面向線性光譜混合分解的鄰域像元集螺線型構(gòu)建方法

劉博宇，陳 軍，邢華橋,3，武 昊，張 俊

1.吉林大學地球探測科學與技術(shù)學院，吉林 長春 130026; 2.國家基礎地理信息中心，北京 100830; 3.中國礦業(yè)大學(北京)地球科學與測繪工程學院，北京 100083

面向線性光譜混合分解的鄰域像元集螺線型構(gòu)建方法

劉博宇1,2，陳 軍2，邢華橋2,3，武 昊2，張 俊2

1.吉林大學地球探測科學與技術(shù)學院，吉林 長春 130026; 2.國家基礎地理信息中心，北京 100830; 3.中國礦業(yè)大學(北京)地球科學與測繪工程學院，北京 100083

高時間分辨率遙感影像在地表景觀破碎區(qū)域易形成混合像元，難以發(fā)揮其高時間維度優(yōu)勢?，F(xiàn)有方式多是基于線性光譜混合模型，借助鄰域像元所構(gòu)成的像元集合組成線性方程組，求出組分光譜值的最小二乘解，提高其空間分辨率。然而，現(xiàn)有方法依賴窗口形式來構(gòu)建鄰域像元集合，在某些區(qū)域易造成方程組無解的欠定問題。本文在分析其問題原因的基礎上，引入阿基米德螺線代替?zhèn)鹘y(tǒng)的矩形窗口，對鄰域各像元依次遍歷，構(gòu)建空間鄰近、組分相近的鄰域像元集合來解決該問題。在GlobeLand 30數(shù)據(jù)上的試驗表明，螺線型構(gòu)建方法對5種混合尺度上多種類型地物均具有穩(wěn)定的精度，與傳統(tǒng)窗口構(gòu)建方法相比，可從構(gòu)建鄰域像元集合方面將總體理論精度提高2%,分解結(jié)果精度提高近1個數(shù)量級。

線性光譜混合分解;混合像元;鄰域像元;螺線;窗口

環(huán)境變化監(jiān)測、地表覆蓋數(shù)據(jù)更新、土地資源動態(tài)管理等迫切需要兼具高時間和高空間分辨率的遙感影像[1-3]，但限于運行軌道、硬件等因素制約，遙感傳感器還難以同時滿足該高分辨率需求[4-5]。國內(nèi)外通常是借助高空間分辨率的地表分類圖，對多期低空間分辨率影像分別進行光譜分解，進而組成高空間分辨率影像序列[6-9]。設低空間分辨率像元P的光譜值為SP，對應高空間分辨率地物組分為Ci(i=1,2,…,n),其光譜值為SC，光譜分解是將SP看作由n個SC混合而成，基于表征兩者之間關系的光譜混合模型，由SP推算出對應的SC[10-12]。常用的線性光譜混合分解方式是基于地理學第一定律。假設鄰近地物有較強相關性，取當前和鄰近的m個像元，構(gòu)建其光譜值SP與組分光譜值SC之間的線性方程組L，在觀測數(shù)(像元數(shù))m大于等于未知數(shù)(組分數(shù))n的條件下，按最小二乘法求解出當前像元P內(nèi)的SC[13-14]。然而，當鄰近地物類別相差較大時，鄰域內(nèi)某些像元的組分明顯不同于當前像元，屬于無效觀測，這往往致使L在觀測數(shù)m大于未知數(shù)n時仍然引發(fā)導致SC無解的欠定問題。組成非欠定的光譜分解線性方程組，需確保所選擇的鄰域像元均為有效觀測，鄰域范圍像元集合的構(gòu)建是解決此問題的關鍵。

