初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型舉例

施清水??

摘要：數(shù)學(xué)建模是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最常用的方法和思想，數(shù)學(xué)模型在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，能夠?qū)⒊橄蟮母拍?、理論和?nèi)容具象化，提高學(xué)生理解和掌握效率，并提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。筆者首先對(duì)初中數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用要點(diǎn)進(jìn)行分析，并對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行舉例和分析，為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用提供資料參考。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；教學(xué)；數(shù)學(xué)模型；舉例

數(shù)學(xué)模型是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最常用的思想和方法，其在初中數(shù)學(xué)科目教學(xué)中的應(yīng)用，能夠極大的提高教學(xué)效率和質(zhì)量。想要提高數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用水平，就一定要掌握數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用要點(diǎn)，將數(shù)學(xué)模型和生活實(shí)踐建立聯(lián)系，并讓學(xué)生掌握生活實(shí)踐-數(shù)學(xué)模型-生活實(shí)踐之間的循環(huán)轉(zhuǎn)化關(guān)系，通過(guò)數(shù)學(xué)模型的靈活運(yùn)用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題理解水平，并提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

一、 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用要點(diǎn)

（一） 審題

數(shù)學(xué)模型是對(duì)真實(shí)生活中數(shù)學(xué)問(wèn)題的概括與簡(jiǎn)化，其與現(xiàn)實(shí)生活是有著緊密聯(lián)系的。在初中數(shù)學(xué)科目教學(xué)中，面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)題，想要得到正確的數(shù)學(xué)模型，一定要把握好審題關(guān)。只有提高審題的準(zhǔn)確度，才能在較長(zhǎng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題敘述中找到構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的要點(diǎn)，才能明確建模的目的和方法，并找到題目中的已知項(xiàng)和未知項(xiàng)，并采取相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型應(yīng)用中，提高學(xué)生的審題能力，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)模型應(yīng)用準(zhǔn)確度和數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力的關(guān)鍵點(diǎn)。

（二） 簡(jiǎn)化

在數(shù)學(xué)問(wèn)題中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，其主要的目的就是實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的簡(jiǎn)化，并通過(guò)對(duì)已知條件和未知條件的調(diào)用，找到數(shù)學(xué)問(wèn)題中各個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容之間的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并予以解決。因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要教會(huì)學(xué)生如何簡(jiǎn)化問(wèn)題，并能夠從問(wèn)題中找到主要因素、次要因素，找到已知條件和未知條件，從而根據(jù)數(shù)量關(guān)系和所學(xué)知識(shí)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)模型的調(diào)用完成解題過(guò)程，并得到正確的結(jié)果。

（三） 抽象

數(shù)學(xué)相比于其他科目，最大的特點(diǎn)就是有著自己的數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言。數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言的形成，正是在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中總結(jié)而來(lái)的。教師在數(shù)學(xué)科目教學(xué)中，一定要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言，只有這樣，在遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，才能通過(guò)具象的問(wèn)題抽象化，將實(shí)際的問(wèn)題用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)準(zhǔn)確表達(dá)，并根據(jù)相應(yīng)的定理、概念和方法，解決問(wèn)題。

二、 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型舉例

（一） 函數(shù)模型

實(shí)例一：某文教店新采購(gòu)一批圓珠筆，采購(gòu)成本為每支1.8元，計(jì)劃每支圓珠筆4.0元出售，每個(gè)月可以銷售該品種圓珠筆200支。為了增加銷量，店里決定采取降價(jià)促銷的方式，通過(guò)調(diào)研，圓珠筆價(jià)格每降價(jià)1.0元，月銷量能夠提高50支。問(wèn)題1，試求月銷量y和銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式。問(wèn)題2，試求出銷售利潤(rùn)z和銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式。

解1：根據(jù)上述條件，可得等式y(tǒng)=200+50（4.0-x）=-50x+400，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-50+400.

解2：根據(jù)上述條件，可得關(guān)系式：z=（x-1.8）（-50x+400），整理得z=-50x2+490x-720

剖析：本題目中包含一次函數(shù)和二次函數(shù)兩個(gè)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)題目的分析，將具體的問(wèn)題抽象成為由函數(shù)構(gòu)成的抽象問(wèn)題，這種建模的方法和思想，便于實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決。除上述模型外，包括供排水、成本計(jì)算、方案優(yōu)化選擇等問(wèn)題，都能夠運(yùn)用函數(shù)模型來(lái)表達(dá)，并幫助人們提高問(wèn)題的解決效率。教師在應(yīng)用函數(shù)模型中，關(guān)鍵是要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

（二） 方程（組）模型

方程和方程組模型對(duì)實(shí)際生活的影響更大，讓學(xué)生掌握方程和方程組模型，學(xué)生能夠靈活的解決生活中的問(wèn)題，完成包括價(jià)格計(jì)算、收益計(jì)算、成本分配計(jì)算等任務(wù)。

實(shí)例二：張明過(guò)年得到了100塊錢壓歲錢，這100元錢張明準(zhǔn)備買玩具。通過(guò)詢問(wèn)價(jià)格，一個(gè)小汽車玩具價(jià)格25元，一個(gè)士兵玩具的價(jià)格為5元，張明買士兵的數(shù)量是小汽車數(shù)量的5倍，問(wèn)張明小汽車和士兵玩具分別買了幾個(gè)。

