譚 霞, 丁 虎, 陳立群,2

(1.上海大學 上海市應用數(shù)學和力學研究所, 上海 200072； 2.上海大學 理學院，上海 200444)

超臨界軸向運動Timoshenko梁橫向受迫振動

譚 霞1, 丁 虎1, 陳立群1,2

(1.上海大學 上海市應用數(shù)學和力學研究所, 上海 200072； 2.上海大學 理學院，上海 200444)

研究外部激勵作用下，超臨界軸向運動Timoshenko梁橫向非線性振動的穩(wěn)態(tài)響應。通過對非零平衡位形的坐標變換，從軸向運動Timoshenko梁的橫向振動控制方程推導得到超臨界速度下受橫向外部激勵的陀螺系統(tǒng)標準控制方程。運用Galerkin截斷法數(shù)值研究超臨界下軸向運動Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)周期幅頻響應關系，并通過與超臨界速度下軸向運動Euler-Bernoulli梁的穩(wěn)態(tài)幅頻響應曲線進行對比，研究Euler-Bernoulli梁理論的適用范圍。

超臨界；軸向運動梁；Timoshenko理論；受迫振動；Galerkin截斷法

工程實際及生活中隨處可見軸向運動梁結(jié)構，如機床傳動帶、觀光纜車、機械傳送帶、發(fā)動機等帶傳動系統(tǒng)，通常都可簡化為軸向運動梁模型。軸向運動梁作為最基本最典型的陀螺連續(xù)系統(tǒng)，其振動分析與控制有著重要的理論研究意義。一系列優(yōu)秀的綜述反映了軸向運動體系的研究意義和研究成果[1-4]。

國內(nèi)外學者對亞臨界速度下軸向運動體系已經(jīng)有了比較系統(tǒng)的研究。宮蘇梅等[5]對于平帶系統(tǒng)的相關非線性振動進行了實驗研究。呂海煒等[6]對軸向運動軟夾層梁橫向振動進行了分析研究。丁虎等[7-8]研究了軸向運動黏彈性梁的橫向非線性受迫振動，運用有限差分法研究了軸向運動梁非線性振動的固有頻率。Ghayesh等[9]研究了轉(zhuǎn)動慣量和溫度對軸向運動梁的非線性振動、穩(wěn)態(tài)響應和穩(wěn)定性的影響。隨著研究的深入和科技發(fā)展的要求，眾多學者越來越關注軸向運動系統(tǒng)高速運動狀態(tài)下的相關動力學特性。Huang等[10]研究分析了超臨界速度下軸向穩(wěn)定運動梁的穩(wěn)定性。Ding等[11]運用Galerkin截斷法研究得到了高速軸向運動梁的固有頻率。以上研究高速軸向運動體系的文獻都是運用的E-B(Euler-Bernoulli)梁理論，沒有考慮剪切力和轉(zhuǎn)動慣量的影響。相對而言，對于Timoshenko梁的研究很少，高速軸向運動的Timoshenko梁理論研究就更加少見了。Tang等[12-13]研究了亞臨界下強弱外載荷作用下軸向運動黏彈性Timoshenko梁的非線性振動，以及參數(shù)和外載荷作用下Timoshenko梁的非線性動力學特性。他們的研究發(fā)現(xiàn)，在一定參數(shù)條件下，E-B梁理論和Timoshenko梁會產(chǎn)生顯著差別。

本文運用Galerkin截斷法研究了超臨界軸向運動Timoshenko梁橫向受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應。并與超臨界速度下的E-B梁穩(wěn)態(tài)響應進行了對比，進一步研究兩種梁理論間的異同，確定E-B梁理論在超臨界運動范圍內(nèi)的適用范圍。

1 數(shù)學模型和控制方程

圖1為超臨界軸向運動Timoshenko梁的物理模型。其中ρ為質(zhì)量密度；A為橫截面面積；E為彈性模量；EI為梁的彎曲剛度；G為剪切模量；I為關于中性軸的截面慣性矩；軸向坐標X為離開左邊界的距離；V(X,T) 為橫向位移；T為是時間坐標；P0為梁的初始軸向張力。 此外，梁以固定速度Γ軸向運動，梁長為L。

