應(yīng)用焦半徑公式的角度式解題

浙江 楊育池

應(yīng)用焦半徑公式的角度式解題

浙江 楊育池

眾所周知，圓錐曲線上的任意一點M與圓錐曲線焦點F的連線段MF的長度，叫做圓錐曲線焦半徑．焦半徑是圓錐曲線中的重要幾何量之一，因其能與圓錐曲線的離心率、過焦點的直線斜率(或傾斜角)、向量(定比分點)和焦點弦長等知識交匯，故倍受命題人青睞，在近幾年的高考題中頻頻亮相，作為客觀題中的壓軸題、甚至大題進(jìn)行考查，以測試考生數(shù)學(xué)知識與思想方法的掌握和解題策略的運用．

我們考慮到焦半徑由其所在直線的傾斜角唯一確定，運用這一關(guān)系研究處理與焦半徑有關(guān)的問題，計算可能更顯快捷．下面我們首先推導(dǎo)橢圓的焦半徑公式的角度式.

一、認(rèn)識焦半徑的角度式

由余弦定理，有|MF1|2+|F1F2|2-2|MF1|·|F1F2|cosα=|MF2|2，

又由橢圓的定義，有|MF2|=2a-|MF1|，

故|MF1|2+4c2-4c|MF1|cosα=(2a-|MF1|)2，

下面再從近三年高考題與大學(xué)自主招生題及競賽題中擷取幾例說明公式的應(yīng)用.

二、公式的簡單應(yīng)用

1 計算焦半徑或焦點弦長

( )

C.3 D.2

故由a2=b2+c2，解得c=2，所以a=3,b2=5，

2 計算與焦半徑有關(guān)直線的斜率

【例3】(2016·四川卷理8)設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y2=2px(pgt;0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|=2|MF|，則直線OM斜率的最大值為

( )

3 計算與焦半徑有關(guān)平面圖形的面積

【例4】(2016·全國卷Ⅰ理20)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

(Ⅰ)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

(Ⅱ)設(shè)點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)圓的半徑r=4，故|AC|=|AD|=r，

又BE∥AC，則|BE|=|ED|.

故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AC|=4為定值.

因此，由橢圓的定義，

(Ⅱ)如圖，由(Ⅰ)知，直線l過橢圓的右焦點B(1,0)，記l的傾斜角為α，則0lt;αlt;π，

又點A到PQ的距離d=|AB|·|cosα|=2|cosα|，

故四邊形MPNQ面積

4 計算圓錐曲線的特征量

(Ⅱ)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F1N|，求a，b.

因為|MN|=5|F1N|，即|F1M|=4|F1N|，

消去c得3(a-2)=5(a-4)，即a=7.

(Ⅱ)記PF1的傾斜角為α,橢圓的半焦距為c，

因為PQ⊥PF1，故|PF1|=|F1F2|·cosα=2ccosα，

|PF2|=|F1F2|sinα=2csinα，

由橢圓的定義，有2c(cosα+sinα)=2a，

【提示】記PF1的傾斜角為α,橢圓的半焦距為c.

因為PQ⊥PF1，故|PF1|=|F1F2|·cosα=2ccosα，

由|PF1|=|PQ|，

整理上式，有

【提示】記AF1的傾斜角為α，

由|AF1|=3|BF1|得，3(a-ccosα)=a+ccosα，

在△ABF2中，由余弦定理，

有|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B=|AB|2，

整理得4e4-12e2+5=0，即(2e2-1)(2e2-5)=0，

5 計算定值

(Ⅰ)求橢圓L的方程；

(Ⅱ)求λ1+λ2的值；

(Ⅲ)求△F1AC的面積S的最大值.

(Ⅱ)如圖,設(shè)直線F2A,F1A的傾斜角分別為α,β，

由橢圓定義，有

(Ⅲ) 因為S=S△F1F2A+S△F1F2C

當(dāng)且僅當(dāng)sinα=1即AC⊥x軸時等號成立.

浙江省象山中學(xué))