高中數(shù)學(xué)變式題組訓(xùn)練二
——高中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)準(zhǔn)備平幾部分

湖北 胡曙彪 吉林 邱 博 湖南 歐陽(yáng)巧林 江蘇 王懷學(xué)

高中數(shù)學(xué)變式題組訓(xùn)練二
——高中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)準(zhǔn)備平幾部分

湖北 胡曙彪 吉林 邱 博 湖南 歐陽(yáng)巧林 江蘇 王懷學(xué)

1.線段的比值問(wèn)題：1.1平行線分線段成比例定理；1.2 直角三角形的射影定理；1.3 三角形角平分線定理.

2.三角形：2.1 “外心”是三角形的三邊中垂線的交點(diǎn)；2.2 “重心”是三角形的中線的交點(diǎn)；2.3 “內(nèi)心”是三角形的角平分線的交點(diǎn)；2.4 “垂心”是三角形的高的交點(diǎn).

3.四邊形：3.1 平行四邊形的判定；3.2 菱形的性質(zhì)；3.3 圓內(nèi)接四邊形的判定定理；3.4 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

4.圓：4.1 垂徑定理；4.2 圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；4.3 切線長(zhǎng)定理；4.4 兩圓的位置關(guān)系.

5.幾個(gè)重要性質(zhì)和策略：5.1 點(diǎn)的軌跡；5.2 常見(jiàn)的輔助線；5.3 兩點(diǎn)之間線段最短；5.4 等積法求面積.

6.圓冪定理：6.1 相交弦定理；6.2 割線定理；6.3 切割線定理.

1.線段的比值問(wèn)題

1.1 平行線分線段成比例定理

【證明】如圖，過(guò)A作直線l∥BC，

過(guò)E作EF∥AB交BC于F，得四邊形BDEF為平行四邊形，∴DE=BF.

【評(píng)注】平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.

【變式1】如圖所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正確的有________(填序號(hào))．

( )

【證明】過(guò)A作AG∥DF交CB的延長(zhǎng)線于G，則

∵AD⊥CD，E為AC中點(diǎn)，∴DE=EC，

∴∠EDC=∠ECD，∴∠AGB=∠ECD，

【評(píng)注】①用添加平行輔助線的方法構(gòu)造使用平行線等分線段定理與平行線分線段成比例定理的條件．特別是在使用平行線分線段成比例定理及推論時(shí)，一定要注意對(duì)應(yīng)線段，對(duì)應(yīng)邊.②利用平行線等分線段定理將某線段任意等分，需要過(guò)線段的一個(gè)端點(diǎn)作輔助線，在作圖時(shí)要注意保留作圖痕跡.③證明線段成比例問(wèn)題，一般有平行的條件可考慮用平行線分線段成比例定理或推論，也可以用三角形相似或考慮用線段替換等方法．

【變式2】已知△ABC，D在AC上，AD∶DC=2∶1，能否在AB上找到一點(diǎn)E，使得線段EC的中點(diǎn)在BD上.

1.2 直角三角形的射影定理

【典例】如圖,在直角三角形ABC中，∠BAC為直角，AD⊥BC于D.

求證：(1)AB2=BD·BC，AC2=CD·CB；

(2)AD2=BD·CD.

【證明】(1)在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠B=∠B，

同理可證得AC2=CD·CB.

(2)在Rt△ABD與Rt△CAD中，∠BAC=90°=∠CAD+∠BAD，

即AD2=BD·CD.

【評(píng)注】我們把這個(gè)例題的結(jié)論稱為射影定理，文字表述為直角三角形的每一條直角邊是它在斜邊上的射影與斜邊的比例中項(xiàng),斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng).該定理對(duì)直角三角形的運(yùn)算很有用.

【變式1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD=2，BD=3，則AC=________.

1.3 三角形角平分線定理

【證明】過(guò)C作CE∥AD，交BA延長(zhǎng)線于E，如圖所示.

又∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,

在△BCE中，由AD∥CE,

知∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE,

∴∠ACE=∠E,∴AE=AC,

【評(píng)注】該例題的結(jié)論也稱為角平分線性質(zhì)定理，可敘述為三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例.

