具有無窮平衡點(diǎn)的新混沌系統(tǒng)動力學(xué)分析與振動控制

孫常春， 陳仲堂， 侯祥林

(1． 沈陽建筑大學(xué) 理學(xué)院， 沈陽 110168； 2． 沈陽建筑大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 沈陽 110168)

具有無窮平衡點(diǎn)的新混沌系統(tǒng)動力學(xué)分析與振動控制

孫常春1， 陳仲堂1， 侯祥林2

(1． 沈陽建筑大學(xué) 理學(xué)院， 沈陽 110168； 2． 沈陽建筑大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 沈陽 110168)

提出了一個新的三維混沌系統(tǒng)，對它奇特的動力學(xué)行為展開了理論分析和數(shù)值仿真。此系統(tǒng)具有無窮多個平衡點(diǎn)，全部位于一個平面的雙曲線上。在狀態(tài)和參數(shù)的組合變換下，系統(tǒng)能生成對稱的隱藏吸引子。在雙參數(shù)的對稱變換下，混沌具有不變性。同時，系統(tǒng)軌道出現(xiàn)了大幅度的躍遷現(xiàn)象。最后，設(shè)計(jì)出單參數(shù)調(diào)節(jié)的線性狀態(tài)反饋控制器，在有限時間內(nèi)消除混沌。

新混沌系統(tǒng)； 無窮平衡點(diǎn)； 隱藏吸引子； 動力學(xué)分析； 振動控制

在自然界中，存在無數(shù)的混沌現(xiàn)象。隨著科學(xué)研究的不斷進(jìn)展，大量連續(xù)的新混沌系統(tǒng)逐漸被發(fā)現(xiàn)和認(rèn)知[1-6]。然而，絕大部分的科學(xué)研究主要集中在探索和發(fā)現(xiàn)三維二次多項(xiàng)式混沌系統(tǒng)，這類系統(tǒng)的主要特點(diǎn)是微分方程結(jié)構(gòu)相對簡單，易于動力學(xué)分析。除了這類典型的混沌系統(tǒng)外，自然界中還存在著許多其它類型的新混沌系統(tǒng)，目前，關(guān)于三維二次多項(xiàng)式以外、而且具有隱藏吸引子的新混沌系統(tǒng)的研究，并不多見。同時，近五年，關(guān)于隱藏吸引子的問題已成為混沌研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)[7-8]。

由于非線性振動[9]在實(shí)際工程中的廣泛存在[10]，僅研究三維二次多項(xiàng)式混沌系統(tǒng)，必將無法揭示和發(fā)現(xiàn)混沌振動的某些特殊動力學(xué)行為。因此，研究具有特殊性質(zhì)或動力學(xué)行為的其它類型新混沌系統(tǒng)，對自然科學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展和實(shí)際工程問題的解決，均具有重大的理論意義和科學(xué)價值。文獻(xiàn)[11]特別明確指出：針對混沌動力學(xué)的研究，是目前非線性動力學(xué)領(lǐng)域的前沿課題。

同時，由于隱藏吸引子的存在，導(dǎo)致突發(fā)的大幅度混沌振動，將可能帶來災(zāi)難性的后果。例如：由突發(fā)的混沌振動引起的機(jī)械轉(zhuǎn)子的失效等。因此，研究具有突發(fā)的大幅度振動行為的新混沌系統(tǒng)，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和應(yīng)用價值。當(dāng)混沌振動有害時，如何快速消除混沌，保持系統(tǒng)穩(wěn)定是混沌控制領(lǐng)域研究的重點(diǎn)。迄今為止，針對混沌控制問題，已經(jīng)取得了一些重要的研究成果[12-15]。

本文提出了一個具有隱藏吸引子的新混沌系統(tǒng)，它不屬于三維二次多項(xiàng)式混沌系統(tǒng)。此新系統(tǒng)具有無窮多個平衡點(diǎn)，而且所有的平衡點(diǎn)均落在一個平面的雙曲線上。在系統(tǒng)的狀態(tài)和參數(shù)的組合變換下，系統(tǒng)能生成兩個對稱的隱藏吸引子。在系統(tǒng)的雙參數(shù)對稱變換下，混沌吸引子完全相同，即：混沌具有不變性。同時，借助計(jì)算機(jī)的數(shù)值仿真，觀測到了系統(tǒng)軌道的突然大幅度躍遷現(xiàn)象，突發(fā)的大幅度混沌振動隨之出現(xiàn)。

