基本不等式及其簡單應(yīng)用

王小亮

摘 要：基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”，或?qū)ⅰ胺e式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能。在使用基本不等式求最值時，必須具備三個條件：①在所求最值的代數(shù)式中，各變量均是正數(shù)；②各變量的和或積必須是常數(shù)，以確保不等式一邊為定值；③等號能取到。以上三個條件簡稱為“一正、二定、三相等”，它在解題中具有雙重功能，既有對條件的制約作用，又有解題的導向作用。另外，使用基本不等式證明問題時，有時要反復(fù)使用它們，然后再相加或相乘，這時字母應(yīng)滿足多次使用基本不等式中的等式一致成立的條件。若不一致，則不等式中的等號不能成立。

關(guān)鍵詞：基本不等式；證明；最值

基本不等式是人教版高中數(shù)學必修五第三章的內(nèi)容，該內(nèi)容在高中數(shù)學不等式的學習上起到了至關(guān)重要的作用，對柯西不等式的應(yīng)用也打了必要的基礎(chǔ)，通過該內(nèi)容讓學生真正體會到數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學學習中的作用。

數(shù)學在生活中是有價值的，也是有趣的?；静坏仁降膸缀谓忉尵秃芰钊朔Q奇.可以從中發(fā)現(xiàn)很多知識與性質(zhì)。由此我們在教學中可以給學生加以介紹，以引起學生的興趣，在基本不等式的使用中帶著好奇與不斷探索的精神去挖掘它的真諦。

一、通過趙爽弦圖理解基本不等式

在初中時，我們可以用一個大正方形中四個全等的直角三角形和一個小正方形的面積與大正方形面積相等得到勾股定理的簡單解釋。然后再根據(jù)弦圖中大正方形的面積大于四個直角三角形的面積關(guān)系，解釋基本不等式。

四個直角三角形的面積的和小于或等于大正方形的面積，當直角三角形為等腰直角三角形時，四個三角形的面積的和等于大正方形的面積，這就可以解釋基本不等式取到等號成立的條件。

二、構(gòu)造圓中的線段解釋不等式

在圓中任取一條直徑，在該直徑上任取一點，為了體現(xiàn)任意性，我們剛開始要避開圓心，過該點作直徑的垂線，利用直角三角形中斜邊大于直角邊就可以得到基本不等式的解釋，.基本不等式的幾何意義“半徑不小于半圓”。

當該點為圓心時，等號成立。再次加強不等式等號成立條件的理解。

通過圖形得到不等式的集合解釋，為了更準確的感知和理解，再從數(shù)學的邏輯方面給出證明，不僅培養(yǎng)了學生嚴謹?shù)臄?shù)學態(tài)度，而且還可以從中學習到分析法證明的大體過程。

基本不等式的學習是學生對不等式認知的一次飛躍。在使用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”這兩個結(jié)論時，應(yīng)把握三點：“一正、二定、三相等”.當條件不完全具備時，應(yīng)創(chuàng)造條件.

正：兩項必須都是正數(shù)；

定：求兩項和的最小值，它們的積應(yīng)為定值；求兩項積的最大值，它們的和應(yīng)為定值。

等：等號成立的條件必須存在.

三、利用基本不等式求最值

對于沒有條件限制的題型，學生常常拿到后就開始使用基本不等式，恰恰忽略了基本不等式中兩個變量必須是正數(shù)的條件，為了更好地解決此類問題，可以考慮引入雙對勾函數(shù)，讓學生更直觀的理解當變量為負數(shù)時最值得情況。

對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般函數(shù)，又被稱為“雙勾函數(shù)”、"勾函數(shù)"等。也被形象稱為“耐克函數(shù)”。在y軸左邊，增減，在y軸右邊，減增，是兩個勾。 對于雙對勾函數(shù)，它的單調(diào)性與奇偶性有何應(yīng)用？而值域問題恰好與單調(diào)性密切相關(guān)，所以首先想到的問題應(yīng)該與值域有關(guān)。因此就由特殊引出了一般結(jié)論，繼續(xù)拓展下去，用所猜想、探索的結(jié)果來解決較為復(fù)雜的函數(shù)最值問題。雙勾函數(shù)為最值問題的解決奠定了較強的基礎(chǔ)，可以做必要的延伸。

對于要使用多次基本不等式的題型，拿到此類題目，學生會考慮分別使用基本不等式，然后乘在一起，這種思路忽略了等號成立的條件，因此使用基本不等式一定要驗證等號成立的條件，只有等號成立時，所求出的最值才是正確的.所以有些題型要先做適量的化簡變形，化簡后會達到“柳暗花明又一村”的效果。

（一）合理拆分項或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目標在于使等號成立，且每項為正值，必要時需出現(xiàn)積為定值或和為定值.