【變式1】如圖，在△ABC中，AD是角BAC的平分線，AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm,求BD的長(zhǎng).

2.三角形

2.1 “外心”是三角形的三邊中垂線的交點(diǎn)

【典例】已知O為銳角三角形ABC的外心，求證:∠BOC=2∠A.

【證明】連接AO，并延長(zhǎng)交BC于D,連接OB,OC．

∵O為銳角三角形的外心，∴OA=OB=OC，

∴△OAB,△OAC為等腰三角形，

∴∠ABO=∠BAO,∠OAC=∠OCA,

∠BOC=∠BOD+∠DOC

=∠ABO+∠BAO+∠OAC+∠OCA

=2(∠BAO+∠CAO)

=2∠BAC,

即∠BOC=2∠A.

【評(píng)注】過(guò)不共線的三點(diǎn)A,B,C有且只有一個(gè)圓，該圓是三角形ABC的外接圓，圓心O為三角形的外心.三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn).

【變式1】在△ABC中，AB=AC=3,BC=2.求

(1)△ABC的面積S△ABC及AC邊上的高BE；

(2)△ABC的內(nèi)切圓的半徑r；

(3)△ABC的外接圓的半徑R.

2.2 “重心”是三角形的中線的交點(diǎn)

【典例】求證：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，且被該交點(diǎn)分成的兩段長(zhǎng)度之比為2∶1.

【解析】已知:D,E,F分別為△ABC三邊BC,CA,AB的中點(diǎn)，求證:三條中線AD,BE,CF交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成長(zhǎng)度比為2∶1的兩條線段.

【證明】如圖，連接DE，設(shè)AD,BE交于點(diǎn)G，

∵D,E分別為BC,AC的中點(diǎn)，

∴△GDE∽△GAB，且相似比為1∶2，

∴AG=2GD,BG=2GE.

設(shè)AD,CF交于點(diǎn)G′，

同理可得AG′=2G′D,CG′=2G′F.

則G與G′重合，所以AD,BE,CF交于一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成2∶1.

【評(píng)注】三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心．三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點(diǎn).

【變式1】如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，點(diǎn)D為BC上任一點(diǎn)，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M為BC的中點(diǎn)，試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論.

2.3 “內(nèi)心”是三角形的角平分線的交點(diǎn)

【證明】(法1)作△ABC的內(nèi)切圓，則D,E,F分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點(diǎn)，

∵AE,AF為圓外從同一點(diǎn)作的兩條切線，

∴AE=AF，

同理BD=BF，CD=CE.

∴b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD

=AF+AE=2AF=2AE.

(法2)作△ABC的內(nèi)切圓，則D,E,F分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點(diǎn)，根據(jù)切線長(zhǎng)相等，可以設(shè)AE=AF=x，BD=BF=y,CD=CE=z,

【評(píng)注】三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的三邊的距離相等.本例的結(jié)論可以作為求內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)的公式．尤其是對(duì)于直角三角形來(lái)講，這個(gè)公式就可以演變?yōu)橹苯侨切蔚膬?nèi)切圓半徑公式.

【變式1】已知三角形ABC的面積為S，且三邊長(zhǎng)分別為a,b,c，則三角形的內(nèi)切圓的半徑是________.

【變式2】若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c(其中c為斜邊長(zhǎng))，則三角形的內(nèi)切圓的半徑是________.

2.4 “垂心”是三角形的高的交點(diǎn)

【典例】在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD+BC=AB，E，F(xiàn)為AB，CD的中點(diǎn)，G為AB上一點(diǎn)，且AG=AD．

求證：(1)AF⊥BF；

(2)FG⊥AB.

【證明】(1)∵E，F(xiàn)為AB，CD的中點(diǎn)，

∴∠AFB=90°，∴AF⊥BF．

(2)∵EF∥AD,∴∠DAF=∠AFE，

∵AE=EF，∴∠AFE=∠EAF，

∴∠DAF=∠EAF，又AD=AG，

∴△ADF≌△AGF，∴∠AGF=∠ADF=90°．

∴FG⊥AB．

【評(píng)注】三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為它的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.(如圖)

【變式1】在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD+BC=AB，E，F(xiàn)為AB，CD的中點(diǎn)，G為AB上一點(diǎn)，且AG=AD．求證：DG⊥CG．

3.四邊形

3.1 平行四邊形的判定

【典例】已知：在四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).

