自主招生電學(xué)問題講與練

江蘇 吳 俊

立足高考，直通自招，在講練中感悟提升。

自主招生電學(xué)問題講與練

在電學(xué)內(nèi)容中，自主招生與高考有重疊的內(nèi)容，如庫侖定律、電阻定律、閉合電路的歐姆定律、楞次定律、法拉第電磁感應(yīng)定律等，常用的方法有微元法、圖象法、等效法、對(duì)稱法、類比法、近似法、補(bǔ)償法(電學(xué)實(shí)驗(yàn))等。因?yàn)槊Ｗ灾髡猩鷮?duì)學(xué)生的掌握程度要求更高，所以復(fù)習(xí)應(yīng)考中還要補(bǔ)充學(xué)習(xí)均勻帶電球殼殼內(nèi)的場強(qiáng)和殼外的場強(qiáng)公式、電勢公式、歐姆表、惠斯通電橋、電流的磁場表達(dá)式、反電動(dòng)勢、電流和電壓的相位差等知識(shí)。

一、庫侖定律的應(yīng)用

庫侖定律成立的條件，歸納起來有三條：(1)電荷是點(diǎn)電荷；(2)兩點(diǎn)電荷是靜止或相對(duì)靜止的；(3)只適用真空。

【例1】(2013·華約自招)“頓牟綴芥”是兩千多年前我國古人對(duì)摩擦起電現(xiàn)象的觀察記錄，經(jīng)摩擦后帶電的琥珀能吸起小物體。現(xiàn)用下述模型分析探究。

在某處固定一個(gè)電荷量為Q的點(diǎn)電荷，在其正下方h處有一個(gè)原子。在點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(場強(qiáng)為E)作用下，原子的負(fù)電荷中心與正電荷中心會(huì)分開很小的距離l，形成電偶極子。描述電偶極子特征的物理量稱為電偶極矩p，p=ql，這里q為原子核的電荷。實(shí)驗(yàn)顯示，p=αE，α為原子的極化系數(shù)，反映其極化的難易程度。被極化的原子與點(diǎn)電荷之間產(chǎn)生作用力F。在一定條件下，原子會(huì)被點(diǎn)電荷“綴”上去。

(1)F是吸引力還是排斥力?簡要說明理由；

【解析】(1)F為吸引力。理由：當(dāng)原子極化時(shí)，與Q異性的電荷移向Q，而與Q同性的電荷被排斥而遠(yuǎn)離Q。這樣異性電荷之間的吸引力大于同性電荷的排斥力，總的效果是吸引。

(3)設(shè)電荷Q帶正電(見圖1)。電荷Q與分離開距離l的一對(duì)異性電荷間的總作用力為

圖1

實(shí)驗(yàn)顯示，p=aE，而電荷Q在離它h處的原子所在地產(chǎn)生的電場大小為

于是，電荷Q與極化原子之間的作用力為

【點(diǎn)悟】本題在庫侖定律的基礎(chǔ)上，加設(shè)了電偶極矩、極化公式等信息，這需要在審題時(shí)反復(fù)讀題，找出題眼。在運(yùn)算中，又設(shè)置了微小量的近似運(yùn)算，這種方法要掌握。

有關(guān)庫侖定律的命題可以單獨(dú)命制，也可以綜合命制，如高考復(fù)習(xí)中的三個(gè)電荷中的平衡問題；庫侖定律在動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用、在圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用等，有些問題還與圖象結(jié)合起來，讀者可以在練習(xí)或者后面的專題講解中慢慢體會(huì)。

二、平行板電容器與其中粒子的運(yùn)動(dòng)

【例2】(2010·華約自招)如圖2所示，三個(gè)面積均為S的金屬板A、B、C水平放置，A、B相距d1，B、C相距d2，A、C接地，構(gòu)成兩個(gè)平行板電容器。上板A中央有小孔D。B板開始不帶電。質(zhì)量為m、電荷量為q(qgt;0)的液滴從小孔D上方高度為h處的P點(diǎn)由靜止一滴一滴落下。假設(shè)液滴接觸B板可立即將電荷全部傳給B板。油滴間的靜電相互作用可忽略，重力加速度取g。

圖2

(1)若某帶電液滴在A、B板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，此液滴是從小孔D上方落下的第幾滴？

