開(kāi)放題：基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的新載體

王晉遠(yuǎn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的結(jié)果，需要在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中積淀。數(shù)學(xué)開(kāi)放題問(wèn)題解決具有發(fā)散性，其答案不唯一，解題時(shí)需要運(yùn)用多種思維方法，通過(guò)多角度的觀察、想象、分析、綜合、類比、歸納、概括等思維方法，探求多個(gè)解決問(wèn)題的方向。因此，開(kāi)放題是積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要載體。

一、在策略開(kāi)放中積累多向思維基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中所獲得的，離開(kāi)了活動(dòng)過(guò)程，就不會(huì)形成有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在策略開(kāi)放解決問(wèn)題教學(xué)中，學(xué)生自主思考、體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣性和可行性，積累多向思維基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

案例一：計(jì)算雞蛋的體積

小學(xué)六年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)了求長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、圓錐體等規(guī)則形體的體積知識(shí)后，老師專門安排了一次開(kāi)放性數(shù)學(xué)活動(dòng)：把全班同學(xué)分成6個(gè)人為一個(gè)小組，分別圍坐在一起，每個(gè)組的桌子上均放有1個(gè)雞蛋、1盆水、1個(gè)矩形塑料盒、1個(gè)茶缸和1把尺子，要求每個(gè)組的同學(xué)動(dòng)腦筋想辦法，齊心協(xié)力計(jì)算出雞蛋的體積。

經(jīng)過(guò)充分討論，每個(gè)小組都有了各自的測(cè)算方法，并期望得到老師和其他同學(xué)的認(rèn)可，全班同學(xué)人人欲當(dāng)“發(fā)明者”。

老師特意為他們安排了交流的機(jī)會(huì)，一人發(fā)言，多人補(bǔ)充，其他同學(xué)指出不足。

生1：我把雞蛋看作近似圓柱體，在心里適當(dāng)“割補(bǔ)”，測(cè)量出它的底面半徑和高進(jìn)行計(jì)算。

生2：這種方法計(jì)算出的體積不夠精確，我們可以把雞蛋搗破，把蛋黃、蛋清、擠碎后的蛋殼都倒入圓柱體的杯子里攪勻，測(cè)量杯子的底面直徑和蛋汁在杯中的深度再計(jì)算。

生3：利用橡皮泥捏出一個(gè)與原雞蛋大小、形狀完全一樣的“雞蛋”，再改成圓柱體測(cè)量計(jì)算。

生4：把雞蛋放入圓柱體杯子里，注滿水，再取出雞蛋，空出的體積便是雞蛋的體積。

生5：把杯子裝滿水，再放入雞蛋，溢出水的體積就是雞蛋的體積。

……

師：剛才大家想出了這么多的方法，各不一樣，都有道理。下面請(qǐng)大家運(yùn)用桌上已有的材料，測(cè)量計(jì)算出雞蛋的體積來(lái)，要求簡(jiǎn)便易行、科學(xué)準(zhǔn)確。

頓時(shí)教室內(nèi)就像沸水滾開(kāi)了鍋，各小組合理分工，配合默契，持蛋、灌水、測(cè)量、計(jì)算，很快算出了結(jié)果。

在教學(xué)中注重結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效的開(kāi)放性數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，讓學(xué)生在自主探索與合作交流中去思考，去質(zhì)疑，去辨析，去釋疑，直至豁然開(kāi)朗，積累多向思維基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

二、在開(kāi)放思考中積累發(fā)散思維基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

杜威認(rèn)為：“教育就是經(jīng)驗(yàn)的改造或改組。這種改造或改組，既能增加經(jīng)驗(yàn)的意義，又能提高指導(dǎo)后來(lái)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)程的能力?！痹诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)嘗試、探究，突破固有思維，在開(kāi)放性思考中積累發(fā)散思維基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

案例二：解決行程中的數(shù)學(xué)問(wèn)題

問(wèn)題：小明和小軍分別從甲乙兩地同時(shí)出發(fā)，在甲乙兩地之間行走（到達(dá)另一地后就馬上返回）。他倆在離甲地5千米處第一次相遇，在離乙地3千米處第二次相遇。問(wèn)他們兩人第9次相遇的地點(diǎn)離乙地是多少千米（相遇指迎面相遇）？

分析：學(xué)生在解這道數(shù)學(xué)題的過(guò)程中，很容易受到常規(guī)思維的影響，只考慮第二次相遇時(shí)小明和小軍各有一個(gè)轉(zhuǎn)身這一種情況，僅僅得到一個(gè)答案。事實(shí)上，這是一道開(kāi)放性題目，需要開(kāi)放思考，根據(jù)小明和小軍的運(yùn)動(dòng)情景進(jìn)行分類討論。