(1)請(qǐng)判斷四邊形EFGH是什么四邊形，試說(shuō)明理由；

(2)若四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC,BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形？是菱形？是正方形？

【解析】(1)連接AC，

∵E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),

∴EF∥HG,EF=HG,

∴四邊形EFGH是平行四邊形.

(2)對(duì)角線AC⊥BD時(shí)，EFGH是矩形；

對(duì)角線AC=BD時(shí)，EFGH是菱形；

對(duì)角線AC⊥BD且AC=BD時(shí)，EFGH是正方形．

【評(píng)注】平行四邊形的判定：

(1)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．

(3)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．

(4)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．

【變式1】已知：如圖，矩形ABCD中，E,F,G,H分別是邊上的點(diǎn)，且AE=CG，DH=BF,求證:HG∥EF.

3.2 菱形的性質(zhì)

【典例】在四邊形ABCD中，AB=CD，E,F,G,H分別為AD,BC,BD,AC的中點(diǎn).求證：EF⊥GH.

【證明】如圖所示，連接EG，GF，F(xiàn)H，HE.

∵在△ABD中，E,G分別為AD,BD的中點(diǎn)，

∴四邊形EGFH是平行四邊形.

∴平行四邊形EGFH是菱形.∴EF⊥GH(菱形的對(duì)角線互相垂直).

【評(píng)注】菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．要判定四邊形是菱形的方法是：平行四邊形一組鄰邊相等；平行四邊形對(duì)角線互相垂直；四邊都相等的四邊形．菱形的性質(zhì)：菱形對(duì)角線互相垂直，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．

【變式1】在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，AC上的點(diǎn)，且AE∥FG,AF∥EG,AE=AF.求證：AC平分∠BAD.

3.3 圓內(nèi)接四邊形的判定定理

【典例】如圖，在正方形ABCD中，E,G分別在邊DA,DC上(不與端點(diǎn)重合)，且DE=DG，過(guò)D點(diǎn)作DF⊥CE，垂足為F．

(1)證明：B,C,G,F四點(diǎn)共圓；

(2)若AB=1,E為DA的中點(diǎn)，求四邊形BCGF的面積．

【解析】(1)證明：∵DF⊥CE,∴△DEF∽△CDF,

∴△DGF∽△CBF,由此可得∠DGF=∠CBF,

∴∠CGF+∠CBF=180°，

∴B,C,G,F四點(diǎn)共圓.

(2)由B,C,G,F四點(diǎn)共圓，CG⊥CB知FG⊥FB，

連接GB，由G為Rt△DFC斜邊CD的中點(diǎn)，知GF=GC,

故Rt△BCG≌Rt△BFG,

因此四邊形BCGF的面積S是△GCB面積的2倍，

【評(píng)注】證明四點(diǎn)共圓的常用方法：(1)四點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等；(2)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)；(3)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角；(4)如果兩個(gè)三角形有公共邊，公共邊所對(duì)的角相等且在公共邊的同側(cè)，那么這兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．

【變式1】下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為

( )

①任意三角形都有一個(gè)外接圓，但可能不止一個(gè)；

②矩形有唯一的外接圓；

③菱形有外接圓；

④正多邊形有外接圓．

A．1 B．2 C．3 D．4

3.4 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

( )

A．10 B．13 C．15 D．20

【解析】連接PH，CH，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理有∠BCH=∠A，

又CH=HA，則PA=13.故選B.

【評(píng)注】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角.