通常，鄰域像元集主要采用規(guī)則窗口來構(gòu)建[15]。例如，文獻[16]直接使用以待分解像元為中心的窗口來收集鄰域像元；在文獻[16]的基礎上，文獻[17]通過結(jié)合空間距離權(quán)重，減小窗口中較遠處的像元對中心待分解像元組分值的影響；文獻[18]通過增加光譜權(quán)重，進一步改善了窗口內(nèi)部參與解算的像元種類，以此來提高分解精度；文獻[19]提出使用限制性最小二乘法來保障組分值位于合理區(qū)間；文獻[4]采用了一個移動窗口來收集周圍鄰域像元，來處理影像場景內(nèi)的不同地方的光譜可變問題,并通過減少解算的部分類數(shù)，使得窗口中像元數(shù)大于組分數(shù)，來保障順利分解；文獻[20]通過對比不同大小的窗體下的計算精度，先驗性地確定最佳窗口，構(gòu)建鄰域像元集。窗口型的鄰域像元集構(gòu)建方法原理簡潔而易于實現(xiàn)，其效率較高，獲得了廣泛的應用。然而，這些在窗口基礎上作出的改進，以及在其后的分解中所采取的保障措施并不是構(gòu)建鄰域像元集的根本解決方案。究其原因，是由于窗口的覆蓋形狀難以順應地物分布走勢，在部分區(qū)域不能從鄰域內(nèi)界定出各組分相近像元分布的準確范圍，從而引發(fā)欠定問題。

螺線是一種具有非規(guī)則空間形態(tài)的幾何曲線[22-23]。相較于窗口，螺線更加貼近鄰域周圍的非規(guī)則地表。沿其展開的軌跡，根據(jù)當前像元內(nèi)的組分分布，對其四周地物類別相近的像元范圍可進行最佳逼近，可構(gòu)建空間相鄰、組分相近的鄰域像元集合，有望在一定程度上解決欠定難題。本文第1節(jié)分析線性光譜分解理論將混合像元分解為組分值時面臨的問題，揭示傳統(tǒng)窗口鄰域像元集構(gòu)建方式的缺陷，提出基于螺線構(gòu)建非欠定的鄰域像元集合的解決思路；第2節(jié)介紹螺線在二維笛卡爾坐標系中的參數(shù)公式，推導出其在影像柵格空間上的離散化形式，進而提出螺線形式的鄰域像元集合構(gòu)建算法；第3節(jié)以GlobeLand 30地表覆蓋數(shù)據(jù)產(chǎn)品為基礎，對比不同像元混合尺度上螺線型方法與窗口方法的試驗結(jié)果；最后，總結(jié)并指出有待進一步研究的問題。

1 相似地物的螺線逼近

1.1 問題分析

在線性光譜混合模型中，將混合像元的值R表達為該像元內(nèi)部各種地類(組分)值r與各地類所占面積比例(豐度)f的線性組合，如式(1)(n為組分總數(shù)；ε為非線性殘差)?；谝延械牡乇矸诸悎D提取得到豐度后，采用線性光譜混合模型將混合像元分解為組分值，即求解以r為未知數(shù)的式(1)的過程。

(1)

按方程組求解的一般要求，方程數(shù)m應大于等于未知數(shù)的數(shù)量n(式(2))，此時屬于適定、超定問題，可用最小二乘方法求最優(yōu)解；當m小于n時，會發(fā)生無唯一解的欠定問題，求不出未知數(shù)。對線性光譜分解過程而言，即需列出滿足式(2)的多個線性方程，組成線性方程組(如式(3))。為此，通常是依據(jù)地理學第一定律的觀點，收集待分解像元空間附近的其他像元共同組成鄰域像元集合[13,20]，以構(gòu)成待分解像元的解算線性方程組[24-26]。

m≥n

(2)

(3)

鄰域像元集的窗口構(gòu)建方式，就是收集一定矩形空間范圍內(nèi)的像元，組成鄰域像元集合。窗口的數(shù)學形式如式(4)，大小為2s+1(s為自然數(shù)，一般以像元為單位)，l為其所能解算的最大組分數(shù)。已知地表分類圖的l為確定值，由式(4)即可計算窗口大小。由于地物類型多樣，分布形式復雜，鄰近地物的相關性難以一致，使得鄰域中的其他像元與待分解像元組分類型構(gòu)成并不完全相同。這些像元增大了中心像元方程組的方程數(shù)m，使得常出現(xiàn)方程數(shù)m遠多于組分數(shù)n，但仍然解不出組分值的情況。規(guī)則的窗口不能順應地物的分布形狀，造成其鄰域像元集合中常出現(xiàn)與待分解中心像元組分無關的其他像元，增加了解算方程組中無效方程的規(guī)模，給組分值的解算帶來困難；部分均質(zhì)像元因受到其他像元多種組分的影響，增加了分解其組分光譜值的復雜性。圖1示例列舉了窗口構(gòu)建鄰域像元集的4類典型情況：①像元A包含森林、草地、耕地3種組分類型，窗口代入了人造地表組分類型，其鄰域像元集組分與豐度分布如表1-1所示，以豐度為系數(shù)的解算方程組中混入了無關光譜，增加了方程組的分解難度；②像元B包含水體、濕地、耕地3種組分類型，其窗口代入了含有無關組分的像元d5，其對應的線性方程組無法分解d5內(nèi)的組分，如表1-2所示；③像元C包含5種組分類型，其窗口可收集6個像元(即m為6)，其鄰域像元集總共包含6種組分類型(即n為6)，但由于其周圍像元均不包含人造和裸地類型的光譜，造成對應方程組無法分解這兩類光譜值，如表1-3所示；④像元D僅包含耕地一種組分類型，其窗口引入了包括人造、草地其他無關組分的像元。