(2)若發(fā)現(xiàn)第N滴帶電液滴在B板上方某點(diǎn)轉(zhuǎn)為向上運(yùn)動(dòng)，求此點(diǎn)與A板的距離H。

【解析】(1)根據(jù)題意，A、B板與B、C板構(gòu)成的兩個(gè)平行板電容器的電容分別為

設(shè)第n滴帶電液滴可在A、B板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)?shù)趎滴帶電液滴處于A、B板之間時(shí)，B板所帶電荷量為

Q1+Q2=(n-1)q③

式中，Q1和Q2分別為金屬板B上下兩個(gè)表面上的電荷量。設(shè)B板電勢為U，則

Q1=C1U④

Q2=C2U⑤

由于第n滴帶電液滴在A、B板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有

qE1=mg⑦

按題意，第N滴帶電液滴會(huì)在下落到離A板距離為H(Hlt;d1)時(shí)，速度為零，此時(shí)液滴所在位置的電勢為

由能量守恒得

由①②④⑤⑨⑩式得

電容器中的帶電粒子從運(yùn)動(dòng)狀態(tài)看有靜止、直線運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)三種情況。受力分析是首要的步驟。對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)利用平衡方程解決。對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)可用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和功能關(guān)系解答，利用圖象法輔助求解有時(shí)更佳，而對(duì)于曲線運(yùn)動(dòng)分為類平拋運(yùn)動(dòng)，利用分解思想解答。對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)要注意等效加速度和物理最高點(diǎn)等問題，充分利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和功能規(guī)律。

三、帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)

帶電粒子運(yùn)動(dòng)的方向恰與磁場方向在一條直線上，該粒子仍不受洛倫茲力的作用，粒子就以這個(gè)速度在磁場中做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

帶電粒子速度方向與磁場方向垂直，帶電粒子在垂直于磁場方向的平面內(nèi)以入射速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

【例3】(2013·北約自招)如圖3所示，在一豎直平面內(nèi)有水平勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向垂直該豎直平面朝里。豎直平面中a、b兩點(diǎn)在同一水平線上，兩點(diǎn)相距l(xiāng)。帶電量qgt;0，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P，以初速度v從a對(duì)準(zhǔn)b射出。忽略空氣阻力，不考慮P與地面接觸的可能性，設(shè)定q、m和B均為不可改動(dòng)的給定量。

圖3

(1)若無論l取什么值，均可使P經(jīng)直線運(yùn)動(dòng)通過b點(diǎn)，試問v應(yīng)取什么值;

(2)若v為(1)問可取值之外的任意值，則l取哪些值，可使P必定會(huì)經(jīng)曲線運(yùn)動(dòng)通過b點(diǎn);

(3)對(duì)每一個(gè)滿足(2)問要求的l值，計(jì)算各種可能的曲線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的P從a到b所經(jīng)過的時(shí)間；

(4)對(duì)每一個(gè)滿足(2)問要求的l值，試問P能否從a靜止釋放后也可以通過b點(diǎn)?若能，在此過程中可達(dá)到的最大運(yùn)動(dòng)速率vmax。

【解析】(1)要使P經(jīng)過直線運(yùn)動(dòng)通過b點(diǎn)，必有

mg=qvB

(2)設(shè)質(zhì)點(diǎn)速度為v+Δv，質(zhì)點(diǎn)所受到的洛倫茲力為q(v+Δv)B，與重力的合力為mg+q(v+Δv)B=qΔvB，所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可視為沿ab連線方向做速度為v的勻速直線運(yùn)動(dòng)和速度為Δv的圓周運(yùn)動(dòng)，要使質(zhì)點(diǎn)通過b點(diǎn)，

t=nT②

l=vt④

以上各式解得

【點(diǎn)悟】從最近幾年的自主招生試題看，以帶電粒子在電場、磁場、復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)命題皆有。有的內(nèi)容與高考接近，有的要高于高考，特別是復(fù)合場問題。如本題第一問利用復(fù)合場的平衡知識(shí)就可以解決，第二、第三問要對(duì)速度進(jìn)行分解。另外曲率半徑、功能規(guī)律與牛頓運(yùn)動(dòng)定律在圓周運(yùn)動(dòng)中的綜合性使用都是高于高考的。