本文所研究的這類具有隱藏吸引子的混沌振動中，振幅的突然劇烈增加，將可能對大型工程機(jī)械產(chǎn)生巨大的破壞力，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)突發(fā)故障。因此，針對此類混沌振動系統(tǒng)的研究，將有助于預(yù)防不明原因引起的機(jī)械振動故障和有效保護(hù)大型機(jī)械系統(tǒng)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)，進(jìn)而減少經(jīng)濟(jì)損失。

最后，本文給出了這類混沌振動的有效控制方法。在不改變系統(tǒng)平衡點(diǎn)數(shù)量(無窮多個)和空間位置的情況下，設(shè)計(jì)出具有單參數(shù)調(diào)節(jié)功能的線性狀態(tài)反饋控制器，每次通過調(diào)節(jié)控制參數(shù)，來分別控制系統(tǒng)的狀態(tài)到達(dá)不同的平衡點(diǎn)，而且能通過對此單參數(shù)的調(diào)節(jié)，來調(diào)控系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，保證混沌振動在有限時間內(nèi)消除，即：實(shí)現(xiàn)了具有隱藏吸引子的新混沌系統(tǒng)的調(diào)節(jié)控制。本文提出的控制方法，將有助于解決由隱藏吸引子帶來的突發(fā)混沌振動問題，進(jìn)而有效保護(hù)大型機(jī)械工程的運(yùn)轉(zhuǎn)，從而為解決類似工程振動問題，提供了良好的借鑒和啟示。

1 新混沌系統(tǒng)的微分方程描述

首先，提出一個新的三維混沌系統(tǒng)，由下列微分方程描述：

(1)

式中：x，y，z是系統(tǒng)的狀態(tài)變量；a，b，c和d是系統(tǒng)的四個參數(shù)；a，b，c均是非零的實(shí)數(shù)，即：abc≠0；d>0是正的實(shí)數(shù)。

當(dāng)參數(shù)a=8，b=3，c=8，d=20，初始狀態(tài)(x0,y0,z0)=(-1,3,-1)，仿真時間t1=100 s時，系統(tǒng)(1)能生成一個特殊的新混沌吸引子。此吸引子在各個坐標(biāo)面上的投影如圖1所示，系統(tǒng)狀態(tài)的混沌時間序列，如圖2所示。

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

2 新混沌系統(tǒng)的動力學(xué)分析

為了進(jìn)一步研究新混沌系統(tǒng)式(1)所具有的特殊性質(zhì)和奇特的動力學(xué)行為，對系統(tǒng)式(1)進(jìn)行了相應(yīng)的理論分析，并借助計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真，來深刻揭示它與已發(fā)現(xiàn)的全部混沌系統(tǒng)的不同之處。

2.1系統(tǒng)的平衡點(diǎn)

(2)

由于abc≠0，進(jìn)一步有方程組成立：

(3)

式中：k∈Z,Z是由全體整數(shù)構(gòu)成的集合。

令

x-y=q

(4)

其中：q=kπ/c。

將方程組式(3)和方程式(4)進(jìn)行聯(lián)立，得到下面一元二次方程：

y2+qy-d=0

(5)

由于d>0，故

Δ=q2+4d>0

(6)

先后解出變量y和x：

(7)

(8)

得到系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)如下：

由于q=kπ/c和k∈Z，故系統(tǒng)式(1)具有無窮多個平衡點(diǎn)。而且，全部平衡點(diǎn)均落在平面z=0上的雙曲線xy=d上。

2.2對稱共存的隱藏吸引子

由于系統(tǒng)式(1)具有無窮多個平衡點(diǎn)，故系統(tǒng)式(1)生成的吸引子是隱藏吸引子。

在系統(tǒng)的狀態(tài)和參數(shù)的兩種組合變換

T1：(x,y,z,a,b,c,d)→(-x,-y,z,-a,b,c,d)