【變式1】如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形BCED，延長(zhǎng)ED,CB交于點(diǎn)A，若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，則DE=________，CE=________．

4.圓

4.1 垂徑定理

【典例】如圖，⊙O的直徑AB和弦CD相交于E，若AE=2 cm，BE=6 cm，∠CEA=30°，求：

(1)CD的長(zhǎng)；

(2)C點(diǎn)到AB的距離與D點(diǎn)到AB的距離之比．

【解析】(1)過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD于F，連接DO，

∵AE=2 cm，BE=6 cm，∴AB=8 cm,

∴⊙O的半徑為4 cm,

∵∠CEA=30°，∴OF=1 cm,

【評(píng)注】垂徑定理及其推論是指：一條直線①過(guò)圓心；②垂直于一條弦；③平分這條弦；④平分弦所對(duì)的劣弧；⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)弧．這五個(gè)條件只須知道兩個(gè)，即可得出另三個(gè)(平分弦時(shí)，直徑除外)．

【變式1】如圖，半徑為2的圓內(nèi)有兩條互相垂直的弦AB和CD，它們的交點(diǎn)E到圓心O的距離等于1，則AB2+CD2=

( )

A.28________B.26________C.18________D.35

4.2 圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑

【典例】設(shè)有直線l和圓心為O且半徑為r的圓，怎樣判斷直線l和圓O的位置關(guān)系？

【解析】觀察圖，不難發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系為：當(dāng)圓心到直線的距離dgt;r時(shí)，直線和圓相離，如圓O與直線l1；當(dāng)圓心到直線的距離d=r時(shí)，直線和圓相切，如圓O與直線l2；當(dāng)圓心到直線的距離dlt;r時(shí)，直線和圓相交，如圓O與直線l3.

【評(píng)注】(1)切線的判定：①經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．

(2)切線的性質(zhì)：①圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過(guò)圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過(guò)圓心．

(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng)．

(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．

【變式1】如圖，△ABO中，OA=OB，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過(guò)AB中點(diǎn)C，且分別交OA,OB于點(diǎn)E,F．求證：AB是⊙O的切線；

4.3 切線長(zhǎng)定理

【典例】如圖，AD，AE，BC分別與⊙O切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，延長(zhǎng)AF與⊙O交于另一點(diǎn)G.求證：AF·AG=AD·AE

【證明】∵AD，AE分別與⊙O切于點(diǎn)D，E，∴由切線長(zhǎng)定理得AD=AE,

又∵AF的延長(zhǎng)線與⊙O交于點(diǎn)G，∴由切割線定理得AF·AG=AD2,∴AF·AG=AD·AE.

【評(píng)注】從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等.

【變式1】如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.過(guò)PA的中點(diǎn)Q作割線交⊙O于C，D兩點(diǎn)．若QC=1，CD=3，則PB=________.

4.4 兩圓的位置關(guān)系

【典例1】已知兩圓的半徑分別為6和4，圓心距為2，則兩圓的位置關(guān)系是________.

【解析】∵d=R-r=2,∴兩圓內(nèi)切．

【評(píng)注】?jī)蓤A半徑R,r(Rgt;r)，圓心距d，從而得到關(guān)系：

外離?dgt;R+r；外切?d=R+r；相交?R-rlt;dlt;R+r；內(nèi)切?d=R-r；內(nèi)含?dlt;R-r.

【變式1】已知兩圓的半徑分別為3和8，圓心距為13，則兩圓的公切線的條數(shù)是________.

【變式2】F1,F2是半徑為a的圓O內(nèi)關(guān)于圓心對(duì)稱的兩點(diǎn)，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，且|PF1|+|PF2|=2a，求證：以PF1為直徑的圓M與圓O內(nèi)切.

【典例2】設(shè)圓O1與圓O2的半徑分別為3和2，圓心距為4，A,B為兩圓的交點(diǎn)，試求兩圓的公共弦AB的長(zhǎng)度.

【解析】連接AB交O1O2于C，則O1O2⊥AB，且C為AB的中點(diǎn)，

【評(píng)注】處理圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，常常求出圓心到弦的距離d,弦長(zhǎng)的一半以及半徑，利用勾股定理構(gòu)建關(guān)系式求解.

【變式1】已知圓的半徑是5，弦AB的長(zhǎng)是6，則弦AB的弦心距是________．

【變式2】已知兩圓的半徑分別為3和8，圓心距為13，試求兩圓的外公切線的長(zhǎng)度.