(4)

表1 圖1中鄰域像元集組分及豐度分布一覽表(子表1-1、1-2、1-3、1-4分別對應A、B、C、D的鄰域像元集)Tab.1 The endmembers and abundance of adjacent pixel sets in fig.1(sub-table 1-1，1-2，1-3，1-4 correspond to A，B，C，D) (%)

1?31?4序號像元編碼耕地森林草地人造覆蓋裸地水體序號像元編碼耕地人造覆蓋草地1C6095141201D100002a85423600172g793073a10801830003g8771224b832253100124g993525b96912120085h798206b10871030006h982180

1.2 螺線逼近

阿基米德螺線(本文簡稱螺線)是一種沿中心向外逐漸旋轉(zhuǎn)展開而形成的曲線，呈現(xiàn)出非規(guī)則的幾何形態(tài)(圖2)。其形態(tài)更加貼近非規(guī)則的鄰域地表(圖3)，沿其幾何軌跡可對鄰域內(nèi)周圍分布有多種地物的地表進行逼近，適于對各種空間尺度大小的對象進行局部遍歷，以螺線中心為起點，沿其展開軌跡，順次遍歷其周圍各空間位置的對象。這種由近及遠地遍歷周圍對象的方式，較符合地理學第一定律關于空間鄰近地物相關的假設對選擇鄰近地物的要求。螺線的極坐標形式如式(5)，其中a為極徑，極角θ屬于[0，2π]區(qū)間。

ρ=aθ,a>0

(5)

圖2 地表極坐標上的螺線Fig.2 Polar Archimedean spiral in land surface

在與圖1相同背景下，圖3示例采用螺線對像元A、B、C、D周圍順次遍歷，在較近的區(qū)域選擇出組分類型相近的像元。結(jié)合表2可知，在像元A周圍，其構(gòu)建的鄰域像元集包含了均有耕地、林地、草地3種組分類型的A和a1、a2、b1、c1共5個像元，即其線性方程組的觀測方程均為有效觀測，觀測數(shù)m為5，組分值未知數(shù)n為3，較窗口方法構(gòu)建的線性方程組規(guī)模更小，易于解算；在像元B處，螺線構(gòu)建的像元集避開了像元d5的影響，利用該方程組可更加高效地分解出其內(nèi)的耕地、水體、濕地組分值；對像元C構(gòu)建的鄰域像元集還包含了該區(qū)域內(nèi)最鄰近的a10、b10、c10、c9共4個組分相關像元，其線性方程組能有效地解算出像元C的組分值；由于像元D內(nèi)部僅含有一種耕地組分類型，螺線構(gòu)建的鄰域像元集僅包含一個D像元。

圖1 窗口構(gòu)建鄰域像元集示例(該窗口大小為3，A、B、C、D為待分解像元，背景為地表分類圖)Fig.1 A window-based construction example(window size is 3，A，B，C，D are low spatial pixel，background is a class map)

圖3 螺線對地表各地物類別的逼近示例(沿螺線軌跡選定的其他像元用黑點標記)Fig.3 An example of fitting similar pixels with Archimedean spiral in land surface (the similar pixels labeled by black dot)

表2 圖3中螺線逼近的鄰域像元集組分及豐度分布一覽表(A、B、C、D分別對應表2-1、2-2、2-3、2-4)Tab.2 The endmember and abundance of spiral-based adjacent pixel sets in Fig.3(sub-table 2-1,2-2,2-3,2-4 correspond to A,B,C,D) (%)

