圖形翻折類中考題解析

江蘇省無錫市港下中學 程 軍 (郵編：214199)

圖形翻折類中考題解析

江蘇省無錫市港下中學 程 軍 (郵編：214199)

2017無錫中考落下帷幕,對于試卷第10題,在閱卷過程中,同行們普遍認為題目入口寬、解法多樣、精彩,體現(xiàn)數(shù)學本質,是一道充滿數(shù)學味的試題,現(xiàn)摘錄如下.

題目 (2017無錫中考第10題)如圖,△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝3,AC＝4,點D是BC的中點,將△ABD沿AD翻折得到△AED,則線段CE的長等于( )

1 解法展示

1.1 解法一

解題透視 為什么會想到連接BE?如何求BE長?△ABD與△AED關于AD對稱,觀察B、E是對稱點,聯(lián)想BE被AD垂直平分;另一方面DE＝DB＝DC,容易聯(lián)想到產(chǎn)生Rt△;至于如何解決BE長,可以采用面積法,也可以采用求其一半(用相似).

解后反思為何如此考慮?基于軸對稱性,發(fā)現(xiàn)DB＝DE＝DC,構造直角三角形.

1.2 解法二

解題思路 連接BE,設AD與BE交點為F,則△ABF∽△BCA,由AB＝3,得AF＝,DF＝由DF為△BEC的中位線,則EC＝.

解題透視 如何求DF長,為什么DF是△BEC的中位線?由△ABD與△AED關于AD對稱,觀察知∠ADB＝∠ADE,DE＝DC;聯(lián)想到外角 ∠BDE＝∠DEC＋∠DCE,可推出∠ADB＝∠DCE,得AD∥CE,中位線DF也就呼之欲出;轉化為求AF,觀察△ABF與△ABC相似,于是問題解決.

解后反思如何看出DF是三角形BEC的中位線?如何看出△ABF與△ABC相似的?

基于軸對稱性,對應角、對應邊相等(∠ADB＝∠ADE,DE＝DC),聯(lián)想到外角性質,發(fā)現(xiàn)AD∥CE,進而發(fā)現(xiàn)DF為中位線;基于對稱點連線BE被對稱軸AD垂直平分,結合∠DAB＝∠DBA,構造出與“3,4,5”相似的Rt△.

1.3 解法三

解題思路 過A、D分別作AF⊥BC,DG⊥CE,則△ADF≌△DCG,DF＝CG,且DC＝,得DF＝

解題透視 如何想到作雙高AF和DG的?根據(jù)軸對稱性,觀察知 ∠ADB＝∠ADE,DE＝DC,可推出∠ADB＝∠ECD,由角相等聯(lián)想到相似,作高AF、DG(直角三角形斜邊上的高AF,常見作法;等腰三角形DEC底邊上的高DG,也是常見作法),構造相似三角形,事實上△ADF與△DCG全等,推出CE＝2DF,利用面積法求AF長,勾股定理求DF,解決問題.

解后反思 基于翻折特征,對應角相等,對應邊相等,DE＝DC,∠ADF＝∠GCD,構造相似三角形(恰好全等);基于對“3,4,5”直角三角形的熟悉程度,作高AF,Rt△ADF三邊已知,CD也已知,能求解CG.

1.4 解法四

解題思路 延長BA、CE交于H,由于∠BCA＝ECA,所以CH＝CB＝5,△AEH∽

解題透視 為什么會想到延長BA、CE?如何快捷求出EH來?根據(jù)軸對稱性,對應角相等、對應邊相等,結合外角性質,得平行(AD∥CH),得角平分線(DC＝DA結合平行),結合∠BAC＝90°,構造等腰三角形;聯(lián)想到AB＝AE＝AH,∠BAD＝ ∠H,構造相 似 △AEH,△DAB(三邊已知)求解EH.

解后反思 基于翻折特征,對應角、邊相等,由外角性質,才看出AD、CE平行,進而看出CA為角平分線,最后才聯(lián)想到延長BA、CE.

1.5 解法五

解題思路 過A作AF⊥BC、AH⊥CE,△AEH∽△CBA∽△CAH,EH＝

解題透視 解法五與解法四有相同點,均發(fā)現(xiàn)CA為角平分線,不同點是解法五聯(lián)想到角平分線的性質,作雙高AF、AH,利用 △AEH∽△CHA∽△CAB,解決問題,比解法四更簡潔.

解后反思 基于翻折特征,聯(lián)想相關性質,推出CA為角平分線,由角平分線作垂線,構造“3,4,5”的直角三角形.