（二）當多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯，因此在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.

基本不等式中和為定值積有最大值，積為定值和有最小值，往往不是一眼就可以看出，需要進行必要的化簡，湊配某些項，想辦法讓等號成立，借以算出最值。有些基本不等式的使用還會借助放縮法，這在高考中使用比較多，比如柯西不等式也可以和基本不等式交替使用，對不等式的綜合應(yīng)用起到了承上啟下的不可估量的作用。

對于一些不能直接使用基本不等式的題型，可以先考慮在不改變題型的內(nèi)容的前提下湊項，湊項后仍然要關(guān)注不等式成立的條件。

四、利用基本不等式證明不等式

利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況與常用的方法，其實質(zhì)就是從已知的不等式入手，借助不等式性質(zhì)和基本不等式，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推得所證問題，其特征是“由因?qū)Ч?證明不等式時要注意靈活變形，多次利用基本不等式時，注意每次等號是否都成立.同時也要注意應(yīng)用基本不等式的變形形式.通過基本不等式的證明培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，通過基本不等式的應(yīng)用揭示數(shù)學的應(yīng)用價值，增強學生使用數(shù)學，熱愛數(shù)學的精神。

有些題型含有關(guān)于“1”的等式，兩項雖然都為正，但無法保證乘積為定值，利用條件將“1”進行轉(zhuǎn)化，分離常數(shù)后再使用基本不等式，這種方法可以稱為基本不等式中“1”的活用，也是一種整體代換思想，通過本題強調(diào)積為定值的重要性。當題目中有多個“1”時， 考慮先化其中一部分，化完以后再使用基本不等式，要注意等號成立的條件，可能會分別多次使用基本不等式，所以等號成立會有多個條件。也可先考慮化簡，化簡后再使用整體代換，將不等式轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式。

應(yīng)用基本不等式的“八種變形技巧”：

（一）湊系數(shù)（乘、除變量系數(shù)）。（二）湊項（加、減常數(shù)項）。（三）調(diào)整分子。（四）變用公式：基本不等式有幾個常用變形，，不易想到，應(yīng)重視。（五）連用公式。（六）對數(shù)變換。（七）三角變換。（八）常數(shù)代換（逆用條件）。

基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”，或?qū)ⅰ胺e式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能。在使用基本不等式求最值時，必須具備三個條件：1.在所求最值得代數(shù)式中，各變量均是正數(shù)；2.各變量的和或積必須是常數(shù)，以確保不等式一邊為定值；3.等號能取到。以上三個條件簡稱為“一正、二定、三相等”，它在解題中具有雙重功能，既有對條件的制約作用，又有解題的導向作用。另外，使用基本不等式證明問題時，有時要反復(fù)使用它們，然后再相加或相乘，這時字母應(yīng)滿足多次使用基本不等式中的等式一致成立的條件。若不一致，則不等式中的等號不能成立。

新課程標準要求探索并了解基本不等式的證明過程，會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}。將最基本的不等式列入教學內(nèi)容，并且突出體現(xiàn)求解不等式模型的基本方法，既防止陷入“繁瑣的計算、人為技巧化的難題”，也不“過分強調(diào)細枝末節(jié)的內(nèi)容”。

學生的數(shù)學學習不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習，在教學中應(yīng)該倡導學生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方法。在基本不等式的教學中，我們要充分發(fā)揮學生的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程，提高學生的數(shù)學思維能力，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式進一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習慣。讓學生不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程。

參考文獻：

[1]《人教版高中數(shù)學必修5》第三章第四節(jié).

[2]徐利治，王興華編著。數(shù)學分析的方法及例題選講[M].北京：高等教育出版社，1983.

[3]葉藝林，陳德剛。基本不等式及其證明方法。景德鎮(zhèn)高考學報，第24卷第4期，2009.12.endprint