2?32?4序號像元編碼耕地森林草地人造覆蓋裸地序號像元編碼耕地1C609514121D1002a1080183003b1087103004c108710575c9441915815

1.3 螺線型構(gòu)建思路

在異質(zhì)地表上,顧及地理學第一定律關于鄰近地物相關性強的假設，以及光譜分解線性方程組的解算要求，生成柵格化的螺線軌跡，在當前像元的周圍鄰域內(nèi)進行遍歷，并判別像元組分的相關性，發(fā)展螺線型的鄰域像元集構(gòu)建算法，以此來構(gòu)建空間鄰近、組分相近的鄰域像元集，是解決欠定問題的可取途徑。

圖4 基于螺線的領域像元集構(gòu)建思路Fig.4 Strategy of constructing adjacent pixel sets with Archimedean spiral

2 鄰域像元集的螺線構(gòu)建

2.1 螺線軌跡的柵格化生成算法

遙感影像是以矩陣組織像元的柵格格式，研究螺線在二維笛卡爾坐標系下的離散化形式形式，有助于螺線在影像處理中的應用。在二維笛卡爾坐標系下，螺線極坐標公式的參數(shù)形式為式(6)，a=vt,θ=wt,v為線速度，w為角速度。

(6)

由式(6)可推導出螺線在矩陣空間上的離散化形式，如式(7)，r為半徑，f1(θ)、f2(θ)為函數(shù)，如式(8)，θ為由0到2π周期性變化的角度，其定義域如式(8)和(9)所示，r是自然數(shù),k為整數(shù)。由該離散化的螺線公式，以一個像元為單位，以某像元中心為螺線的原點， 沿其幾何軌跡順次確定出周圍各像元的中心位置， 取其上離散化的整數(shù)為坐標值，周圍鄰域像元如圖5(b)所示。

圖5 螺線在二維笛卡爾坐標系向矩陣空間轉(zhuǎn)換示例Fig.5 Archimedean spiral conversion from two dimensional Cartesian coordinate system to matrix system

(7)

(8)

2.2 基于螺線軌跡的鄰域像元集生成

在低空間分辨率影像上，采用螺線構(gòu)建鄰域像元集，需按低空間分辨率影像與該區(qū)域地表分類圖的空間位置，提取各像元范圍內(nèi)的組分類型C、組分數(shù)n和豐度f。螺線型算法的原理如圖6所示，設鄰域像元集中各像元豐度組成的矩陣為F,其秩記為rankF,其形式化描述如下：

第1步，在影像柵格上，建立每個像元P的鄰域像元集SP，并將P加入SP。

第2步，以P為螺線中心，沿離散化的螺線順次遍歷P鄰域內(nèi)的其他像元P′。

第3步，判別P′內(nèi)的組分類型C′，若均為相似組分則將其加入SP，進入下一步驟；否則，繼續(xù)按當前的次序遍歷。

第4步，判斷當前鄰域像元集的豐度矩陣的秩rankF是否等于待分解像元的組分數(shù)n,即rankF=n；若滿足，則完成構(gòu)建鄰域像元集SP過程；否則，按當前次序順次加1，繼續(xù)第2步過程。

圖6 螺線構(gòu)建算法原理Fig.6 Archimedean spiral-based adjacent pixel sets construction approach

3 試驗與分析

3.1 試驗區(qū)與數(shù)據(jù)

采用30 m空間分辨率的2010期GlobeLand 30地表覆蓋產(chǎn)品作為分類圖，按混合像元分別為4、6、8、10和12倍于分類像元的混合尺度關系，檢驗了螺線型方法對混合像元構(gòu)建領域像元集與分解時的精度及效率，并與窗口型方法相應結(jié)果對比。試驗區(qū)是面積約為1300 km2的北京地區(qū)，其內(nèi)部廣泛分布有耕、林、草、灌叢等共8種地物類型(圖7)。各尺度的混合像元值按式(1)殘差為零，根據(jù)分類圖生成，值域為[0.1,0.9]；由式(4)計算，窗口大小為3；螺線鄰域像元集像元數(shù)規(guī)模設為中心像元組分數(shù)的2倍。

