基于自適應(yīng)Kalman濾波的MEMS陀螺隨機(jī)誤差分析

王辛望,沈小林*,劉新生

(1.中北大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院,太原 030051;2.江蘇曙光光電有限公司,江蘇 揚(yáng)州 225009)

基于自適應(yīng)Kalman濾波的MEMS陀螺隨機(jī)誤差分析

王辛望1,沈小林1*,劉新生2

(1.中北大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院,太原 030051;2.江蘇曙光光電有限公司,江蘇 揚(yáng)州 225009)

針對(duì)某型MEMS陀螺隨機(jī)誤差較大、精度不高的問題,通過時(shí)間序列分析法,建立自回歸滑動(dòng)平均ARMA(Auto-Regressive and Moving Average)模型,采用ARMA(2,1)模型將預(yù)處理后的MEMS陀螺隨機(jī)誤差進(jìn)行建模。設(shè)計(jì)基于ARMA模型的經(jīng)典Kalman濾波器。靜態(tài)試驗(yàn)和恒定速率試驗(yàn)結(jié)果表明在經(jīng)典Kalman濾波器作用下,靜態(tài)試驗(yàn)下其均值與均方差下降32.62%和66.31%;恒定速率試驗(yàn)下,其均值有明顯的降低,其均方差減小了一個(gè)數(shù)量級(jí)。針對(duì)經(jīng)典Kalman濾波器不能解決振動(dòng)試驗(yàn)中大振幅時(shí)濾波發(fā)散問題,提出一種新的自適應(yīng)Kalman濾波法,通過尋找合適的標(biāo)定因子s解決濾波發(fā)散問題。振動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果表明,當(dāng)振幅為100°時(shí),濾波后的均值和均方差分別下降8.25%和8.36%。

MEMS陀螺;隨機(jī)誤差;自適應(yīng)Kalman濾波;時(shí)間序列分析;自回歸滑動(dòng)平均;Allan方差

微機(jī)電系統(tǒng)(Micro-Electro-Mechanical System)慣性器件在無(wú)人機(jī)、精確制導(dǎo)武器、低成本慣導(dǎo)系統(tǒng)等領(lǐng)域得到大量應(yīng)用。其中MEMS陀螺以其質(zhì)量小、便于攜帶、易于安裝、高可靠以及耐沖擊等優(yōu)勢(shì)得到大規(guī)模使用。相比于激光陀螺、光纖陀螺、靜電陀螺等,MEMS陀螺精度比較低,阻礙了MEMS陀螺的發(fā)展;通過可行的措施降低MEMS陀螺的隨機(jī)誤差,改善其精度是目前亟待解決的重要問題之一[1]。目前針對(duì)降低MEMS陀螺隨機(jī)誤差方法有很多種,通常使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波分析等方法[2-3],但是上述方法獲得的模型總是帶有很高的階數(shù),在低成本慣導(dǎo)系統(tǒng)實(shí)時(shí)在線估計(jì)與預(yù)測(cè)中并不適用。因此運(yùn)用時(shí)間序列分析法,通過對(duì)MEMS陀螺隨機(jī)誤差選取合適的模型進(jìn)行建模,設(shè)計(jì)Kalman濾波器減小MEMS陀螺的隨機(jī)誤差是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。文獻(xiàn)[4]只對(duì)MEMS陀螺隨機(jī)誤差進(jìn)行建模,并沒有設(shè)計(jì)濾波器分析其隨機(jī)誤差;文獻(xiàn)[5-6]對(duì)MEMS陀螺隨機(jī)誤差進(jìn)行建模,設(shè)計(jì)Kalman濾波器分析其隨機(jī)誤差,但卻沒有考慮動(dòng)態(tài)時(shí)Kalman濾波器可能出現(xiàn)的問題;文獻(xiàn)[7]對(duì)MEMS陀螺隨機(jī)誤差進(jìn)行了AR(自回歸,Auto-Regressive)模型建模,設(shè)計(jì)Kalman濾波器并進(jìn)行靜態(tài)試驗(yàn)和動(dòng)態(tài)試驗(yàn),試驗(yàn)結(jié)果表明該Kalman濾波器有效減小了MEMS陀螺的隨機(jī)誤差,但卻忽略了振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)Kalman濾波器的局限性。作者提出并設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)Kalman濾波器,建立ARMA(自回歸滑動(dòng)平均,Auto-Regressive and Moving Average)模型對(duì)MEMS陀螺隨機(jī)誤差進(jìn)行分析,通過設(shè)計(jì)靜態(tài)試驗(yàn)和動(dòng)態(tài)試驗(yàn)討論MEMS陀螺隨機(jī)誤差,尤其解決了振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)Kalman濾波器的局限性。通過一系列數(shù)據(jù)對(duì)比,證明了自適應(yīng)Kalman濾波器的有效性。

