構(gòu)建初中數(shù)學(xué)模型解決實際問題

董佳毅??

摘要：數(shù)學(xué)模型離不開應(yīng)用場景，是構(gòu)建應(yīng)用場景和數(shù)學(xué)知識點之間聯(lián)系的有效方法。本文首先探討了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型應(yīng)用存在的問題，并以具體的教學(xué)活動和數(shù)學(xué)模型應(yīng)用為案例，探討了初中數(shù)學(xué)模型解決實際問題的教學(xué)方法和應(yīng)用方式，為初中數(shù)學(xué)科目教學(xué)中數(shù)學(xué)模型思想的應(yīng)用提供資料參考。

關(guān)鍵詞：初中；數(shù)學(xué)模型；解決；實際問題

構(gòu)建初中數(shù)學(xué)模型解決實際問題，一直是初中數(shù)學(xué)科目教師教學(xué)與教研活動開展的重點。但由于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用對教師的專業(yè)化水平有較高要求，因而教師在具體的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用中仍然存在著一些問題。如何解決這些問題，運用好數(shù)學(xué)模型這一有效的工具，成為廣大初中數(shù)學(xué)教師重點研究和實踐的課題。

一、 數(shù)學(xué)模型運用在初中數(shù)學(xué)中的常見問題

（一） 對數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用不夠重視

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)科目的核心方法，在教學(xué)活動中運用好數(shù)學(xué)模型，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)知識與生活實際建立聯(lián)系，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)科目的學(xué)習(xí)興趣。雖然數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用在新課標(biāo)中予以明確標(biāo)出，但部分教師仍然固守應(yīng)試教育的思想，忽視了對數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用。這是由于數(shù)學(xué)模型在教學(xué)活動中的應(yīng)用，需要教師靈活地運用教學(xué)資源。但如果能夠應(yīng)用好數(shù)學(xué)模型，則不會出現(xiàn)這一問題，因而數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用，對教師的教學(xué)能力、課堂設(shè)計能力和教學(xué)資源調(diào)用能力提出了挑戰(zhàn)。

（二） 沒有發(fā)揮數(shù)學(xué)模型的發(fā)散性和拓展性

數(shù)學(xué)模型作為數(shù)學(xué)科目的基礎(chǔ)工具，是解決數(shù)學(xué)問題的模板。正因如此，數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，要求教師能夠?qū)⑵渑c學(xué)過的其他知識建立聯(lián)系，通過數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，來拓展課堂教學(xué)的廣度和寬度。很多教師在應(yīng)用數(shù)學(xué)模型中，不重視對數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用拓展，雖然在教學(xué)過程中，使用了數(shù)學(xué)建模的思想，但對于得到的數(shù)學(xué)模型，卻并沒有進行變式拓展訓(xùn)練。這雖然實現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想的滲透，但卻沒有讓學(xué)生學(xué)會如何靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)致建模思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中所發(fā)揮的作用受到限制，影響了對學(xué)生應(yīng)用能力的提高。

（三） 教學(xué)資源不符合學(xué)生的生活實際

想要有效地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)科目學(xué)習(xí)興趣，就要從學(xué)生的生活實踐出發(fā)，選取與學(xué)生息息相關(guān)的教學(xué)資源，并以此為基礎(chǔ)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型思想的教學(xué)過程。但部分教師在日常教學(xué)中，卻習(xí)慣拿來主義，對于建模所使用的例題、場景沒有仔細斟酌，這導(dǎo)致很多建模的場景與學(xué)生的生活實踐相去甚遠。例如，在幾何最短距離模型中，采用了小馬飲水過河的場景，雖然這一場景有一定的童趣性，但城市中的學(xué)生普遍對小馬飲水和小馬過河的場景不敏感。如果教師能夠適當(dāng)改變場景，將其轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生買玩具、去少年宮等場景，必然能夠極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這種死板的套用經(jīng)典教學(xué)情境的情況十分普遍，不利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也無助于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的了解。

二、 構(gòu)建初中數(shù)學(xué)建模解決實際問題例題與研析

初中數(shù)學(xué)科目中所應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型，可以分為方程和方程組模型、函數(shù)模型、不等式和不等式組模型、概率和統(tǒng)計模型、幾何模型幾種經(jīng)典模型，在具體的教學(xué)活動中，教師一定要選擇好模型的應(yīng)用場景，使建模的場景更貼近學(xué)生的生活，從而培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力。

（一） 方程和方程組模型

方程和方程組模型在日常生活中十分常見，在學(xué)生的實際生活中應(yīng)用得也比較廣泛。想要提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力，教師就要創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生的生活化情境，并以此為基礎(chǔ)來引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建方程和方程組模型。只有這樣，才能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，才能讓學(xué)生樂于對數(shù)學(xué)模型在實際生活中的應(yīng)用展開探究。

