求解感應電動勢的多種方法

遼寧 鄭 金

通過專題歸納和分類解析，有助于深化理解和靈活應用。

求解感應電動勢的多種方法

一、勻強恒定磁場問題

磁場的強度和方向處處相同，不隨時間和空間而變化。

1.直線導體平動切割磁感線

直線導體在勻強磁場中平動，垂直切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢的公式為E=Blv，屬于動生電動勢。

【例1】如圖1所示，頂角為θ的金屬導軌MON固定在水平面內(nèi)，導軌處在磁感應強度大小為B、方向豎直向下的勻強磁場中。一根與ON垂直的導體棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿導軌向右滑動，導體棒的質(zhì)量為m，與導軌的接觸點為a和b，在滑動過程中始終保持與導軌良好接觸。導軌與導體棒單位長度的電阻均為r。當t=0時，導體棒在頂角O處，求經(jīng)歷時間t的過程中電路產(chǎn)生的焦耳熱。

圖1

2.直導線繞圓心勻速轉(zhuǎn)動切割磁感線

在利用公式E=Blv求解感應電動勢時，由于導體上各點的速度大小不同，是按導體棒上的不同位置到一端的距離而線性變化的，需求出速度對長度的平均值，其值等于導體棒中點的速度大小。

【例2】如圖2所示，兩個金屬圓環(huán)共軸放置，大圓半徑為R，小圓半徑為r，內(nèi)圓上一點M與外圓上一點N用一根導體棒相連，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于圓環(huán)所在平面且向外，若兩個圓環(huán)同時繞過圓心且與磁場方向平行的軸O以角速度ω沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，求MN兩點之間的電勢差。

圖2________________________圖3

【點評】解法1是求感應電動勢的瞬時值，關(guān)鍵是求出導體棒MN切割磁感線的等效長度以及速度對長度的平均值即導體棒中點的速度大小，還要注意電勢高低的判斷。解法2是求感應電動勢的平均值，所選擇的研究過程是一個周期，關(guān)鍵是計算導體棒MN掃過的面積以及運動時間。

3.矩形線圈繞軸勻速轉(zhuǎn)動切割磁感線

【例3】如圖4所示，在勻強磁場中的矩形線圈勻速轉(zhuǎn)動的周期為T，轉(zhuǎn)軸O1O2垂直于磁場方向，線圈電阻為2 Ω。從線圈平面與磁場方向平行時開始計時，當線圈轉(zhuǎn)過60°時的感應電流為1 A，那么

( )

圖4

A.線圈消耗的電功率為4 W

B.線圈中感應電流的有效值為2 A

【答案】AC

【點評】解題關(guān)鍵是判斷線圈產(chǎn)生正弦交變電流并寫出感應電動勢的瞬時值表達式，然后利用已知條件求出感應電動勢的瞬時值、最大值。要注意計時開始時線圈平面與磁感線的夾角、線圈平面轉(zhuǎn)過的角度以及瞬時值表達式中的角度三者之間的關(guān)系。

二、非勻強恒定磁場問題

磁感應強度隨空間而變化，但不隨時間而變化。

1.輻射狀磁感線

【例4】如圖5所示，很長的光滑磁棒豎直固定在水平面上，在它的側(cè)面產(chǎn)生水平向外的輻射狀的磁場，有一個質(zhì)量為m的圓形線圈，半徑為r，電阻為R，讓水平線圈從磁棒上端由靜止釋放，線圈所在處的磁感應強度大小為B，重力加速度為g，不計感應電流對磁場的影響，求線圈下落過程中的最大速度vm。

圖5

【點評】該題利用公式E=Blv求解感應電動勢，但磁場不是勻強磁場，切割磁感線的導體也不是直線，解題關(guān)鍵是利用了微元法，把線圈視為很多小段直導線垂直切割磁感線，再由疊加法求出整個線圈產(chǎn)生的感應電動勢以及受到的安培力。線圈切割磁感線而產(chǎn)生感應電動勢，屬于動生感應電動勢。

(5)不考慮測量誤差時，使用未處理的T矩陣辨識出的結(jié)構(gòu)誤差與理想值之間的最大差值為1.5 mm，考慮測量誤差時，誤差辨識精度進一步降低，在此不再列圖。

2.磁感應強度在某一方向隨空間線性變化

磁場不隨時間而變化，但在空間上分布不均勻，在某一方向上隨空間線性增強或減弱。

圖6

【點評】該題利用公式E=Blv求解感應電動勢，但磁場不是勻強磁場，由于磁場隨空間均勻變化，因此需求出線框兩個邊切割磁感線時產(chǎn)生的感應電動勢的大小和方向，即可得出總電動勢。由磁場空間變化率和空間距離可算出磁感應強度變化量為ΔB=B2-B1=kl。

三、勻變磁場問題

1.勻強磁場隨時間均勻變化問題

【例6】如圖7所示，水平放置的固定平行導軌間距為L，導軌一端連接阻值為R的電阻，一根導體棒垂直導軌放在導軌上，導體棒和導軌電阻不計，摩擦不計，整個裝置處在豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度隨時間的變化規(guī)律為B=B0+kt，其中k是大于零的常數(shù)。導體棒ab在水平外力的作用下，以速度v沿導軌向左做勻速運動，t=0時，導體棒ab與MN相距為d，求在時間t0時電路的感應電動勢。

圖7

【解法1】由于ab勻速運動，則產(chǎn)生的動生電動勢E1=BLv，即t=t0時刻E1=Lv(B0+kt0)。

又因為回路中磁感應強度隨時間均勻增加，則還要產(chǎn)生感生電動勢，瞬時值為

根據(jù)右手定則和楞次定律可知，兩個電動式的方向是相反的，所以回路中的感應電動勢為

E=E2-E1=kLd-LvB0-2kLvt0。

【解法2】在t時刻的磁通量為

Φ=BS=(B+kt)·L(d-vt)=kLdt-kLvt2，

四、按正弦規(guī)律變化的磁場問題

勻強磁場隨時間按正弦或余弦函數(shù)規(guī)律變化，則穿過線圈的磁通量按正弦函數(shù)或余弦函數(shù)規(guī)律變化，等效于線圈在勻強磁場中繞軸勻速轉(zhuǎn)動產(chǎn)生正弦交流電。但產(chǎn)生的感應電動勢為感生電動勢。

【例7】如圖8所示，勻強磁場中有一矩形閉合線圈abcd，線圈平面與磁場垂直。已知線圈的匝數(shù)N=100，邊長ab=1.0 m，bc=0.5 m，電阻R=2 Ω。若磁場按Bt=Bcosωt規(guī)律變化，在0～1 s內(nèi)從0.2 T變化到零，求此過程中線圈上產(chǎn)生的焦耳熱Q。

圖8

【點評】解題關(guān)鍵是判斷按余弦規(guī)律變化的磁場產(chǎn)生的感應電動勢為正弦交流電動勢。只有求出周期才能求出最大值和有效值。而感應電動勢的最大值公式為Em=NBSω。雖然還可利用法拉第電磁感應定律求出感應電動勢的平均值，但不能由此計算熱量。

遼寧省凌源市職教中心)