一類n維橢球體上的n重積分及估計(jì)

孫 燕,楊海濤

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043)

一類n維橢球體上的n重積分及估計(jì)

孫 燕,楊海濤

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043)

n維橢球體;n重積分；重積分不等式

1 主要結(jié)論

(1)

證明n維球坐標(biāo)變換[6]:

x1=rcosφ1,
x2=rsinφ1cosφ2,
……
xn-1=rsinφ1sinφ2…sinφn-2cosφn-1,
xn=rsinφ1sinφ2…sinφn-2sinφn-1

(2)

其中：0≤r≤1,0≤φ1,φ2,…,φn-2≤π,0≤φn-1≤2π.

那么n維球坐標(biāo)變換所對(duì)應(yīng)的Jacobi行列式為

J=rn-1sinn-2φ1sinn-3φ2…sin2φn-3sinφn-2.

(3)

(4)

(5)

則：

定理2 設(shè)a=(a1,a2,…,an)，b=(b1,b2,…,bn),bigt;0,i=1,2,…,n,a,b∈Rn，n維橢球體Ω.

(6)

所以：

(7)

由定理2，a1=a2=…=an=0,b1=b2=…=bn=R，代入式(6)可得式(7).

(8)

證明廣義橢球坐標(biāo)變換：

x1=b1rcosφ1+a1,
x2=b2rsinφ1cosφ2+a2,
……
xn-1=bn-1rsinφ1sinφ2…sinφn-2cosφn-1+an-1,
xn=bnrsinφ1sinφ2…sinφn-2sinφn-1+an

(9)

Ω變換為∑={(r,φ1,φ2,…,φn-2，φn-1)|0≤r≤1,0≤φ1,φ2,…,φn-2≤π,0≤φn-1≤2π},

有

(10)

2 應(yīng)用

由定理3n=3,ai=0,i=1,2,3,b1=a,b2=b,b3=c代入式(8)，

例3 估計(jì)五重積分的值

由定理3n=5,ai=bi=i,i=1,2,3,4,5代入式(8)，

0.389 946π2lt;I2lt;0.390 028π2

本文結(jié)果可用于計(jì)算均勻n維橢球體、n維球體的質(zhì)量、體積、靜矩、慣矩及離心力等.

[1] SUN YAN,YANG HAITAO,QI FENG.Some inequalities for multiple integrals on then-Dimensional ellipsoid,spherical shell,and ball[J]. Abstract and Applied Analysis,Volume 2013,Article ID 904721,7 pages.

[2] 孫燕，關(guān)于維球體上的一個(gè)重積分不等式[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，27(4),394-396.

[3] FENG Q I,Inequalities for a multiple integral[J].Acta Math Hungar，1999，84(1/2)：19-26.

[4] 匡繼昌.常用不等式[M].4版.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2010.

[5] 孫燕，楊海濤．幾個(gè)重積分不等式的證明[J]，內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)，2012,18(2)：9-10.

[6] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上下冊(cè))[M].3版.北京：高等教育出版社，2001：264

[7] 葉其孝，沈永歡．實(shí)用數(shù)學(xué)手冊(cè)[M].2版.北京：科學(xué)出版社，2006．

責(zé)任編輯：時(shí)凌

AClassofn-MultipleIntegralonthen-DimensionalEllipsoidandItsEstimation

SUN Yan,YANG Haitao

(College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao 028043,China)

n-dimensional ellipsoid;n-multiple integrals;multiple integrals inequality

2017-04-19.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11561052).

孫燕(1964-)，女，副教授，主要從事分析理論及不等式的研究.

1008-8423(2017)04-0409-04DOI:10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.12.012

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