T2：(x,y,z,a,b,c,d)→(-x,-y,z,-a,-b,-c,d)

下，系統(tǒng)式(1)均存在自然的對稱性。

上述組合變換進(jìn)一步表明：如果系統(tǒng)式(1)在一組參數(shù)a，b，c，d和初始狀態(tài)(x0,y0,z0)下是混沌的，那么系統(tǒng)式(1)在一組參數(shù)-a，b，c，d(或-a，-b，-c，d)和初始狀態(tài)(-x0,-y0,z0)下也是混沌的。

同時表明：對稱的隱藏吸引子是共同存在的，即：

1) 共存的隱藏吸引子在平面z=0上的投影關(guān)于原點(diǎn)對稱；

2) 共存的隱藏吸引子在平面y=0上的投影關(guān)于z軸對稱；

3) 共存的隱藏吸引子在平面x=0上的投影關(guān)于z軸對稱。

參數(shù)a=8，b=3，c=8，d=20和初始狀態(tài)(x0,y0,z0)=(-1,3,-1)時，系統(tǒng)式(1)能生成隱藏吸引子(圖3中右側(cè)吸引子)。

當(dāng)參數(shù)a=-8，b=3，c=8，d=20(或a=-8，b=-3，c=-8，d=20)和初始狀態(tài)(x0,y0,z0)=(1,-3,-1)時，系統(tǒng)(1)也能生成隱藏吸引子(圖3中左側(cè)吸引子)。

顯然，右側(cè)和左側(cè)吸引子是對稱共存的。

(a)

(b)

(c)

2.3雙參數(shù)對稱的混沌不變性

由于系統(tǒng)式(1)的第二個方程中的右邊bsin[c(x-y)]=-bsin[-c(x-y)]，故在參數(shù)變換

T3：(a,b,c,d)→(a,-b,-c,d)

下，系統(tǒng)式(1)的微分方程不變，故生成的混沌具有不變性。其中：b和c是對稱的雙參數(shù)。

上述參數(shù)變換進(jìn)一步表明：如果系統(tǒng)式(1)在一組參數(shù)a，b，c，d和初始狀態(tài)(x0,y0,z0)下是混沌的，那么系統(tǒng)式(1)在一組參數(shù)a，-b，-c，d和初始狀態(tài)(x0,y0,z0)下也是混沌的，而且生成完全相同的混沌吸引子。

2.4系統(tǒng)軌道的突然大幅度躍遷

當(dāng)參數(shù)a=8，b=3，c=8，d=20，初始狀態(tài)(x0,y0,z0)=(-1,3,-1)和仿真時間t1=100 s時，由圖2所示，很容易估計(jì)出系統(tǒng)狀態(tài)x和z的混沌時間序列的范圍：

x∈(-10,25)，z∈(-10,10)

當(dāng)取相同的參數(shù)和初始狀態(tài)時，進(jìn)一步延長仿真時間，增加至t2=500 s。系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)行軌道突然出現(xiàn)了大幅度的躍遷現(xiàn)象(如圖4所示)，相應(yīng)的混沌時間序列如圖5所示。

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

在系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)行軌道突然出現(xiàn)大幅度躍遷的同時，通過對圖5的觀測分析，在時間t接近400 s時，系統(tǒng)狀態(tài)x和z的振動幅度也相應(yīng)的突然劇烈增加，相應(yīng)的混沌時間序列范圍變?yōu)椋?/p>

x∈(-200,250)，z∈(-80,80)

由于這類大幅度混沌振動的突然出現(xiàn)，可能導(dǎo)致實(shí)際工程系統(tǒng)瞬間失穩(wěn)，那么如何對這類系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有效地快速控制，下面將采用單參數(shù)調(diào)控方法，來消除大幅度的混沌振動。

3 新混沌系統(tǒng)的單參數(shù)振動控制

在不改變系統(tǒng)平衡點(diǎn)的數(shù)量和空間位置的條件下，來實(shí)現(xiàn)對混沌系統(tǒng)的控制。在系統(tǒng)式(1)的第三個方程引入線性狀態(tài)反饋u=mz，得到受控的混沌系統(tǒng)如下：

(9)

(a)