圖7 GlobeLand 30北京區(qū)域地表覆蓋圖Fig.7 GlobeLand 30 class map in Beijing area

3.2 試驗結(jié)果與分析

對試驗區(qū)主要地表覆蓋上的構(gòu)建統(tǒng)計結(jié)果如圖8所示?？傮w上，人造地表、水體與濕地、耕地、林地與灌叢分布區(qū)域的欠定像元比例，隨混合尺度變大而逐漸增加；窗口型方法存在不同程度的欠定問題，且其比例隨著混合尺度呈線性增加趨勢；螺線型方法在各尺度上基本持平，均處于較低水平，說明其對多種尺度的混合像元均具有穩(wěn)定的解算像元集合構(gòu)建能力，可顯著減少欠定問題的發(fā)生。綜合5種混合尺度的欠定像元統(tǒng)計結(jié)果，窗口方法在構(gòu)建非欠定的線性解算方程組方面精度約為97%，而螺線方法達到99%以上。

基于所構(gòu)建的鄰域像元集，對5種混合尺度的低空間分辨率像元值進行光譜分解，得出的部分高空間分辨率灰度圖像如圖9所示?？梢?，隨著混合尺度增加，窗口型方法分解結(jié)果中越來越多像元值的誤差超出了辨識不同地物類別的界限(試驗中各地物類別最小光譜差值為0.1，絕對誤差超出其一半即意味著難以提供準確的光譜信息)；螺線型方法分解效果較好。通過統(tǒng)計試驗區(qū)分解灰度圖像絕對誤差的絕對值，顯示螺線型方法均值處于[4.4×10-4,1.3×10-3],標準偏差處于[0.4,1.2]；窗口型方法相應指標分別為[3.1×10-3，131.9]和[5.3×10-2，1.2×105]，表明螺線型方法對分解結(jié)果精度提高作用顯著。水體、濕地類型廣泛地與其他類型地物交錯分布且數(shù)量較少，造成鄰域像元集構(gòu)建及分解難度較大；人造地表類型分布相對集中，具有較規(guī)則的形狀，對這些區(qū)域的混合像元構(gòu)建鄰域像元集及分解的難度較??；灌叢地類型零星分布于林地周圍，易造成欠定問題，但由于面積較大，其對整體精度的影響適中。通過對比兩種方法在5種混合尺度上構(gòu)建鄰域像元集及分解的精度可知，螺線型構(gòu)建方法在處理多種地表類型、復雜的地類分布上具有優(yōu)勢。

圖8 試驗區(qū)主要地表覆蓋類型總體欠定像元比例Fig.8 The whole underdetermined pixels ratio among class map

對每個混合像元及試驗區(qū)總體圖幅構(gòu)建鄰域像元集合與進行混合像元分解所需的時間如圖10所示。結(jié)果表明，螺線型方法構(gòu)建鄰域像元集合所需時間是窗口型方法的1.63倍，基于其構(gòu)建的鄰域像元集合進行解混，所需時間是窗口型方法的2.16倍，其構(gòu)建及分解效率均低于窗口型方法。

圖9 部分分解灰度圖像(分解值的絕對偏差大于0.05的像元標記為黑白方塊)Fig.9 The grey unmixed images of the test area (unmixed pixels that absolute deviation of values greater than 0.05 are marked as black and white block)

4 結(jié) 論

利用線性光譜混合模型分解低空間分辨率的像元光譜值時，在部分地表區(qū)域會發(fā)生解算方程組欠定問題，解不出組分的光譜值。傳統(tǒng)基于窗口的鄰域像元集構(gòu)建方式難以解決該問題，其原因在于：一是規(guī)則的矩形區(qū)域難以應對地表上多種地物分布形態(tài)，使該構(gòu)建方式難以準確獲得相似的像元；二是其構(gòu)建過程缺少對像元組分類型的判別，其鄰域像元集未達到線性方程解算要求。螺線作為一種非規(guī)則的幾何曲線，其形態(tài)更加貼近非規(guī)則的地表?；诼菥€柵格化形式的鄰域像元集構(gòu)建方法，在鄰域內(nèi)遍歷到足夠的相似像元時，可在異質(zhì)性不同的各地表區(qū)域構(gòu)建出空間鄰近、組分相似的鄰域像元集，即可組建非欠定的線性方程組。本質(zhì)上，螺線與窗口方式均是通過逼近混合像元的鄰域，來獲取其周圍像元組成鄰域像元集，其區(qū)別在于用來逼近鄰域地表的是面狀的窗口還是線狀的螺線。螺線以一種細粒度的方式對分布于鄰域地表的像元進行由內(nèi)而外，并顧及四周的順序遍歷方式，這是面狀的窗口所不具備的。鄰域像元多是以非規(guī)則的分布方式位于混合像元周圍，因此，細粒度的螺線較粗粒度的規(guī)則窗口在擬合鄰域地表方面更加靈活。通過結(jié)合對遍歷的各像元進行取舍，構(gòu)建的鄰域像元集可極大地避免欠定問題，進而提高分解精度。

