例談高三立體幾何位置關(guān)系證明難點(diǎn)突破

陳樹(shù)興

摘 要：高三立體幾何位置關(guān)系的證明中平行關(guān)系的證明本應(yīng)該是比較簡(jiǎn)單的考點(diǎn)，但在實(shí)際的教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于構(gòu)造輔助線比較吃力，本文結(jié)合2017年的高考試題，談?wù)勗诮虒W(xué)中我們?cè)撊绾瓮黄茦?gòu)造輔助線這個(gè)難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：立體幾何；位置關(guān)系；平行；證明；輔助線

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9132（2017）36-0042-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.36.022

高中立體幾何教學(xué)中，位置關(guān)系的證明占有很大的比重，在教學(xué)中學(xué)生熟記、理解判定定理和性質(zhì)定理后，看似應(yīng)該會(huì)證明一般的位置關(guān)系，而真正操作起來(lái)，還是有很多的難點(diǎn)，如書(shū)寫(xiě)不規(guī)范，不會(huì)做輔助線等，我主要圍繞位置關(guān)系證明中的平行關(guān)系的證明，試圖突破構(gòu)造輔助線這個(gè)難點(diǎn)，為廣大師生提供另一種視角。

一、立體幾何中常用于證明兩直線平行的方法

1.三角形中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

2.平行四邊形的判定定理

（1）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

3.平行于同一直線的兩直線平行。

4.如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直 線和交線平行。

5.如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，所得交線平行。

6.垂直于同一平面的兩直線平行。

二、線面、面面平行的判定定理

1.線面平行的判斷：

（1）如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

（2）兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。

2.面面平行的判斷：

（1）一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行。（要證兩個(gè)平面平行，只需要在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可）

（2）一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則這兩個(gè)平面平行。（要證兩個(gè)平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線分別與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行即可）

（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

3.轉(zhuǎn)化思想：

4.輔助線的構(gòu)造（難點(diǎn)突破）

第一，翻譯定理。把判定定理翻譯以后，有助于學(xué)生思考，幫助學(xué)生確定目標(biāo)。

線面平行的判定定理：

（1）如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

翻譯成：

要證一條直線與一個(gè)平面平行，只需要在這個(gè)平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行即可。

（2）兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。

翻譯成：

要證一條直線與一個(gè)平面平行，只需找一個(gè)經(jīng)過(guò)這條直線的平面與已知平面平行即可（實(shí)質(zhì)還是要證明線面平行，進(jìn)而再證線線平行）。

面面平行的判斷：

（1）一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行。

翻譯成：

要證兩個(gè)平面平行，只需要在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可。

（2）一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則這兩個(gè)平面平行。

翻譯成：

要證兩個(gè)平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線分別與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行即可。

第二，找直線。把判定定理翻譯以后，按照轉(zhuǎn)化的思想，平行位置關(guān)系的證明最終都落到了找兩條直線互相平行這個(gè)點(diǎn)上。

第三，找點(diǎn)。找直線的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是去找兩個(gè)點(diǎn)（兩點(diǎn)確定一條直線），一般情況下，要找的點(diǎn)都是特殊位置上的點(diǎn)，如：線段的中點(diǎn)或幾等分點(diǎn)。也可以借助尺子，將尺子與已知直線重合，初步的平移到目標(biāo)范圍內(nèi)，找到目標(biāo)點(diǎn)即可。

第四，構(gòu)造輔助線。連接兩點(diǎn)即可。

注：證明線線平行，通常情況下構(gòu)造平行四邊形或利用三角形的中位線來(lái)證明。

三、例題解析

例（2017新課標(biāo)Ⅱ理）（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=■AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點(diǎn)。

證明：直線CE‖平面PAB；

分析：依據(jù)線面平行的判定定理，可以從兩個(gè)方面思考。

思路一：要證直線CE平行于平面PAB，只需在平面PAB內(nèi)找一條直線與已知直線CE平行即可，進(jìn)而問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為在平面PAB內(nèi)找一條直線與直線CE平行，要確定這條直線，關(guān)鍵是在平面PAB內(nèi)找兩個(gè)點(diǎn)，我們可以先借助直尺來(lái)找，先將直尺與直線CE重合，然后將直尺平移到平面PAB內(nèi)，標(biāo)記剛進(jìn)入平面PAB時(shí)的兩個(gè)點(diǎn)的位置，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B是其中的一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與直線PA的交點(diǎn)記為F，連接BF，觀察問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為如何證明CE‖BF，點(diǎn)F要滿足什么條件？回到題目條件，不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)E為PD的中點(diǎn)，首先考慮點(diǎn)F為PA的中點(diǎn)，連接EF，EF為△PAD的中位線，則EF‖AD，最終，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明四邊形為EFBC平行四邊形即可。