1 Kalman濾波器的設(shè)計(jì)

1.1 經(jīng)典Kalman濾波器的設(shè)計(jì)

Kalman濾波于20世紀(jì)中期被提出,目前仍在工程中得到廣泛的應(yīng)用。Kalman濾波是一種遞推線性最小方差估計(jì),只通過前一個(gè)狀態(tài)時(shí)刻的估計(jì)值和現(xiàn)在狀態(tài)的量測(cè)值來計(jì)算現(xiàn)在狀態(tài)的估計(jì)值,方法簡(jiǎn)便,易于工程實(shí)現(xiàn)。它可以實(shí)現(xiàn)最小均方估計(jì)誤差意義下隨機(jī)信號(hào)的最優(yōu)線性濾波。構(gòu)建MEMS陀螺隨機(jī)誤差模型,通過Kalman濾波器對(duì)MEMS陀螺隨機(jī)誤差進(jìn)行濾波。將MEMS陀螺隨機(jī)誤差作為系統(tǒng)輸入,設(shè)其k時(shí)刻的系統(tǒng)和量測(cè)方程是:

(1)

Kalman濾波的5個(gè)基本方程為:

(2)

式中:Hk為量測(cè)陣,Kk是濾波增益矩陣;Pk,k-1是一步預(yù)測(cè)誤差方差陣;Pk是估計(jì)誤差方差陣;R是測(cè)量噪聲的協(xié)方差;Q是過程噪聲的協(xié)方差;在MEMS陀螺隨機(jī)誤差中,R、Q均為常數(shù)。經(jīng)典Kalman濾波的步驟如圖1所示。

圖1 經(jīng)典Kalman濾波器的步驟

1.2 自適應(yīng)Kalman濾波器的設(shè)計(jì)

基于1.1節(jié)經(jīng)典Kalman濾波器,實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)總會(huì)出現(xiàn)量測(cè)值數(shù)目k持續(xù)增加時(shí),估計(jì)值與實(shí)際被估計(jì)值之間的偏差不斷增大,導(dǎo)致Kalman濾波器逐步喪失作用,造成濾波的發(fā)散。由于Kalman濾波被定義為一個(gè)遞推過程,當(dāng)濾波步數(shù)逐漸變大,舍入誤差開始不斷累積,造成估計(jì)的均方誤差陣喪失非負(fù)定性甚至丟掉對(duì)稱性,導(dǎo)致增益陣的計(jì)算值不斷喪失合適的加權(quán)作用而發(fā)散。特別是當(dāng)Kalman濾波器應(yīng)用于MEMS陀螺中時(shí),這種現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致其精度下降,隨機(jī)誤差變大,影響了MEMS陀螺的使用。因此我們介紹一種自適應(yīng)Kalman濾波器,在濾波過程中針對(duì)新鮮量測(cè)值對(duì)估計(jì)值的修正作用減弱,陳舊量測(cè)值的修正作用逐漸增大的現(xiàn)象,改進(jìn)Kalman濾波方程,提出標(biāo)定因子s的概念。通過尋找合適的標(biāo)定因子s,逐漸削弱陳舊量測(cè)值的比例,同時(shí)增加新鮮量測(cè)值的權(quán)重,扼制經(jīng)典Kalman濾波器的發(fā)散,從而減小MEMS陀螺的隨機(jī)誤差,提高其精度。