5.幾個(gè)重要性質(zhì)和策略

5.1 點(diǎn)的軌跡

【典例】到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓.

【解析】把長(zhǎng)度為r的線段的一個(gè)端點(diǎn)固定，另一個(gè)端點(diǎn)繞這個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周就得到一個(gè)圓，這個(gè)圓上的每一個(gè)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離都等于r；

同時(shí)，到定點(diǎn)的距離等于r的所有點(diǎn)都在這個(gè)圓上.這個(gè)圓就叫做到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的軌跡.

【評(píng)注】從上面對(duì)圓的討論，可以得出：

(1)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓.

我們學(xué)過(guò)，線段垂直平分線上的每一點(diǎn)，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，和線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡.

(2)和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線.

由角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個(gè)軌跡.

(3)在角的內(nèi)部到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線.

【變式1】畫(huà)圖說(shuō)明滿足下列條件的點(diǎn)的軌跡：

(1)到定點(diǎn)A的距離等于3 cm的點(diǎn)的軌跡；

(2)到直線l的距離等于2 cm的點(diǎn)的軌跡；

(3)已知直線AB∥CD，到AB,CD的距離相等的點(diǎn)的軌跡.

【變式2】已知線段AB=4 cm.畫(huà)出到點(diǎn)A的距離等于3 cm的點(diǎn)的軌跡，再畫(huà)出到點(diǎn)B的距離等于2 cm的點(diǎn)的軌跡，指出到點(diǎn)A的距離等于3 cm，且到點(diǎn)B的距離等于 2 cm 的點(diǎn)，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？

【變式3】⊙O過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)A,B，圓心O的軌跡是什么？畫(huà)出它的圖形.

5.2 常見(jiàn)的輔助線

【典例】如圖所示，已知梯形ABCD中，AB∥CD,上底CD=8 cm,下底AB=12 cm,E,F分別為AC,BD的中點(diǎn)．求EF的長(zhǎng)．

【解析】取BC中點(diǎn)G，連接EG,FG.

∵AE=CE,CG=BG，∴EG∥AB,

同理FG∥CD,

又∵AB∥CD，∴EG∥FG,

∴E,F,G三點(diǎn)共線,

∵EG為△ABC的中位線,

∴EF=EG-FG=2 cm.

【評(píng)注】本例我們可以看到兩個(gè)中點(diǎn)，想到利用三角形中位線定理解題．研究幾何圖形時(shí)，常見(jiàn)的添加輔助線的情形還有：

(1)遇到弦時(shí)(解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí))常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑(或直徑)或再連接過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑．

(2)遇到有直徑時(shí)常常添加(畫(huà))直徑所對(duì)的圓周角．

(3)遇到90°的圓周角時(shí)常常連接該圓周角所對(duì)的直徑．

(4)遇到弦時(shí)常常連接圓心和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，還可連接圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)．

(5)遇到有切線時(shí)：

①常常添加過(guò)切點(diǎn)的半徑(連接圓心和切點(diǎn))，作用：利用切線的性質(zhì)定理可得到直角或直角三角形；

②常常連接圓上一點(diǎn)和切點(diǎn)，作用：可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理．

(6)遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)：

①若直線和圓的公共點(diǎn)還未確定，則常過(guò)圓心作直線的垂線段，再證垂足到圓心的距離等于半徑；

②若直線過(guò)圓上的某一點(diǎn)，則連接這點(diǎn)和圓心(即作半徑)，再證其與直線垂直．

(7)遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)連接內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過(guò)內(nèi)心作三角形各邊的垂線段．

5.3 兩點(diǎn)之間線段最短

【典例】如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A，B．要在河邊建一自來(lái)水廠向A村與B村供水．若要使廠部到A，B村的水管最省料，應(yīng)建在什么地方？

【解析】如圖，畫(huà)出點(diǎn)A關(guān)于河岸EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交EF于P，則P到A，B的距離和最短．應(yīng)該建在P點(diǎn)．

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知PA=PA′，

∴PA+PB=PA′+PB=BA′,

如果另外任選一點(diǎn)P1(異于P)，連接P1A，P1B，P1A′，則有P1A=P1A′.