剖析：該問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，通過(guò)建模能夠抽象成一個(gè)一元一次方程組。通過(guò)在具體的教學(xué)中使用一元一次方程組，能夠用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)具體的購(gòu)買數(shù)量和價(jià)格關(guān)系，這有助于幫助學(xué)生更直觀的分析張明的購(gòu)買行為，并提高學(xué)生對(duì)方程和方程組模型的理解程度，提高其生活問(wèn)題的解決效率。

（三） 不等式（組）模型

不等式和不等式組模型同樣是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的重要模型，不等式模型包括純不等式、不等式組、最優(yōu)方案問(wèn)題、等式和不等式綜合題、不等式和函數(shù)綜合題等幾種。不同的不等式問(wèn)題，需要綜合不同的不等式、等式或函數(shù)模型來(lái)解答。由于不等式問(wèn)題抽象性更強(qiáng)，因而學(xué)生在解決中遇到的困難也最多。

實(shí)例三：把價(jià)格為每千克20元的甲種糖果8千克和價(jià)格為每千克18元的乙種糖果若干千克混合，要使總價(jià)不超過(guò)400元，且糖果不少于15千克，所混合的乙種糖果最多是多少？最少是多少？

剖析：實(shí)例三所給出的題目就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的不等式組問(wèn)題，不等式組問(wèn)題與方程組問(wèn)題的概括總結(jié)方法比較類似，但由于題目中含有不超過(guò)、不少于等不確定性的關(guān)鍵詞，因而學(xué)生在解題中很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。不等式模型在盈虧分析、方案制定、投資決策等問(wèn)題中比較常用，在應(yīng)用不等式模型時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生正確的找到代表不等式問(wèn)題的關(guān)鍵詞。

（四） 概率模型

概率模型相比于上述其他數(shù)學(xué)模型，由于題干內(nèi)容量大，內(nèi)容較為分散，學(xué)生解題通常比較難。雖然初中概率相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容占比不大，但概率仍然是中考中考點(diǎn)之一，如果在教學(xué)中應(yīng)用好概率模型，能夠有效提高學(xué)生概率章節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)理解效率，從而提高教學(xué)質(zhì)量。

實(shí)例四：小明和小亮是一對(duì)雙胞胎，他們的爸爸買了兩套不同品牌的運(yùn)動(dòng)服送給他們，小明和小亮都想先挑選.于是小明設(shè)計(jì)了如下游戲來(lái)決定誰(shuí)先挑選.游戲規(guī)則是：在一個(gè)不透明的袋子里裝有除數(shù)字以外其他均相同的4個(gè)小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4。一人先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，另一人再?gòu)拇惺Ｏ碌?個(gè)小球中隨機(jī)摸出一個(gè)小球.若摸出的兩個(gè)小球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則小明先挑選；否則小亮先挑選。

（1） 用樹(shù)狀圖或列表法求出小明先挑選的概率；

（2） 你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

剖析：概率問(wèn)題的出現(xiàn)，一般有著綜合性強(qiáng)的特征。如果學(xué)生不能熟練的掌握概率相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，在遇到復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，就會(huì)感覺(jué)到無(wú)從下手。概率模型的教學(xué)要點(diǎn)，在于經(jīng)典概率模式的掌握，還有就是要培養(yǎng)學(xué)生從復(fù)雜題干中找到解題關(guān)鍵信息的能力，從而提高學(xué)生概率模型的應(yīng)用水平，提高其概率相關(guān)問(wèn)題的解題能力。

（五） 幾何模型

幾何方面的內(nèi)容，占據(jù)初中數(shù)學(xué)的大量課時(shí)和篇幅，作為初中數(shù)學(xué)科目教學(xué)的重點(diǎn)，幾何教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用頻率更是比較高。對(duì)于初中幾何模型在教學(xué)中的應(yīng)用，可以分成幾種不同的模型類型，在教學(xué)中要讓學(xué)生靈活掌握，從而提高幾何題解題能力。初中階段常用的幾何模型包括平行和垂直、三角形（梯形）、等腰三角形、直角三角形等。

實(shí)例五：已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F.

求證：∠DEN=∠F.

剖析：對(duì)初中數(shù)學(xué)幾何模型的應(yīng)用，關(guān)鍵是讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)所學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的調(diào)用。只有在解決幾何問(wèn)題時(shí)，能夠靈活地運(yùn)用所學(xué)過(guò)的定理、規(guī)律，才能提高對(duì)幾何問(wèn)題的解題效率。因此初中數(shù)學(xué)中幾何模型的應(yīng)用，關(guān)鍵是提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，讓學(xué)生掌握思維拓展和知識(shí)遷移的方法。

綜上所述，函數(shù)模型、方程組模型、不等式模型、幾何模型、概率模式作為貫穿初中教學(xué)全過(guò)程的常用數(shù)學(xué)模型，其應(yīng)用要點(diǎn)和教學(xué)要點(diǎn)有著明顯的區(qū)別。在具體的教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)于不同的數(shù)學(xué)模型，教師一定要采取不同的教學(xué)與授課方式，才能讓學(xué)生更準(zhǔn)確的掌握這些經(jīng)典數(shù)學(xué)模型。

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