2 時(shí)間序列分析法

時(shí)間序列分析法的主要內(nèi)容是研究時(shí)間序列的分解、預(yù)測(cè)、時(shí)間序列的線性模型的建模、估計(jì)、檢驗(yàn)和控制方法等,擬合高精度模型滿足研究和實(shí)際工程需要。

在建模之前對(duì)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理,剔除其中的奇異點(diǎn),然后平滑處理并消除其中的均值,最后用多項(xiàng)式擬合法去除其中的線性趨勢(shì)項(xiàng),得到預(yù)處理后的結(jié)果。將預(yù)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模,根據(jù)最小信息準(zhǔn)則AIC(Akaike Information Criterion)、貝葉斯信息準(zhǔn)則BIC(Bayesian Information Criterion)等準(zhǔn)則選取模型并定階[8],綜合考慮試驗(yàn)因素以及硬件條件實(shí)現(xiàn)的方便,此試驗(yàn)MEMS陀螺隨機(jī)誤差選擇自回歸滑動(dòng)平均ARMA模型進(jìn)行建模。該模型的優(yōu)勢(shì)在于便于分析復(fù)雜的時(shí)間序列、能夠更準(zhǔn)確的對(duì)復(fù)雜時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)[9]。

設(shè)預(yù)處理后數(shù)據(jù)序列是{xp},令p=1,2,…,N,則{xp}的ARMA(p,q)模型如式(3)所示。

(3)

針對(duì)試驗(yàn)使用的某型MEMS陀螺,已知其隨機(jī)誤差模型階數(shù)一般比較低,因此試對(duì)其建立ARMA(1,1)、ARMA(1,2)、ARMA(2,1)模型。對(duì)3種模型的參數(shù)、AIC和BIC參數(shù)進(jìn)行估計(jì),估計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1 3種模型的擬合系數(shù)

根據(jù)試驗(yàn)要求、模型擬合精度以及AIC、BIC等準(zhǔn)則,選取ARMA(2,1)最為試驗(yàn)所用MEMS陀螺的隨機(jī)誤差模型,其表達(dá)式如式(4)所示[10-12]。

(4)

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 靜態(tài)數(shù)據(jù)采集

試驗(yàn)采用某型MEMS陀螺,將其采樣頻率設(shè)為100 Hz并水平固定在溫箱中,保證試驗(yàn)在恒溫恒濕的條件下進(jìn)行。將該陀螺通電預(yù)熱1 h,確保其穩(wěn)定運(yùn)行后,以100 Hz連續(xù)采集2 h,重復(fù)上述過程連續(xù)采集六天,取其中一次比較好的10 min數(shù)據(jù)作為樣本,獲得陀螺Z軸靜態(tài)輸出,共采集到60 000個(gè)數(shù)據(jù)樣本。

圖2 MEMS陀螺Z軸靜態(tài)隨機(jī)誤差

3.2 靜態(tài)試驗(yàn)

將Z軸的靜態(tài)輸出進(jìn)行預(yù)處理,則預(yù)處理后Z軸靜態(tài)隨機(jī)誤差如圖3所示。

圖3 預(yù)處理后Z軸靜態(tài)隨機(jī)誤差

圖4 靜態(tài)試驗(yàn)結(jié)果

Kalman濾波前Kalman濾波后量化噪聲4.4965e-044.6697e-04角度隨機(jī)游走1.7592e-045.7544e-05零偏不穩(wěn)定性0.01440.0129速率斜坡0.22570.2507角速率隨機(jī)游走1.25171.1903均值-2.2785E-05-1.5582E-05均方差0.07480.0258