圖1 軸向運動梁物理模型Fig.1 The physical model of an axially moving beam

根據(jù)廣義的哈密頓原理和Timoshenko梁理論，建立軸向運動梁的無量綱運動方程[14-15]

(1)

其中無量綱變量x,t和v(x,t)定義為

(2)

φ(x,t)為彎矩產(chǎn)生的Timoshenko梁軸線的轉(zhuǎn)角。變量前的逗號表示求偏導。無量綱參數(shù)定義為

(3)

式中：κ為形狀因子；無量綱參數(shù)k1，k2，kN，kf分別為剪切變形系數(shù)，轉(zhuǎn)動慣量系數(shù)，非線性系數(shù)和剛度系數(shù)；ks為軸向支撐剛度參數(shù)。

無量綱簡支邊界條件為

(4)

由于非平凡靜平衡位形與時間項無關，因此忽略時間項得到靜態(tài)控制方程和靜態(tài)簡支邊界條件

(5)

推導得到簡支邊界下超臨界下軸向運動Timoshenko梁的第一階非平凡靜平衡位形

(6)

(7)

2 Galerkin截斷

對方程式(1)進行坐標代換，且只考慮第一階正非平凡靜平衡位形，得到

(8)

其中，

(9)

為滿足兩端簡支邊界條件，取式(7)形式解[16]如下

(10)

(11)

在式(11)等號的左右兩邊分別乘以權函數(shù)sin(iπx)，cos(iπx)，i=1,2,…，N，并在區(qū)間[0,1]上積分，得到常微分方程組

(12)

3 穩(wěn)態(tài)響應

運用Galerkin截斷法數(shù)值研究了應用于工程實際中的V型傳動帶。

表1 V帶的物理參數(shù)

V帶上底寬為 0.022 m，高為0.018 m，楔角為40°。形狀因子為6/5。外阻尼Cs=0.1。相應的無量綱參kf=0.885 6,kN=26.366 3,k1=281.831 4,k2=0.001 1。計算得到簡支邊界下超臨界軸向運動Timoshenko梁的無量綱臨界速度γ=3，相應的物理速度Γ=46.45 m/s。

考慮N=4時的Galerkin截斷，γ=4，激勵幅值b=0.000 2，運用四階龍格-庫塔法計算激勵頻率接近系統(tǒng)第一階固有頻率時，式(12)的響應。仿真中，時間步長取0.01 s，初始條件取為0。在計算所得的前500 s的時間歷程中，取最后5 s計算Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)幅頻響應[17]。

如圖2所示為超臨界軸向運動Timoshenko梁橫向受迫振動前500 s的時間歷程。

圖2 橫向受迫振動時域響應(ω=9.25)Fig.2 Time-domain response of lateral forced vibration

考慮四階Galerkin截斷計算梁中點的穩(wěn)態(tài)振幅，研究第一階主諧波共振時的穩(wěn)態(tài)響應。圖3～圖5分別給出了剪切變形系數(shù)、轉(zhuǎn)動慣量系數(shù)和外阻尼對第一階主諧波共振時穩(wěn)態(tài)幅頻特性曲線的影響。圖3表明共振幅度隨剪切變形系數(shù)的增大而增大，幅頻特性曲線向左偏，呈現(xiàn)軟特性，且隨著剪切系數(shù)的增大，軟特性增強。圖4表明共振幅度隨剪切變形系數(shù)的增大而減小，軟特性減弱。圖5表明共振幅度隨外阻尼的增大而減小，軟特性減弱。

4 與Euler-Bernoulli梁理論對比

超臨界軸向運動Euler-Bernoulli梁橫向受迫振動控制方程

(13)

圖3 剪切變形系數(shù)對穩(wěn)態(tài)幅頻特性曲線的影響Fig.3 Effects of shear deformation coefficient of amplitude frequency response

圖4 轉(zhuǎn)動慣量系數(shù)對穩(wěn)態(tài)幅頻特性曲線的影響Fig.4 Effects of rotary inertia coefficient of amplitude frequency response

圖5 外部阻尼對穩(wěn)態(tài)幅頻特性曲線的影響Fig.5 Effects of external damping of amplitude frequency response

簡支邊界下E-B梁第一階非平凡靜平衡位形

(14)

