基于觀測(cè)器的不確定再入飛行器模型的控制

楊夫猛， 寇春海

(東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620)

基于觀測(cè)器的不確定再入飛行器模型的控制

楊夫猛， 寇春海

(東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620)

利用Lyapunov穩(wěn)定性理論并結(jié)合LMI(linear matrix inequation)方法，基于狀態(tài)觀測(cè)器，研究了一類含有不確定時(shí)變參數(shù)的再入飛行器模型的控制問(wèn)題.首先，驗(yàn)證了觀測(cè)器的可行性.其次，基于觀測(cè)器設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.最后，給出一個(gè)再入飛行器模型的實(shí)例仿真以驗(yàn)證新提出的方法的有效性.

再入飛行器； 狀態(tài)觀測(cè)器； 控制器； 穩(wěn)定性

近年來(lái)，高速再入飛行器被廣泛應(yīng)用于載人航天工程、探月工程等領(lǐng)域，因而其成為研究熱點(diǎn).由于在再入飛行器的再入過(guò)程中，其飛行時(shí)間變長(zhǎng)、飛行環(huán)境不斷變化和質(zhì)心偏移等各種因素會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)的有效控制顯得尤為重要[1-3].關(guān)于飛控系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究成果很多.如文獻(xiàn)[4]基于軌跡優(yōu)化，提出了一種針對(duì)含有不確定參數(shù)和外部干擾的再入飛行器模型的自適應(yīng)方法，但其輸入矩陣中的不確定參數(shù)不是時(shí)變矩陣.文獻(xiàn)[5]研究了一類輸入矩陣中未含不確定時(shí)變參數(shù)的系統(tǒng)，利用自適應(yīng)方法，給出了一種自適應(yīng)控制器.文獻(xiàn)[6]在未考慮輸入矩陣中含有不確定參數(shù)的情況下，設(shè)計(jì)滑模面，給出了一種自適應(yīng)滑?？刂破?，保證閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定.文獻(xiàn)[7]研究了一類系統(tǒng)矩陣中未含有不確定參數(shù)的飛控系統(tǒng)，利用滑模跟蹤控制方法，設(shè)計(jì)一個(gè)跟蹤控制器以抑制系統(tǒng)的不穩(wěn)定現(xiàn)象.在實(shí)際飛控系統(tǒng)中，不確定因素的存在會(huì)對(duì)系統(tǒng)建模及控制輸入帶來(lái)影響，因此有必要在系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣中同時(shí)加以考慮不確定因素.在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，文獻(xiàn)[4-5]假設(shè)所有狀態(tài)信號(hào)均可獲取，但是實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)并非如此，有些狀態(tài)根本無(wú)法有效得到，這對(duì)控制器的設(shè)計(jì)帶來(lái)諸多不確定因素.為了估計(jì)未知狀態(tài)，文獻(xiàn)[8-9]基于狀態(tài)觀測(cè)器，采用LMI(linear matrix inequation)方法，設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器，以控制系統(tǒng)穩(wěn)定，但是其中的觀測(cè)器和控制器沒(méi)有分開(kāi)設(shè)計(jì)，不能更好地驗(yàn)證各自的有效性能.

基于以上分析，本文研究了一類不確定再入飛行器模型，其系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣中同時(shí)含有不確定時(shí)變參數(shù).利用Lyapunov穩(wěn)定性理論并結(jié)合LMI方法提出了一種基于觀測(cè)器的控制方法，其中觀測(cè)器和控制器分別單獨(dú)進(jìn)行設(shè)計(jì)，通過(guò)驗(yàn)證各自的可行性，給出了保證系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件.

1 問(wèn)題描述

本節(jié)首先給出文中所要研究的再入飛行器模型和含有不確定時(shí)變參數(shù)的再入飛行器模型.

