化歸轉(zhuǎn)化思想在正、余弦定理中的應(yīng)用

■重慶市育才中學(xué) 何宜珂

化歸轉(zhuǎn)化思想在正、余弦定理中的應(yīng)用

■重慶市育才中學(xué) 何宜珂

化歸與轉(zhuǎn)化思想,就是緊扣求解目標(biāo),通過(guò)數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系,在轉(zhuǎn)化中實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)范化,即運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)方法,將待解決的問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的或已經(jīng)解決了的問(wèn)題去解決。正弦定理、余弦定理溝通了三角形中邊與角的關(guān)系,用這兩個(gè)定理可以實(shí)現(xiàn)邊與角的轉(zhuǎn)化,從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程,下面舉例說(shuō)明。

一、繁雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單

對(duì)于很多數(shù)學(xué)問(wèn)題,通過(guò)同解變形,將繁雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成特殊的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題,解決起來(lái)就容易得多了。

分析：由正弦定理得c=2RsinC,a=2RsinA,b=2RsinB,其中R為△ABC外接圓半徑。由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,可得余弦定理的變形形式:sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC。

證明：sin2A+sin2B+cos2C+2sinA·sinBcos(A+B)=sin2A+sin2B-2sinA·sinBcosC+cos2C=sin2C+cos2C=1。

二、陌生轉(zhuǎn)化為熟悉

各類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題組成數(shù)學(xué)問(wèn)題的海洋,每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題就是題海中的一滴水。對(duì)我們每個(gè)人來(lái)說(shuō),沒(méi)見(jiàn)過(guò)、沒(méi)練過(guò)的數(shù)學(xué)問(wèn)題要比見(jiàn)過(guò)、練過(guò)的多得多。所以我們只有將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題,才容易找到切入點(diǎn)。

證明：由sin2A-cos2得cos2A=又A是三角形的內(nèi)角,則得

綜上,恒有b+c≤2a。

三、數(shù)式轉(zhuǎn)化為圖形

有些代數(shù)問(wèn)題直接用代數(shù)方法解決起來(lái)比較困難,可以轉(zhuǎn)化為幾何圖形,借助圖形特點(diǎn)來(lái)解決。

分析：在△ABC中,由正弦定理得c=2RsinC,a=2RsinA,b=2RsinB,其中R為△ABC外接圓半徑。由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,于是可得余弦定理的變形形式:sin2C=sin2A+sin2B-2sinA·sinBcosC。

解：如圖1所示,構(gòu)造△ABC,設(shè)外接圓半徑為1,∠A=20°,∠B=40°,∠C=120°,則:

原式=sin220°+sin240°+sin20°sin40°

圖1

=sin220°+sin240°-2sin20°sin40°cos120°=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C=sin2120°=

小結(jié)：在化歸轉(zhuǎn)化的過(guò)程中,一定要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性。若實(shí)施了不等價(jià)轉(zhuǎn)化,解后應(yīng)檢驗(yàn)其結(jié)果,否則極易出錯(cuò)。

(責(zé)任編輯 徐利杰)