證明：設(shè)點(diǎn)F為PA的中點(diǎn)，連接EF，連接BF，而E是PD的中點(diǎn)，則EF為△PAD的中位線，所以EF■■■AD，

∵AB=BC=■AD，∠BAD=∠ABC=90°

∴BC ■■AD

∴BC■EF

所以四邊形EFBC為平行四邊形。endprint

所以CE‖BF，

∵BF？哿平面PAB，CE？芫平面PAB

∴CE‖平面PAB

小結(jié)：要證一條直線與一個(gè)平面平行，只需要在這個(gè)平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行即可，在思考過(guò)程中，關(guān)鍵在已知平面內(nèi)找兩個(gè)點(diǎn)，最終通過(guò)構(gòu)造三角形中位線或平行四邊形來(lái)證明線線平行，最終證明線面平行。

思路二：要證直線CE平行于平面PAB，只需找一個(gè)經(jīng)過(guò)直線CE的平面與知平面PAB

平行即可，進(jìn)而問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為找一個(gè)經(jīng)過(guò)直線CE的平面與知平面PAB平行，要確定這個(gè)平面，因?yàn)橐阎藘蓚€(gè)點(diǎn)C，E，由公理：不共線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，關(guān)鍵是再找與C，E不共線的第三個(gè)點(diǎn)M，我們姑且記為點(diǎn)，我們的目的是要構(gòu)造出一個(gè)經(jīng)過(guò)直線CE的平面與知平面PAB平行，即MC，ME要與已知平面PAB分別平行，即MC，ME必須與已知平面PAB內(nèi)的兩條相交直線分別平行，而同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的點(diǎn)很少，只能是特殊的點(diǎn)，如中點(diǎn)或幾等分點(diǎn)，點(diǎn)M的位置基本上就 能定下來(lái)了。點(diǎn)M即為AD的中點(diǎn)。

面面平行的證明有兩種，書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程即有兩種。

證明（書(shū)寫(xiě)一）：設(shè)點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，分別連接ME，MC

因?yàn)辄c(diǎn)M為的中點(diǎn)，E是PD的中點(diǎn)

所以，ME是△PAD的中位線

所以ME‖PA

又∵M(jìn)E？芫平面PAB，PA？哿平面PAB

∴ME‖平面PAB

∵AB=BC=■AD，∠BAD=∠ABC

又∵點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)

∴四邊形ABCM為正方形

∴ME‖AB

又∵M(jìn)C？芫平面PAB，AB？哿平面PAB

∴MC‖平面PAB

又∵M(jìn)C∩ME=M，MC？哿平面MCE，ME？哿平面MCE

∴平面MCE‖平面PAB

又∵CE？哿平面MCE

∴CE‖平面PAB

證明（書(shū)寫(xiě)二）：設(shè)點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，分別連接ME，MC

因?yàn)辄c(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，E是PD的中點(diǎn)

所以，ME是△PAD的中位線

所以ME‖PA

∵AB=BC=■AD，∠BAD=∠ABC=90°

又∵點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)

∴四邊形ABCM為正方形

∴MC‖AB

又∵M(jìn)C？哿平面MCE，ME？哿平面MCE，MC∩ME=M，PA？哿

平面PAB，AB？哿平面PAB

PA∩AB=A

∴平面MCE‖平面PAB

又∵CE？哿平面MCE

∴CE‖平面PAB

小結(jié)：要證一條直線與一個(gè)平面平行，只需找一個(gè)經(jīng)過(guò)這條直線的平面與已知平面平行即可，關(guān)鍵是要找到一個(gè)經(jīng)過(guò)這條直線的平面與已知平面平行，而找這個(gè)平面的關(guān)鍵是只需要找一個(gè)與已知直線上那兩個(gè)點(diǎn)不共線的點(diǎn)即可，而這個(gè)點(diǎn)的位置必須滿足：這個(gè)點(diǎn)與已知直線上兩點(diǎn)的連線分別與已知平面平行，從而構(gòu)造輔助線。

高中立體幾何中位置關(guān)系的證明在每年的高考中經(jīng)?？?，而考題的難點(diǎn)在于構(gòu)造輔助線，希望本文的方法能為大家提供一種視角。

參考文獻(xiàn)：

[1] 車樹(shù)勤.立體幾何中平行與垂直的證明[J].中學(xué)生數(shù)理化：高三，2017（2）：13-15.

[2] 張繼海.談?wù)劷庾C立體幾何線面位置關(guān)系的策略[J].試題與研究，2014（2）：5-8.endprint