1.1 再入飛行器模型

文獻(xiàn)[4]研究的再入飛行器系統(tǒng)方程如下所示.

sinγsinφcosψ)，

2ωeV(tanγcosψcosφ-sinφ)+

q=0.5ρ1V2，ρ1=ρ0e-ζ h，g=g0(R/(R+Rh))2，

式中：m，V分別為飛行器的質(zhì)量和速度；ωx，ωy，ωz分別為機(jī)體x軸，y軸，z軸的角速度；T，F(xiàn)T，F(xiàn)N為機(jī)體軸對(duì)質(zhì)心的空氣動(dòng)力；Mx，My，Mz分別為x軸，y軸，z軸的力矩；γ，ψ分別為航跡角和航向角；R為地球半徑；θ，φ分別為經(jīng)度和緯度；ξ為再入飛行器的傾斜角；Ix，Iy，Iz，Ixy，Iyz，Izx表示機(jī)體軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；r為質(zhì)心相對(duì)于地心的高度；q為動(dòng)態(tài)壓力；ρ1為大氣密度；ρ0為海平面大氣層密度；x，z為橫、側(cè)向的距離；CD，CL分別為阻力、升力系數(shù)；S為飛行器參考面積；ωe，g0分別為地球角速度和重力加速度；ζ，h分別為密度系數(shù)和海拔高度.

經(jīng)過(guò)一階線性化后，上述方程可表示為如式(1)的矩陣形式.

(1)

1.2 不確定再入飛行器模型

在再入飛行器的再入過(guò)程中，系統(tǒng)會(huì)受到不確定因素的影響而發(fā)生變化，系統(tǒng)穩(wěn)定性也會(huì)受到影響.本文為考慮含有不確定時(shí)變參數(shù)的再入飛行器模型.

(2)

式中：x(t)∈Rn為狀態(tài)向量；u(t)∈Rm為控制向量；y(t)∈Rp為輸出向量；A，B分別為系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣；C為已知矩陣；ΔA(t)， ΔB(t)是不確定矩陣，滿足

(3)

式中：Mi，Ni為已知矩陣；I為單位矩陣.且假設(shè)系統(tǒng)(A，C)可觀測(cè)，系統(tǒng)(A，B)可控.

2 觀測(cè)器設(shè)計(jì)和基于觀測(cè)器的控制器設(shè)計(jì)

在實(shí)際飛控系統(tǒng)中，系統(tǒng)狀態(tài)并非能全部直接得到，僅有輸出變量可以直接得到.本節(jié)主要借助狀態(tài)觀測(cè)器以估計(jì)實(shí)際狀態(tài)，并基于觀測(cè)器設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器.在設(shè)計(jì)觀測(cè)器和控制器之前，首先給出以下定義和引理.

引理2[10](Schur補(bǔ)引理)對(duì)于給定的實(shí)對(duì)稱矩陣

式中：S11為r×r維.下列條件等價(jià)：

引理3[11](Young不等式)對(duì)于?η>0及實(shí)向量x和y，有下面不等式成立：

2xTy≤ηxTx+η-1yTy.

(4)

2.1 觀測(cè)器設(shè)計(jì)

由于實(shí)際系統(tǒng)中的狀態(tài)變量并非能全部直接獲取，為了估計(jì)未知的實(shí)際狀態(tài)，根據(jù)系統(tǒng)(2)，設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器

定義

式中：e(t)∈Rn為狀態(tài)估計(jì)誤差向量，則狀態(tài)估計(jì)誤差動(dòng)態(tài)方程為

(5)

定理1若存在μ>0，正定矩陣P∈Rn×n和矩陣L∈Rn×p滿足

(6)

則狀態(tài)估計(jì)誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(5)是穩(wěn)定的，其中Φ11=(A-LC)TP+P(A-LC).

證明選取Lyapunov函數(shù)

V1(e)=eTPe，e∈Rn.

則它沿著式(5)的解的導(dǎo)數(shù)為

eT(t)((A-LC)TP+P(A-LC))e(t)+2eT(t)PΔA(t)e(t)，

(7)

由式(3)和(4)可知，存在μ>0使得

(8)

將式(8)代入式(7)中，得

由引理2知，式(6)等價(jià)于

2.2 控制器設(shè)計(jì)

基于上述設(shè)計(jì)的觀測(cè)器，設(shè)計(jì)系統(tǒng)(2)的狀態(tài)反饋控制器，并給出使系統(tǒng)(2)穩(wěn)定的充分條件.