又P1A+P1B=P1A′+P1Bgt;BA′,BA′=PA+PB，

即P1A+P1Bgt;PA+PB，因此，PA+PB為最短.

由此可見(jiàn)，軸對(duì)稱幫我們找到了符合要求的點(diǎn)的位置．

【評(píng)注】本題要使廠部到A村、B村的距離和最短，可聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間線段最短”．也可以聯(lián)想三角形兩邊之和大于第三邊;垂線段最短也是求最小值的常用方法．

【變式1】如圖，△ABC中，A,B為兩定點(diǎn)，C是直線l上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)最短．

【變式2】如圖，△ABC中，AB=2，∠A=30°，若在AB,AC上各取一點(diǎn)N，M，使得BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值．

【變式3】如圖，兩條公路OA,OB相交，在兩條公路的中間有一個(gè)油庫(kù)，設(shè)為點(diǎn)P，如在兩條公路上各設(shè)置一個(gè)加油站，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，把兩個(gè)加油站設(shè)在何處，可使運(yùn)油車(chē)從油庫(kù)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一個(gè)加油站，再到另一個(gè)加油站，最后回到油庫(kù)所走的路程最短.

5.4 等積法求面積

【典例】已知等邊三角形ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到三邊AB，AC，BC的距離分別為h1,h2,h3，三角形ABC的高為h，“若點(diǎn)P在一邊BC上(如圖a)，此時(shí)h3=0，可得結(jié)論：h1+h2+h3=h.”

請(qǐng)直接應(yīng)用以上信息解決下列問(wèn)題：

當(dāng)(1)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)(如圖b)，(2)點(diǎn)P在△ABC外(如圖c)，這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，h1,h2,h3與h之間有什么樣的關(guān)系，請(qǐng)給出你的猜想(不必證明).

【解析】(1)當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)，h1+h2+h3=h成立.

如圖，連接PA，PB，PC，

∵S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC，

又AB=BC=AC，

∴AM=PD+PE+PF，即h1+h2+h3=h.

(2)當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外如圖c位置時(shí)，h1+h2+h3=h不成立.

猜想：h1+h2-h3=h.

注意：當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外的其它位置時(shí)，還有可能得到其它的結(jié)論，如

h1-h2+h3=h，h1-h2-h3=h等(如圖，想一想為什么？)

【評(píng)注】將任意一個(gè)平面圖形劃分為若干部分再通過(guò)求各部分的面積的和，求出原來(lái)圖形的面積的方法叫做分割法．

將一個(gè)平面圖形的某一部分割下來(lái)移放在另一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢蒙?，從而改變?cè)瓉?lái)圖形的形狀．利用計(jì)算變形后的圖形的面積來(lái)求原圖形的面積的方法叫做割補(bǔ)法．

注意：兩個(gè)圖形全等，它們的面積相等．等底等高的三角形面積相等．一個(gè)圖形的面積等于它的各部分面積的和．

【變式1】如圖，D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB=2∶3，則S△ADE∶S四邊形BCDE等于

( )

A.2∶3 B.4∶9 C.4∶5 D.4∶21

6.圓冪定理

6.1 相交弦定理

【典例】如圖，在⊙O中，M,N是弦AB的三等分點(diǎn)，弦CD,CE分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,N.若CM=2,MD=4,CN=3，則線段NE的長(zhǎng)為

( )

【解析】由相交弦定理可知，

AM·MB=CM·MD,CN·NE=AN·NB，

又∵M(jìn),N是弦AB的三等分點(diǎn)，

∴AM·MB=AN·NB,∴CN·NE=CM·MD，

【評(píng)注】①相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，每條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等;②相交弦定理為圓中證明等積式和有關(guān)計(jì)算提供了有力的方法和工具，應(yīng)用時(shí)一方面要熟記定理的等積式的結(jié)構(gòu)特征，另一方面在與定理相關(guān)的圖形不完整時(shí)，要用輔助線補(bǔ)齊相應(yīng)部分．