思考：依題意第一次相遇，小明和小軍一共走了一個(gè)甲乙兩地的路程，小明走了5千米。第二次相遇，小明和小軍一共走了三個(gè)甲乙兩地的路程，小明走了5×3=15（千米），且離乙地3千米時(shí)相遇。此時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：

第一種情況：第二次相遇時(shí)小明和小軍各有一個(gè)轉(zhuǎn)身：甲乙兩地相距15-3=12（千米）。從第二次相遇開(kāi)始，下一次相遇，小明和小軍一共要走2個(gè)甲乙兩地的路程。那么第9次相遇，小明和小軍共走了1+2×（9-1）=17（個(gè)）甲乙兩地的路程。小明走了5×17=85（千米），85÷12=7……1。此時(shí)，小明走完了7個(gè)全程還需要從乙地向甲地走1千米，即第9次相遇的地點(diǎn)離乙地是1千米。

第二種情況：第二次相遇時(shí)小明已兩次轉(zhuǎn)身，而小軍未轉(zhuǎn)身：甲乙兩地相距（15+3）÷3=6（千米）。從第二次相遇開(kāi)始，下一次相遇，小明和小軍一共要走2個(gè)甲乙兩地的路程。那么第9次相遇，小明和小軍共走了1+2×（9-1）=17（個(gè)）甲乙兩地的路程。小明走了5×17=85（千米），85÷6=14……1。此時(shí)，小明走完了14個(gè)全程還需要從甲地向乙地走1千米，即第9次相遇的地點(diǎn)離乙地是6-1=5（千米）。

第三種情況：第二次相遇時(shí)小軍已兩次轉(zhuǎn)身，而小明未轉(zhuǎn)身：甲乙兩地相距15+3=18（千米）。從第二次相遇開(kāi)始，下一次相遇，小明和小軍一共要走2個(gè)甲乙兩地的路程。那么第9次相遇，小明和小軍共走了1+2×（9-1）=17（個(gè)）甲乙兩地的路程。小明走了5×17=85（千米），85÷18=4……13。此時(shí)，小明走完了4個(gè)全程還需要從甲地向乙地走13千米，即第9次相遇的地點(diǎn)離乙地是18-13=5（千米）。

開(kāi)放性思考為學(xué)生提供了更為廣闊的思維空間，在學(xué)生嘗試、探究、開(kāi)放思考中積累了發(fā)散思維的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

三、在開(kāi)放反思中積累創(chuàng)新思維的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

史寧中教授在論及創(chuàng)新能力時(shí)指出：“創(chuàng)新能力依賴于三個(gè)方面：知識(shí)的掌握、思維的訓(xùn)練、經(jīng)驗(yàn)的積累，三方面同等重要。”教學(xué)中，要通過(guò)開(kāi)放性反思，克服負(fù)面的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高應(yīng)變能力與創(chuàng)新能力，積累創(chuàng)新思維的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

案例三：旅游中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

師出示購(gòu)票信息。

A.大人每位160元，小孩每位40元

B.團(tuán)體5人以上（含5人）每位100元

師：如果是2個(gè)小孩、3個(gè)大人，怎樣購(gòu)票合理？

生：選B方案便宜。

師：如果是3個(gè)小孩、2個(gè)大人，怎樣購(gòu)票合理？

生：選A方案便宜。

師：為什么同樣是5個(gè)人，一種是B省錢 ，一種是A省錢？你發(fā)現(xiàn)其中的秘密了嗎？

生：一種是大人多孩子少，一種是孩子多大人少，大人多孩子少時(shí)選B省錢，孩子多大人多時(shí)選A省錢 。

師：如果是4個(gè)大人，4個(gè)孩子呢？

生：選A與B組合購(gòu)票方案便宜。

師：看來(lái)我們每個(gè)人都要學(xué)會(huì)精打細(xì)算，合理購(gòu)票。

……

對(duì)于如果是4個(gè)大人，怎樣購(gòu)票比較合理這一問(wèn)題，學(xué)生很容易受已經(jīng)形成的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的影響，選用A方案即按每位160元，則4人需要640元。其實(shí)如果打破常規(guī)思維，排除已有經(jīng)驗(yàn)的干擾，買一張5人的團(tuán)體票只用500元，可以節(jié)省140元，如果將多買的一張票找一個(gè)游客一起進(jìn)去，就又可以得到100元或160元，這樣的話，前后共節(jié)省240元或300元。

反思是學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)提煉和升華的過(guò)程，要引導(dǎo)學(xué)生在開(kāi)放性“應(yīng)用和反思 ”中積累創(chuàng)新思維基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生具體問(wèn)題具體分析的能力，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。

總之，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)要在學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程中積累，“積累”也需要一個(gè)過(guò)程。在解決開(kāi)放題過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生把現(xiàn)實(shí)、具體的生活經(jīng)驗(yàn)，提升為理性的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

（作者單位：陜西省永壽縣教研室）endprint