例題：（2007年某市中考試題）A、B兩地相距18公里，甲工程隊要在A、B兩地間鋪設(shè)一條輸送天然氣管道，乙工程隊要在A、B兩地間鋪設(shè)一條輸油管道.已知甲工程隊每周比乙工程隊少鋪設(shè)1公里，甲工程隊提前3周開工，結(jié)果兩隊同時完成任務(wù)，求甲、乙兩工程隊每周各鋪設(shè)多少公里管道？

變式：學(xué)校新建設(shè)了一條200米的標(biāo)準(zhǔn)跑道，同學(xué)們都喜歡到跑道上慢跑鍛煉身體。小明和小紅一起在跑道上運動。已知小明作為運動健將，每秒鐘比小紅多跑5米，但小紅比小明提前5秒開跑，小紅和小明同時到達終點，問小紅和小明每秒跑多少米。

例題是某市的中考題，該題目作為經(jīng)典題目，題目的場景為工程隊施工。這一場景雖然在數(shù)學(xué)題目中比較常見，但卻不適用于教學(xué)活動，這是由于這一場景對于中學(xué)生而言，過于遙遠，無法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。而變式，將題目的場景轉(zhuǎn)化為小紅和小明慢跑的場景，這種運動的場景同學(xué)們在日常生活中經(jīng)常遇到，并且同學(xué)之間也有讓跑得慢的同學(xué)先跑、跑得快的同學(xué)后追的游戲，因而變式更加適用于在教學(xué)中應(yīng)用，而對于例題的工程隊伍施工的場景，可以在運用變式完成數(shù)學(xué)建模過程教學(xué)后，用于數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用拓展訓(xùn)練。

（二） 函數(shù)模型

例題：（2007年貴州某市中考試題）某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價不得高于55元。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱。

（1） 求平均每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2） 求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式。

（3） 當(dāng)每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

變式：學(xué)校小超市為了給學(xué)生補充營養(yǎng)，采購了一批單價為4元的果奶產(chǎn)品，該產(chǎn)品計劃售價不高于5.5元。通過調(diào)查分析，如果每瓶果奶以5元的價格銷售，那么平均每天能賣出90瓶，價格每提高1元，則每天少銷售3瓶。

（1） 求平均每天的銷售量y（瓶）與銷售價x（元/瓶）之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2） 求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/瓶）之間的函數(shù)關(guān)系式。endprint

（3） 當(dāng)牛奶的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

例題中所給出的場景為水果店批發(fā)水果，雖然該場景學(xué)生也會遇到，但由于水果批發(fā)、公路建設(shè)、路程問題等，學(xué)生在習(xí)題中經(jīng)常遇見，對于此類問題已經(jīng)麻木。恰逢學(xué)校校內(nèi)超市新進了一批果奶，這種果奶口味很受學(xué)生歡迎，我在教學(xué)中就將上述水果批發(fā)的場景，更換為與學(xué)生生活相關(guān)的學(xué)校超市果奶采購和銷售的場景。由于果奶學(xué)生經(jīng)常買來喝，甚至當(dāng)天在學(xué)生書桌上還擺著幾瓶沒喝完的果奶，因而該場景成功地激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，極大地提高了教學(xué)效率，鍛煉了學(xué)生運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力。

（三） 幾何模型

例題：如圖，在直角梯形ABCD中，已知AD=3，BF⊥DC，∠CBF=30°，求邊DC的長度。

變式：學(xué)校東北角要安裝運動器械，計劃砍掉一棵樹AB，在地面上事先劃定以點B為圓心，半徑與AB等長的圓形危險區(qū)域，某工人站在距離B點3米遠的排球評分臺CD頂點，在C處測得樹頂端A的仰角為60°，樹的底部俯角為30°。問距離B點8米的同學(xué)是否在危險區(qū)域內(nèi)。

例題是一道比較經(jīng)典的梯形求邊的幾何題目，這個題目同學(xué)在習(xí)題中經(jīng)常遇見。但該題目作為數(shù)學(xué)模型，其抽象性較強，如果教師在教學(xué)中，僅僅是以數(shù)學(xué)模型的方式教學(xué)，無法實現(xiàn)讓學(xué)生學(xué)會如何運用幾何模型解決實際問題。筆者以學(xué)校最近的伐樹工作為案例，將該題目變式為相關(guān)于校園伐樹，求安全距離的場景。該場景涉及學(xué)生的安全，并且源自于校園最近發(fā)生的事情，因而能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。該變式趣味性強，情境性高，因而在教學(xué)中的應(yīng)用，讓同學(xué)們把握了幾何模型與生活實際之間的聯(lián)系，提高了學(xué)生運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力。

綜上所述，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型的具體應(yīng)用中，教師一定要確保對教學(xué)情境的選擇和應(yīng)用，符合學(xué)生的生活實際。只有這樣，才能最大化地發(fā)揮模型思想的作用，才能激發(fā)學(xué)生的探究積極性，讓學(xué)生學(xué)會如何使用數(shù)學(xué)模型來解決實際問題，實現(xiàn)提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的目的。

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