【變式1】如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，BE=2AE=2，BD=ED，則線段CE的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

6.2 割線定理

【典例】如圖,A,B是兩圓的交點(diǎn)，AC是小圓的直徑，D和E分別是CA和CB的延長(zhǎng)線與大圓的交點(diǎn)，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，求DE的長(zhǎng)．

【解析】設(shè)CB=AD=x，則由割線定理得CA·CD=CB·CE，

即4(4+x)=x(x+10)，

化簡(jiǎn)得x2+6x-16=0，

解得x=2或x=-8(舍去)，

即CD=6，CE=12．

連接AB，∵CA為小圓的直徑，∴∠CBA=90°，

由圓的內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角得∠D=90°，

【評(píng)注】割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等．

6.3 切割線定理

【典例】如圖所示，已知⊙O1與⊙O2相交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O1的切線交⊙O2于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交⊙O1,⊙O2于點(diǎn)D,E，DE與AC相交于點(diǎn)P．若AD是⊙O2的切線，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的長(zhǎng)．

【解析】∵PA是⊙O1的切線，PD是⊙O2的割線，

∴PA2=PB·PD，

∵PA=AC-PC=6，

∴62=PB·(PB+9)，

∴PB=3．

在⊙O2中，PA·PC=BP·PE．

∴PE=4．

∵AD是⊙O2的切線，DE是⊙O2的割線，

且DE=DB+BP+PE=9+3+4=16，

∴AD2=DB·DE=9×16，∴AD=12．

【評(píng)注】①切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線和一條切線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng);②在實(shí)際應(yīng)用中，見(jiàn)到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理，見(jiàn)到切線和割線時(shí)就要想到切割線定理，見(jiàn)到兩條割線就要想到割線定理．

【變式1】如圖所示，過(guò)⊙O外一點(diǎn)P作一條直線與⊙O交于A,B兩點(diǎn)．已知PA=2，點(diǎn)P到⊙O的切線長(zhǎng)PT=4，則弦AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

高中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)準(zhǔn)備參考答案

1.線段的比值問(wèn)題

1.1平行線分線段成比例定理

【典例1】

1.(4) 【解析】由平行線分線段成比例定理可知(4)正確．

【典例2】

1．證明：作EG∥AB交BC于G，

2.解：假設(shè)能找到，如圖，設(shè)EC交BD于F，則F為EC的中點(diǎn)，作EG∥AC交BD于G.

∵EG∥AC,EF=FC，

∴△EGF≌△CDF，且EG=DC，

∴EGAD，且==,

∴E為AB的中點(diǎn).

可見(jiàn)，當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，EC的中點(diǎn)在BD上.

1.2直角三角形的射影定理

【典例】

1.3三角形角平分線定理

【典例】

3.證明：由三角形的內(nèi)角平分線定理得，

在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2=BD·BC，

2.三角形

2.1“外心”是三角形的三邊中垂線的交點(diǎn)

【典例】

(2)如圖，I為內(nèi)心，則I到三邊的距離均為r，連接IA,IB,IC，S△ABC=S△IAB+S△IBC+S△IAC，

2.2“重心”是三角形的中線的交點(diǎn)

【典例】

2.3“內(nèi)心”是三角形的角平分線的交點(diǎn)

【典例】

2.4“垂心”是三角形的高的交點(diǎn)

【典例】

1.證明：由△ADF≌△AGF，得DF=FG，同理由△BCF≌△BGF,得CF=FG，又F為CD中點(diǎn)，則CF=DF，

3.四邊形

3.1平行四邊形的判定

【典例】

1.證明：∵四邊形ABCD為矩形,∴AD=BC,∠A=∠C=90°,又∵DH=BF,∴AH=CF．

又AE=CG,∴△AEH≌△CGF,∴EH=GF，

同理可得GH=EF,∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴HG∥EF．

3.2菱形的性質(zhì)

【典例】

1.證明：∵AE∥FG,AF∥EG,∴四邊形AEGF為平行四邊形.又∵AE=AF,∴四邊形AEGF為菱形.∴AC平分∠BAD.