在靜態(tài)的情況下,均值由-2.278 5E-05下降到-1.558 2E-05,均方差由0.074 8下降到0.025 8,角度隨機(jī)游走由1.759 2e-04下降到5.754 4e-05,試驗(yàn)表明在靜態(tài)情況下,經(jīng)典Kalman濾波器效果明顯,能夠有效減小MEMS陀螺隨機(jī)誤差,提高M(jìn)EMS陀螺的精度。

3.3 恒定速率試驗(yàn)

將轉(zhuǎn)臺(tái)的角速率分別設(shè)置為5 °/s、10 °/s、15 °/s、20 °/s、25 °/s、50 °/s、100 °/s,基于相同的試驗(yàn)條件,待轉(zhuǎn)臺(tái)穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)后,以100 Hz頻率采集該陀螺Z軸輸出數(shù)據(jù)1 min。重復(fù)ARMA(p,q)建模過程,對(duì)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行Kalman濾波,得到轉(zhuǎn)臺(tái)速率為5 °/s時(shí)Kalman濾波前后的曲線如圖5所示,不同速率下Kalman濾波前后均值與均方差如表2所示[13]。

表3 恒定速率下Kalman濾波前后均值與均方差

圖5 恒定速率試驗(yàn)結(jié)果(輸入速率為5 °/s)

3.4 振動(dòng)試驗(yàn)

3.3節(jié)中的試驗(yàn)只是針對(duì)恒定速率,根據(jù)工程的實(shí)際需要,利用振動(dòng)臺(tái)的特性,設(shè)計(jì)出一種振動(dòng)試驗(yàn),通過不同時(shí)刻速率變化來比較經(jīng)典Kalman濾波和自適應(yīng)Kalman濾波。設(shè)置振動(dòng)臺(tái)輸出振幅為5°、10°、15°、20°、25°、50°、100°的正弦曲線,待振動(dòng)穩(wěn)定后,以100 Hz的頻率采集陀螺Z軸的輸出數(shù)據(jù)1 min。重復(fù)建立ARMA(p,q)模型,設(shè)計(jì)Kalman濾波器,得到振動(dòng)臺(tái)振幅為10°時(shí)Kalman濾波前后的曲線如圖6所示,表4為不同振幅下經(jīng)典Kalman濾波前后均值與均方差的結(jié)果。

圖6 振動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果(輸入振幅為5°)

Kalman濾波前均值均方差Kalman濾波后均值均方差5°-0.001223.53471-0.001263.5082510°-0.001257.06975-0.001227.0177615°-0.0012610.60496-0.0011610.5272720°-0.0013314.14027-0.0011214.0368725°-0.0013817.67564-0.0010717.5464750°-0.0013635.35243-0.0008235.49423100°-0.0013370.70633-0.0003470.88996

根據(jù)表4結(jié)果可知,當(dāng)振動(dòng)臺(tái)振幅為50°、100°,該型MEMS陀螺輸出的均值和均方差呈增大趨勢(shì),繼續(xù)增大輸出振幅,讓振動(dòng)臺(tái)以150°、200°振動(dòng)時(shí),其均值與均方差同樣呈增大趨勢(shì),因此原先設(shè)計(jì)的Kalman濾波器不能適用于振幅較大的情況。根據(jù)2.2節(jié)設(shè)計(jì)的自適應(yīng)Kalman濾波器以及ARMA(2,1)模型的參數(shù)、試驗(yàn)所用MEMS陀螺以及先驗(yàn)知識(shí),將標(biāo)定因子s設(shè)置為1.05、1.04、1.03、1.02、1.01,不同振幅下濾波后的均值與均方差如表5、表6所示[14-15]。