基于狀態(tài)觀測(cè)器，設(shè)計(jì)如下?tīng)顟B(tài)反饋控制器

(9)

式中：K∈Rm×n為待確定的反饋增益矩陣.

在給出主要結(jié)果之前，首先給出一個(gè)引理.

引理4[12]假設(shè)系統(tǒng)(A，B)可控，則存在反饋增益矩陣K∈Rm×n使得A-BK穩(wěn)定，即A-BK為Hurwitz矩陣.

定理2若存在εi>0(i=1， 2， 3， 4)，正定矩陣H∈Rn×n和矩陣K∈Rm×n，使得

(10)

式中：

Π12=HBK，

式中：K為式(9)中的反饋增益矩陣.則控制器(9)可使系統(tǒng)(2)穩(wěn)定.

證明將控制器(9)代入系統(tǒng)(2)中，則系統(tǒng)(2)可寫(xiě)為

(A-BK)x(t)+(ΔA(t)-

ΔB(t)K)x(t)+(B+ΔB(t))Ke(t).

(11)

考慮Lyapunov函數(shù)

V2(x，e)=xTHx+eTPe，x，e∈Rn.

則它沿著式(11)的解的導(dǎo)數(shù)為

xT(t)((A-BK)TH+H(A-BK))x(t)+ 2xT(t)HΔA(t)x(t)- 2xT(t)HΔB(t)Kx(t)+ 2xT(t)HBKe(t)+ 2xT(t)HΔB(t)Ke(t)+

eT(t)((A-LC)TP+P(A-LC))e(t)+ 2eT(t)PΔA(t)e(t)，

(12)

式中：正定矩陣P∈Rn×n和矩陣L∈Rn×p由定理1給出.

又由式(3)和(4)知，存在εi>0(i=1， 2， 3， 4)分別滿足

(13)

將式(13)代入(12)中得

xT(t)((A-BK)TH+H(A-BK))x(t)+

然而，要找到滿足上述條件的H和K并不容易，下面結(jié)合LMI方法給出定理2的一個(gè)推論以求解反饋增益矩陣K.

推論假設(shè)正定矩陣P∈Rn×n和矩陣L∈Rn×p滿足定理1條件，若存在εi>0(i=1， 2， 3， 4)和矩陣K∈Rm×n，使得

(14)

式中：

E11=AT+A-KTBT-BK+

則基于觀測(cè)器的控制器(9)使系統(tǒng)(2)穩(wěn)定.

此推論說(shuō)明，若求解式(14)求出矩陣K，則基于觀測(cè)器的控制器便可得到.

3 實(shí)例仿真

下面給出實(shí)例仿真，以驗(yàn)證上述設(shè)計(jì)的有效性.

在系統(tǒng)(2)中，分別取矩陣A，B，C如下[4]：

不確定矩陣(3)中的M1，M2，F(xiàn)1(t)，F(xiàn)2(t)，N1，N2及系統(tǒng)(2)的初始向量分別取為

并選取參數(shù)μ=18，ε1=10-2，ε2=10-3，ε3=103，ε4=102.系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖1和2所示.

(a) 攻角偏轉(zhuǎn)度 (b) 偏航角偏轉(zhuǎn)度 (c) 傾斜角偏轉(zhuǎn)度

(d) 升降舵偏轉(zhuǎn)度 (e) 副翼偏轉(zhuǎn)度 (f) 方向舵偏轉(zhuǎn)度 圖1 控制輸入信號(hào)Fig.1 Control input signals

(a) 速度 (b) 航跡角 (c) 航向角

(d) x軸角速度 (e) y軸角速度 (f) z軸角速度

(g) 質(zhì)心高度 (h) 經(jīng)度 (i) 緯度 圖2 實(shí)際狀態(tài)(實(shí)線)與估計(jì)狀態(tài)(虛線)軌跡Fig.2 Trajectory of the actual states (solid line) and the estimated states(dotted line)

圖1是系統(tǒng)在受到不確定因素影響時(shí)(0時(shí)刻開(kāi)始)，對(duì)系統(tǒng)輸入的控制信號(hào)；圖2是再入飛行器的實(shí)際狀態(tài)(實(shí)線)與狀態(tài)觀測(cè)器所觀測(cè)的狀態(tài)(虛線)的軌跡.從圖1和2中可以清晰看出，所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器能夠很好地觀測(cè)再入飛行器系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)，通過(guò)反饋控制器，將所觀測(cè)到的狀態(tài)代入到實(shí)際系統(tǒng)中，并在短時(shí)間內(nèi)有效地使系統(tǒng)達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài).