3.3圓內(nèi)接四邊形的判定定理

【典例】

1.B 【解析】①錯(cuò)誤，任意三角形有唯一的外接圓；

②正確，因?yàn)榫匦螌?duì)角線的交點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等；

③錯(cuò)誤，只有當(dāng)菱形是正方形時(shí)才有外接圓；

④正確，因?yàn)檎噙呅蔚闹行牡礁黜旤c(diǎn)的距離相等．故選B.

3.4圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

【典例】

4.圓

4.1垂徑定理

【典例】

4.2 圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑

【典例】

1.證明：連接OC,∵OA=OB,AC=CB，則OC⊥AB，∴AB是⊙O切線．

4.3切線長(zhǎng)定理

1.4 【解析】由切線長(zhǎng)定理知PA=PB.PA切⊙O于點(diǎn)A，由切割線定理可得QA2=QC·QD=1×(1+3)=4.∴QA=2，∴PB=PA=2+2=4.

4.4兩圓的位置關(guān)系

【典例1】

1.4 【解析】d=13gt;R+r=11,∴兩圓外離，有四條公切線．

2.證明:

連接OM，由已知得，OM為△PF1F2的中位線，

∴圓M與圓O內(nèi)切.

【典例2】

2.【解析】∵d2=(O1O2)2-(R-r)2=169-25=144,∴d=12．

5.幾個(gè)重要性質(zhì)和策略

5.1點(diǎn)的軌跡

【典例】

1.【解析】(1)如圖軌跡為，以定點(diǎn)A為圓心，3 cm為半徑的圓.

(2)如圖軌跡為，到直線l的距離為2 cm的兩條平行線.

(3)如圖軌跡為，到直線AB，CD等距離的一條直線.

2.【解析】如圖到點(diǎn)A的距離等于3 cm的點(diǎn)的軌跡為以A為圓心3 cm為半徑的圓；到點(diǎn)B的距離等于2 cm的點(diǎn)的軌跡為以B為圓心2 cm為半徑的圓，兩圓交于兩點(diǎn)．所以到點(diǎn)A的距離等于3 cm，且到點(diǎn)B的距離等于2 cm的點(diǎn)，有2個(gè).

3.【解析】如果以點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B，那么OA=OB；反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)點(diǎn)O到A,B兩點(diǎn)距離相等，即OA=OB，那么以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓一定經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn).

這就是說(shuō)，過(guò)A,B兩點(diǎn)的圓的圓心的軌跡，就是到A,B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡，即和線段AB兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡.因此經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)的圓的圓心O的軌跡是線段AB的垂直平分線.

5.2常見(jiàn)的輔助線

【典例】

5.3兩點(diǎn)之間線段最短

【典例】

1.【解析】△ABC的周長(zhǎng)最短就是CA+CB最短.找出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B與直線l交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)．

2.【解析】作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，過(guò)B′作B′N(xiāo)⊥AB于N，交AC于M．

此時(shí)BM+MN的值最?。瓸M+MN=B′N(xiāo)．只需求出B′N(xiāo)．

在Rt△B′AN中，由點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱，得AB′=AB=2，

3.【解析】分別作點(diǎn)P關(guān)于直線OA和OB的對(duì)稱點(diǎn)P1,P2，連接P1P2分別交OA，OB于C，D，則C,D就是建加油站的位置．若取異于C，D兩點(diǎn)的點(diǎn)，則由三角形的三邊關(guān)系，可知在C，D兩點(diǎn)建加油站運(yùn)油車(chē)所走的路程最短.

5.4等積法求面積

【典例】

1.D 【解析】∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC，又∵AD∶DB=2∶3，∴相似比為2∶5，由相似三角形面積的比等于相似比的平方得S△ADE∶S△ABC=4∶25，所以S△ADE∶S四邊形BCDE=4∶21,故選D．

6.圓冪定理

6.1相交弦定理

【典例】

6.2割線定理

【典例】

6.3切割線定理

【典例】

1.6 【解析】由切割線定理得PT2=PA·PB，∴PB=8，故AB=6.