四、電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的綜合性問題

電磁感應(yīng)內(nèi)容中，自主招生涉及規(guī)律與高考差不多，但是加強(qiáng)了微元法、等效法、守恒思想等的應(yīng)用。

圖4

【例4】(2013·卓越自招)如圖4所示，兩根電阻不計(jì)的光滑金屬導(dǎo)軌豎直放置，相距為L，導(dǎo)軌上端接有阻值為R的電阻，水平條形區(qū)域Ⅰ和Ⅱ內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直導(dǎo)軌平面向里的勻強(qiáng)磁場，其寬度均為d，Ⅰ和Ⅱ之間相距為h且無磁場。一長度為L、質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的導(dǎo)體棒，兩端套在導(dǎo)軌上，并與兩導(dǎo)軌始終保持良好接觸?，F(xiàn)將導(dǎo)體棒由區(qū)域Ⅰ上邊界H處靜止釋放，在穿過兩段磁場區(qū)域的過程中，流過電阻R上的電流及其變化情況相同。重力加速度為g，求：

(1)導(dǎo)體棒進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ的瞬間，通過電阻R的電流大小與方向；

(2)導(dǎo)體棒穿過區(qū)域Ⅰ的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q；

(3)下面四個(gè)圖象定性地描述了導(dǎo)體棒速度大小與時(shí)間的關(guān)系，請(qǐng)選擇正確的圖象并簡述理由。

由法拉第電磁感應(yīng)定律得E=BLv

由楞次定律判斷通過R的電流方向由右向左。

(2)設(shè)導(dǎo)體棒穿出區(qū)域Ⅰ的瞬間的速度大小為v′，根據(jù)能量守恒定律有

由題意知，導(dǎo)體棒穿過兩端磁場過程中，流過電阻R的電流及變化情況相同，所以，導(dǎo)體棒在進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ和Ⅱ的瞬時(shí)速度相同。導(dǎo)體棒在兩磁場之間運(yùn)動(dòng)時(shí)只受到重力的作用，因?yàn)闄C(jī)械能守恒定律，有：

以上聯(lián)立解得Q=mg(h+d)。

(3)導(dǎo)體棒由靜止進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ之前，只受到重力作用，導(dǎo)體棒做自由落體運(yùn)動(dòng)，加速度為g，因?yàn)樵?～t1時(shí)間段內(nèi)v-t圖象為直線。導(dǎo)體棒在兩磁場之間運(yùn)動(dòng)時(shí)也只受重力的作用，同理在t2～t3時(shí)間段內(nèi)v-t圖象為直線。

兩磁場區(qū)域的寬度相同，導(dǎo)體棒穿過兩端磁場的過程中，流過電阻R的電流及其變化情況相同，可知導(dǎo)體棒在進(jìn)入Ⅰ和Ⅱ瞬間的瞬時(shí)速度相同，且在兩磁場區(qū)域內(nèi)速度的變化相同，因此導(dǎo)體棒在t1～t2和t3～t4時(shí)間段內(nèi)v-t圖象相同，而且導(dǎo)體棒在磁場區(qū)域內(nèi)做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，C項(xiàng)正確。

【答案】C

【點(diǎn)悟】在電磁感應(yīng)的備考中，讀者需要注意幾點(diǎn)。第一，要分清勻強(qiáng)磁場、非勻強(qiáng)磁場、輻向型磁場，還有交替變換型磁場；第二，知道導(dǎo)體桿有單桿和雙桿在不同磁場中的過程分析，會(huì)分析導(dǎo)體方形框、梯形框、圓形框等在磁場中的運(yùn)動(dòng)，在解決問題時(shí)合理運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、能量守恒定律、動(dòng)量定理等，很多問題還可以借助圖象分析說明。

小試身手

1．(多選)(2012·卓越自招)在如圖所示的坐標(biāo)系內(nèi)，帶有等量負(fù)電荷的兩點(diǎn)電荷A、B固定在x軸上，并相對(duì)于y軸對(duì)稱，在y軸正方向上的M點(diǎn)處有一帶正電的檢驗(yàn)電荷由靜止開始釋放。若不考慮檢驗(yàn)電荷的重力，那么檢驗(yàn)電荷運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的過程中

( )

A．電勢能逐漸變小

B．電勢能先變大后變小，最后為零

C．先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)