1.6 解法六

解題思路 過E作EF⊥AC,△CBA∽△CEF,設EF＝3x,CF＝4x,AF＝4－4x,在Rt△AEF中,32＝ 3x()2＋(4－4x)2,25x2－

解題透視 為什么過E點作AC的垂線EF?似乎感覺很唐突!由翻折特征,聯(lián)想外角性質,推理出CA為角平分線,而∠ACB為“3,4,5”Rt△的已知角,自然 ∠ECF也為已知,作垂線,能構造“3,4,5”三角形,結合Rt△AEF,AE＝AB＝3,AC＝4,利用勾股定理解決問題,故作垂線EF不唐突,有道理!

解后反思 基于翻折特征,發(fā)現(xiàn)∠ECF＝∠ACB,構造3,4,5的直角三角形,利用勾股定理在Rt△AEF解決問題.

2 解法歸納和分析

翻折本質上就是軸對稱,軸對稱變換是初中數(shù)學重要的圖形變換,歷來是中考重點,但考生為什么普遍感覺難?先從它的特征說起.軸對稱的性質有以下兩條,若兩個圖形關于某直線軸對稱,(1)則對應線段相等,對應角相等;(2)對應點連線被對稱軸垂直平分;以上兩點,學生無不理解,但問題就在于具體情景中,學生就顯得無所適從.其中角相等的運用是難點.在上述六種解法中,經(jīng)常出現(xiàn)基本圖形(例如與“3,4,5”相似的三角形,直角三角形斜邊上的高,角平分線等)這些圖形是否熟悉,直接影響到學生的聯(lián)想和思維發(fā)散.從角相等能聯(lián)想到等腰三角形,聯(lián)想到平行,聯(lián)想到相似,學會聯(lián)想很要緊;對應點連線被對稱軸垂直平分其實能觀察出Rt△,進而聯(lián)想到相似三角形,勾股定理等.

3 對今后教學的建議

3.1 重視基本知識、基本性質,為分析問題、解決問題提供堅實的“物質基礎”

數(shù)學基本概念、性質、法則、定理等是數(shù)學知識的核心,也是形成解題能力的基礎,離開了基礎知識的積累,解題能力就成為空中樓閣.軸對稱是初中數(shù)學的重點和難點.它的性質學生掌握不全,知識結構混亂.軸對稱實質是全等變換.對應邊相等,對應角相等是它的首要特征;另外,對應點連線被對稱軸垂直平分也是十分重要的性質,這一點學生往往忽視,教學時要強調對稱軸的重要性.可以讓學生從以下兩個角度理解來牢固完整掌握軸對稱的性質(1)它是全等變換;(2)對稱軸的作用.解題能力的提高首先要十分熟悉相關性質和定理法則概念等.

3.2 重視積累基本圖形,提高識圖能力

基本圖形是數(shù)學教學中長期總結出來的“珍珠”,具有強大生命力,經(jīng)得起實踐檢驗.它往往蘊涵著基本知識和基本方法.在復雜圖形中若能發(fā)現(xiàn)或構造基本圖形,就可以直接獲取基本圖形所蘊含的結論和方法,實現(xiàn)思維跳躍,大大降低思考力度.

上述解法中的基本圖形有“3,4,5”的直角三角形;等腰三角形三線合一;Rt△斜邊上的高;與“3,4,5”相似的Rt△;角平分線上的點到角兩邊的距離相等.這些圖形和基本特征的積累,有助于提高學生的識圖能力,有助于打開學生解題的思路,發(fā)散學生的思維,提高解題能力.

3.3 重視對學生聯(lián)想能力的培養(yǎng),提高學生的發(fā)散思維

聯(lián)想解題就是從題目已知條件展開發(fā)散,想象,從自己知識倉庫中找出與題目條件接近或相似的結論或基本圖形或定理,變通使用這些知識,從而解決問題.基礎知識和基本圖形就是“珍珠”,有了珍珠還必須用線串起來才精彩,這根線就是聯(lián)想.例如看到等腰三角形就能聯(lián)想到三線合一,已知直角三角形兩邊求斜邊上的高就能聯(lián)想到面積法,看到角平分線就能聯(lián)想到角平分線的性質,能識別出角相等就能聯(lián)想到構造相似三角形(往往是Rt△).這些聯(lián)想要在平時教學中潛移默化的滲透,不斷“厚積”,方能“薄發(fā)”.

注：“3,4,5”的直角三角形是指與邊長為“3,4,5”的直角三角形相似的三角形.

2017-09-05)