表5 不同標(biāo)定因子下振動(dòng)試驗(yàn)均值

表6 不同標(biāo)定因子下振動(dòng)試驗(yàn)均方差

由表5、6對(duì)比可知,當(dāng)標(biāo)定因子s選取為1.01時(shí),隨著振幅的不斷增大,其均值與均方差均逐漸變小并在s=1.01處存在最小值。因此本試驗(yàn)中,針對(duì)MEMS陀螺和自適應(yīng)Kalman濾波器的特性,選取標(biāo)定因子s=1.01時(shí)濾波效果最佳。s=1.01時(shí),振幅為100°時(shí)的濾波曲線如圖7所示。

圖7 s=1.01、振幅為100 °/s時(shí)自適應(yīng)Kalman濾波圖

4 結(jié)論

MEMS陀螺隨機(jī)誤差相對(duì)較大,介紹Kalman濾波器和自適應(yīng)Kalman濾波器,通過時(shí)間序列分析法,建立ARMA(p,q)模型,對(duì)其隨機(jī)誤差進(jìn)行分析。通過靜態(tài)試驗(yàn)、恒定速率試驗(yàn)以及振動(dòng)試驗(yàn),對(duì)比Kalman濾波器和自適應(yīng)Kalman濾波器的濾波效果。試驗(yàn)結(jié)果表明,在靜態(tài)試驗(yàn)和恒定速率試驗(yàn)中,經(jīng)典Kalman濾波器濾波效果明顯,在靜態(tài)試驗(yàn)中其均值與均方差下降了32.62%和66.31%;在恒定速率試驗(yàn)中該型MEMS陀螺均值明顯降低;其均方差減小了一個(gè)數(shù)量級(jí)。而在振動(dòng)試驗(yàn)中,經(jīng)典Kalman濾波器不能滿足大振幅振動(dòng)下的濾波要求,自適應(yīng)Kalman濾波器不但能滿足要求,而且當(dāng)輸出振幅為100°時(shí),濾波后的均值和均方差分別下降了8.25%和8.36%。因此自適應(yīng)Kalman濾波器具有更廣泛適用性,能夠有效提高M(jìn)EMS陀螺精度。

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王辛望(1991-),男,河北石家莊人,中北大學(xué)碩士研究生,控制理論與控制工程,導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制,MEMS微機(jī)電慣性傳感器、新型微納機(jī)電傳感系統(tǒng)仿真、加工與性能測(cè)試,379719568@qq.com;

沈小林(1958-),男,中北大學(xué)計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院副教授,主要研究方向?yàn)榭刂评碚撆c控制工程,導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制,檢測(cè)技術(shù)與自動(dòng)化裝置,sxl@nuc.edu.cn。

RandomErrorAnalysisofMEMSGyroscopeBasedonAdaptiveKalmanFilter

WANGXinwang1,SHENXiaolin1*,LIUXinsheng2

(1.School of Computer and Control Engineering,North University of China,Taiyuan 030051,China;2.Jiangsu Shuguang Opto-Electronics Co.,Ltd,Yangzhou Jiangsu 225009,China)

In order to improve performance of a certain type MEMS gyroscope,based on the principles of time series analysis,ARMA model is established and ARMA(2,1)is used to establish MEMS gyroscope random error model. The Kalman filter is designed and the result of static test and the constant rate test show that under the classic Kalman filter,the mean and mean square deviation of the MEMS gyroscope random error is reduced by 32.62% and 66.31% in the static test;the mean is much smaller and the mean square deviation is decreased by an order of magnitude in the constant rate test. Based on the fact that the classic Kalman filter can not adapt to the vibration test of large amplitude,a new adaptive Kalman filter is proposed in this paper by looking for the adaptive calibration factors to deal with the problem of the divergence in the classic Kalman filter. The results of vibration test show that the mean and the mean square deviation after filtering is reduced by 8.25% and 8.36% when the amplitude is 100°.

MEMS gyroscope;random error;adaptive Kalman filter;time series analysis;Auto-Regressive and Moving Average;Allan variance

V241.5

A

1004-1699(2017)11-1666-05

2017-04-24修改日期2017-06-29

10.3969/j.issn.1004-1699.2017.11.009