(b)

(c)

通過調(diào)節(jié)控制參數(shù)m，分別控制系統(tǒng)到不同的平衡點(diǎn)E(x*,y*,0)，其中：x*y*=d。

當(dāng)參數(shù)a=8，b=3，c=8，d=20，初始狀態(tài)(x0,y0,z0)=(-1,3,-1)，系統(tǒng)式(1)處于混沌狀態(tài)(如圖1所示)。取參數(shù)m=-1，仿真時間t3=800 s時，受控的混沌系統(tǒng)(9)在經(jīng)歷暫態(tài)混沌(持續(xù)時間大約500 s)之后到達(dá)一個平衡點(diǎn)E1(x1,y1,0)(如圖6所示)，其中：x1y1=d=20。

當(dāng)參數(shù)m≤-1時，每次選取不同的參數(shù)值m，系統(tǒng)狀態(tài)將分別被控制到不同的平衡點(diǎn)E(x*,y*,0)，均滿足x*y*=d。而且，參數(shù)值m取值越小，系統(tǒng)收斂到平衡點(diǎn)E(x*,y*,0)的速度越快，即：可以實(shí)現(xiàn)在有限時間內(nèi)對混沌的有效控制。

例如：當(dāng)參數(shù)m=-8時，受控的混沌系統(tǒng)式(9)不經(jīng)歷暫態(tài)混沌，將在很短的時間(大約3 s)內(nèi)收斂到另一個平衡點(diǎn)E2(x2,y2,0)(如圖7所示)，其中：x2y2=d=20。

4 結(jié) 論

本文提出了一個具有無窮多個平衡點(diǎn)和隱藏吸引子的新混沌系統(tǒng)，對其動力學(xué)行為展開了理論分析。系統(tǒng)的全部平衡點(diǎn)均落在一個平面的雙曲線上。在狀態(tài)和參數(shù)的組合變換下，對稱的隱藏吸引子是共存的。在雙參數(shù)對稱變換下，混沌具有不變性。狀態(tài)軌道出現(xiàn)了大幅度的躍遷，混沌振動的振幅也隨之劇烈增加。同時，在不改變系統(tǒng)平衡點(diǎn)數(shù)量和位置的情況下，設(shè)計(jì)出了具有單參數(shù)調(diào)節(jié)功能的線性狀態(tài)反饋控制器，在有限時間內(nèi)，保證系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)平衡點(diǎn)，進(jìn)而有效消除混沌振動。針對此類特殊系統(tǒng)的研究，對如何有效預(yù)防和解決實(shí)際工程中出現(xiàn)的突發(fā)大幅度混沌振動問題，在理論基礎(chǔ)和控制方法上，提供了良好的借鑒和啟示。

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Dynamicalanalysisandvibrationcontrolofanovelchaoticsystemwithinfiniteequilibria

SUNChangchun1,CHENZhongtang1,HOUXianglin2

(1. School of Science, Shenyang Jianzhu University, Shenyang 110168, China; 2. School of Mechanical Engineering, Shenyang Jianzhu University, Shenyang 110168, China)

A novel three-dimensional chaotic system was presented. Its strange dynamical behaviors were investigated by theoretical analysis and numerical simulations. The system has infinite equilibria locating on a hyperbola in a plane. Symmetric hidden attractors can be generated via a combinational transformation on states and parameters. The chaos is invariant under a double-parameter symmetric transformation. Simultaneously, a larger orbital transition phenomenon appears. Finally, a linear state feedback controller with an adjustable parameter was designed to eliminate the chaos within a finite time.

new chaotic system; infinite equilibria; hidden attractor; dynamical analysis; vibration control

TP273; O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.032

遼寧省自然科學(xué)基金(2015020129；2016010624)；遼寧省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(L2013229)；沈陽建筑大學(xué)學(xué)科培育項(xiàng)目(XKPY-2015-02)；沈陽建筑大學(xué)學(xué)科涵育項(xiàng)目(XKHY-78；XKHY2-103)；沈陽建筑大學(xué)科學(xué)研究項(xiàng)目(2017047)

2016-04-01 修改稿收到日期：2016-04-09

孫常春 男，博士，副教授，1979年生