在北京區(qū)域GlobeLand 30地表覆蓋數(shù)據(jù)上的試驗表明，相較于傳統(tǒng)窗口構(gòu)建方法，螺線型構(gòu)建方法將欠定像元比例減少了近兩個數(shù)量級，從構(gòu)建鄰域像元集合方面可將總體理論精度提高2%；基于該方法的混合像元分解結(jié)果精度提高近一個數(shù)量級；其構(gòu)建鄰域像元集及進而分解所需時間約為原窗口構(gòu)建方法的2倍。在本次試驗中，所用螺線并未以不同旋轉(zhuǎn)方向逼近實際的地表分類圖，但應注意到，其在鄰域上的旋轉(zhuǎn)方式可能對構(gòu)建及分解結(jié)果產(chǎn)生影響。同時，螺線型構(gòu)建方法的作用主要是逼近地物在地表分布形式，當?shù)乇韮煞N以上的地類僅存在于極少稀疏分布的混合像元中時，該方法仍難以成功構(gòu)建鄰域像元集；在其他地表覆蓋數(shù)據(jù)產(chǎn)品和幾何光學、概率等其他光譜混合模型中的應用效果還不明確，這些問題仍需深入研究。

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A Spiral-based Construction of Adjacent Pixel Sets for Linear Spectral Unmixing

LIU Boyu1,2，CHEN Jun2，XING Huaqiao2,3，WU Hao2，ZHANG Jun2

1.College of Geo-exploration Science and Technology，Jilin University，Changchun 130026，China; 2.National Geomatics Center of China，Beijing 100830，China; 3.Geoscience and Surveying Engineering College，China University of Mining and Technology (Beijing)，Beijing 100083，China

The problem of spectral mixing in fragmented landscape prevents the potentiality of high temporal resolution image from land surface detail dynamic monitoring.The general way is unmixing the spectrum to components based on linear spectral mixing model，with the aid of neighborhood pixels and the least squares method.However，constructing the neighborhood pixel set by a window leads to the underdetermined problem in some areas.This paper analyses the cause of the problem，and introduces spiral to construct optimal neighborhood pixel set as a solution.Experiment on GlobeLand 30 shows that the spiral method has a good applicability for each land surface type.Compared with the traditional method，the overall accuracy can be enhanced by 2%，the accuracy of unmixed results can be improved by nearly one order of magnitude.

linear spectral unmixing; mixed pixel; adjacent pixel; spiral; window

The State Key Program of National Natural Science Foundation of China (No.41231172)

LIU Boyu(1987—)，male，PhD candidate，majors in spatio-temporal data fusion and land cover mapping.

劉博宇，陳軍，邢華橋，等.面向線性光譜混合分解的鄰域像元集螺線型構(gòu)建方法[J].測繪學報，2017,46(11)：1841-1849.

10.11947/j.AGCS.2017.20170109.

LIU Boyu，CHEN Jun，XING Huaqiao，et al.A Spiral-based Construction of Adjacent Pixel Sets for Linear Spectral Unmixing[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(11):1841-1849.DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20170109.

P237

A

1001-1595(2017)11-1841-09

國家自然科學基金重點項目(41231172)

(責任編輯：叢樹平)

2017-03-09

修回日期：2017-07-12

劉博宇(1987—)，男，博士生，研究方向為遙感時空數(shù)據(jù)融合與地表覆蓋制圖。

E-mail：liuby10@mails.jlu.edu.cn