4 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了一類含有不確定時(shí)變參數(shù)的再入飛行器模型的控制問(wèn)題，主要利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI(Linear Matrix Inequation)方法，分別單獨(dú)設(shè)計(jì)了狀態(tài)觀測(cè)器和狀態(tài)反饋控制器，最后通過(guò)實(shí)例仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性.

[1] BORGLUND D， KUTTENKEULER J. Active wing flutter suppression using a trailing-edge flap[J]. Journal of Fluids and Structures， 2002， 16 (3)： 271-294.

[2] HAN J H， TANI J， QIU J H. Active flutter suppression of a lifting surface using piezoelectric actuation and modern control theory[J]. Journal of Sound and Vibration， 2006， 291 (3/5)： 706-722.

[3] GIBSON T E， CRESPO L G， ANNASWAMY A M. Adaptive control of hypersonic vehicles in the presence of modeling uncertainties[C]//American Control Conference. St Louis， MO， USA： Institute of Electrical and Electronics Engineers， 2009： 3178-3183.

[4] GAO M Z， CAI G P， NAN Y. Adaptive fault-tolerant control of reentry vehicle considering actuator and sensor faults based on trajectory optimization[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part G： Journal of Aerospace Engineering， 2016， 230 (4)： 726-746.

[5] WANG J， PEI H L， WANG N Z. Adaptive output feedback control using fault compensation and fault estimation for linear system with actuator failure[J]. International Journal of Automation and Computing， 2013， 10(5)： 463-471.

[6] HU X X， WU L G， HU C H， et al. Adaptive sliding mode tracking control for a flexible air-breathing hypersonic vehicle[J]. Journal of the Franklin Institute， 2012， 349 (2)： 559-577.

[7] JIN X Z， YANG G H， ChANG X H. Robust H∞and adaptive tracking control against actuator faults with a linearised aircraft application[J]. International Journal of Systems Science， 2013， 44 (1)： 151-165.

[8] 丁明芳，徐躍良，吳莉華.一類不確定線性系統(tǒng)的基于觀測(cè)器的魯棒控制器設(shè)計(jì)[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，21(1)：22-24.

[9] LIEN C H. Robust observer-based control of systems with state perturbations via LMI approach[J]. IEEE Transaction on Automatie Control， 2004， 49(8)： 1365-1370.

[10] 廖曉昕.穩(wěn)定性的理論、方法和應(yīng)用[M].2版.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2010.

[11] 俞立.魯棒控制—線性矩陣不等式處理方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2002.

[12] 鄭大鐘.線性系統(tǒng)理論[M].2版.北京：清華大學(xué)出版社，2002.

Observer-BasedControlfortheReentryVehicleModelwithUncertainty

YANGFumeng，KOUChunhai

(College of Science，Donghua University， Shanghai 201620， China)

Based on state observer，the control for a class of reentry vehicle model with uncertain invariant parameters is discussed by using the Lyapunov stability theory together with the LMI (linear matrix inequation) opproach. Firstly，the feasibility of the observer is verified. Then， an observer-based state feedback controller is designed， which guarantees the stability of the related systems. Finally， a numerical simulation for a reentry vehicle model is presented to illustrate the effectiveness of the new proposed design methods.

reentry vehicle； state observer； controller； stability

1671-0444(2017)05-0764-07

2016-06-25

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(CUSF-DH-D-2014061)

楊夫猛(1987—)，男，山東滕州人，碩士研究生，研究方向?yàn)槌Ｎ⒎址匠?E-mail： yfmclp@163.com

寇春海(聯(lián)系人)，男，教授，E-mail： kouchunhai@dhu.edu.cn

O 231.1

A

(責(zé)任編輯：杜佳)