D．始終做加速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)O點(diǎn)時(shí)加速度為零

2．(2012·華約自招)兩電源電動(dòng)勢分別為E1、E2(E1gt;E2)，內(nèi)阻分別為r1、r2。當(dāng)這兩個(gè)電源分別和一阻值為R的電阻連接時(shí)，電源輸出功率相等。若將R減小為R′，電源輸出功率分別為P1、P2，則

( )

A．r1lt;r2，P1lt;P2________________B．r1gt;r2，P1gt;P2

C．r1lt;r2，P1gt;P2D．r1gt;r2，P1lt;P2

3．(2011·華約自招)空間某區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場的上下邊界水平，方向和豎直平面(紙面)垂直，兩個(gè)由完全相同的導(dǎo)線制成的剛性線框a和b，其形狀分別為周長為4l的正方形和周長為6l的矩形，線框a和b在豎直平面內(nèi)從如圖所示的位置開始自由下落，若從開始下落到線框完全離開磁場的過程中安培力對(duì)兩線框的沖量分別為Ia、Ib，則Ia∶Ib為

( )

A．3∶8 B．1∶2

C．1∶1 D．3∶2

4．(2012·華約自招)如圖所示，在0≤x≤a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場。磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B；在xgt;a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小也為B。質(zhì)量為m、電荷量為q(qgt;0)的粒子沿x軸從原點(diǎn)O射入磁場。

(2)為使粒子返回原點(diǎn)，粒子的入射速度應(yīng)為多大?

6．(第32屆全國高中物理競賽預(yù)賽)電子感應(yīng)加速器利用變化的磁場來加速電子。電子繞平均半徑為R的環(huán)形軌道(軌道位于真空管道內(nèi))運(yùn)動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向與環(huán)形軌道平面垂直。電子被感應(yīng)電場加速，感應(yīng)電場的方向與環(huán)形軌道相切。電子電荷量為e。

參考答案

1．AD 【解析】檢驗(yàn)電荷從M點(diǎn)到O點(diǎn)的過程中是由高電勢到低點(diǎn)勢，所以電場力做正功，電荷加速運(yùn)動(dòng)，電勢能減小，A項(xiàng)正確，B、C項(xiàng)錯(cuò)誤；M點(diǎn)到O點(diǎn)，正電荷受到的電場力為動(dòng)力，所以檢驗(yàn)電荷始終加速，到O點(diǎn)場強(qiáng)為0，加速度最小但是速度最大,D項(xiàng)正確。

【解析】(1)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，O1和O2分別為軌跡圓心，有幾何關(guān)系知：θ=45°

O1A=O2A=2a

則軌跡與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為：

(2)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，

設(shè)此時(shí)軌跡半徑為r，則由幾何關(guān)系知：

r-rcosθ=rcosθ

【解析】設(shè)電容器A和B的電容量都為C0，兩電容器并聯(lián)，其總電容量為C=2C0。

兩電容器并聯(lián)，電壓相等，設(shè)此時(shí)電壓為U，總帶電量Q=CU=2C0U。

電容器A的極板之間距離為d，帶電粒子帶電量q，質(zhì)量為m，電容器A中的帶電粒子恰好靜止，

將電容器B的兩極板沿水平方向移動(dòng)使兩極板錯(cuò)開，兩電容器極板之間的電壓仍相等，設(shè)為U′，

兩電容器并聯(lián)，其總電容量為

【解析】(1)設(shè)電子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓軌道上的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向與環(huán)面垂直。由牛頓第二定律和洛倫茲力公式得

設(shè)在圓軌道切線方向作用在電子上作用力為F，按照動(dòng)量定理有

FΔt=Δ(mv) ②

由①②式得

(2)按照法拉第電磁感應(yīng)定律，在電子運(yùn)動(dòng)的圓軌道上的感應(yīng)電動(dòng)勢為

式中圓軌道所張的面上的磁通量Ф為

考慮電子運(yùn)行一圈感應(yīng)電場所做的功，由電動(dòng)勢的定義可得

ε=2πRE⑦

電子在圓軌道切向所受到的力為

F=qE⑧

由⑥⑦⑧式得

(3)③和⑨式所表示的是同樣的力的大小。聯(lián)立③⑨式得

江蘇省江陰市第一中學(xué))