6］高楊，王賀元.一類二階變系數(shù)線性微分方程的解法［J］.高等數(shù)學研究，2014，17（1）：81-82.

［7］孫瑞.變系數(shù)微分方程的解法［J］.九江學院學報（自然科學版），2015，30（1）：56-60.

［8］孫杰華，杜超雄.一類二階變系數(shù)線性微分方程解的研究［J］.邵陽學院學報（自然科學版），2016，13（1）：19-22.

［9］文武.一些特殊類型的變系數(shù)二階線性微分方程解法的研究［J］.大學數(shù)學，2016，32（4）：106-113.

［10］文武.二階變系數(shù)線性微分方程通解的進一步研究［J］.四川文理學院學報，2016，26（5）：7-12.

［11］王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程［M］.3版.北京：高等教育出版社，2006.

General Solution of Second Order Linear Differential Equations with Variable Coefficients

WANG Hui，YE Yongsheng
（School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

In thispaper，the second orderlineardifferentialequationswith variable coefficientsy″+p(x)y′+q(x)y=f(x)are reduced to the first order linear differential equations by using the undetermined function methods.Next，this paper derived out a sufficient and necessary conditionp(x)+(x+k)q(x)=0for the second order linear differential equations with variable coefficients existing a general solution as the form

whereC1andC2are arbitrary constants，andkis some constant.Moreover，some results of the special condi?tions for the linear equations are obtained.

variable coefficients；linear；differential equations；general solution

O 175.1

C

2095-0691（2017）04-0088-04

2017-07-22

安徽省教育廳教育教學研究項目（2016jyxm0932）；安徽省大規(guī)模在線開放課程（MOOC）示范項目（2015mooc053）；安徽省大學數(shù)學系列課程教學團隊（2015jxtd120）；淮北師范大學教學研究重點項目（jy2017105）

王 慧（1979- ），女，安徽淮北人，碩士，副教授，研究方向：密碼學及信息安全、大學數(shù)學教育教學.