對式(12)進行坐標代換，且只考慮E-B梁的第一階正非平凡靜平衡位形，得到

(15)

(16)

為滿足兩端簡支邊界條件，取式(17)為式(14)的形式解

(17)

將式(16)代入式(14)后，在方程兩邊同乘以權函數(shù)sin(iπx)，i=1,2,…，N，并在區(qū)間[0,1]上積分，得到常微分方程組

(18)

圖6和圖7分別給出了不同梁模型下梁長和梁橫截面高度對穩(wěn)態(tài)響應幅頻特性曲線的影響。

圖6 梁橫截面高度對穩(wěn)態(tài)幅頻特性曲線的影響Fig.6 Effects of beam cross section height of amplitude frequency response

圖7 梁長對穩(wěn)態(tài)幅頻特性曲線的影響Fig.7 Effects of beam length of amplitude frequency response

圖6中考慮了兩種梁模型橫截面高分別為0.01 m和0.018 m時的穩(wěn)態(tài)響應幅頻特性曲線，從圖6可知，兩種梁模型的共振頻率差別較大，共振幅度也有較大差別。圖7考慮了兩種梁模型梁長分別為0.15 m和0.3 m時的穩(wěn)態(tài)響應幅頻特性曲線，同樣，兩種梁模型的共振頻率差別較大，共振幅度也有較大差別。從圖6和圖7可知，當L與h0的比值變大時,兩種梁模型之間的差別變小。

5 結(jié) 論

本文運用Galerkin截斷法數(shù)值研究了有外阻尼的超臨界軸向運動Timoshenko梁的橫向受迫振動，得到了Timoshenko梁穩(wěn)態(tài)周期幅頻特性曲線，并考慮了相關參數(shù)對其的影響。

同時對比了Timoshenko和Euler-Bernoulli這兩種梁模型在超臨界軸向速度下的穩(wěn)態(tài)幅頻特性曲線，發(fā)現(xiàn)兩種梁模型的幅頻特性曲線存在較大差別，當梁的截面高度變大時，兩種梁模型的穩(wěn)態(tài)幅頻特性曲線差別變大，當梁長變大時，兩種梁模型的穩(wěn)態(tài)幅頻特性曲線差別變小。

[ 1 ] WICKET J A, MOTE C D. Classical vibration analysis of axially moving continua [J]. ASME Journal of Applied Mechanics, 1990, 57 (3)： 738-744.

[ 2 ] ZHU W D. Vibration and stability of time-dependent of translating media [J]. Shock and Vibration Digest, 2000, 32 (5): 369-379.

[ 3 ] CHEN L Q. Analysis and control of transverse vibration of axially moving strings [J]. ASME Applied Mechanics Reviews, 2005, 58 (2): 91-116.

[ 4 ] MARYNOWSKI K, KAPITANIAK T. Dynamics of axially moving continua [J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2014,81(4): 26-41.

[ 5 ] 宮蘇梅, 張偉. 平帶系統(tǒng)非線性振動實驗研究[J]. 動力學與控制學報, 2014, 12(4): 368-372.

GONG Sumei, ZHANG Wei. Experimental study on nonlinear vibration of flat-belt system[J]. Journal of Dynamics and Control, 2014, 12(4): 368-372.

[ 6 ] 呂海煒, 李映輝, 李亮, 等. 軸向運動軟夾層梁橫向振動分析[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(2): 41-51.

Lü Haiwei, LI Yinghui, LI Liang, et al. Analysis of transverse vibration of axially moving soft sandwich beam[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(2): 41-51.

[ 7 ] 丁虎, 陳立群. 軸向運動黏彈性梁橫向非線性受迫振動[J]. 振動與沖擊, 2009, 28(12): 128-131.

DING Hu, CHEN Liqun. Transverse non-linear forced vibration of axially moving viscoelastic beam[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(12): 128-131.

[ 8 ] DING H, CHEN L Q. Natural frequencies of nonlinear vibration of axially moving beams[J]. Nonlinear Dynamics, 2011, 63(1/2): 125-134.

[ 9 ] GHAYESH M H, KHADEM S E. Rotary inertia and temperature effects on non-linear vibration, steady-state response and stability of an axially moving beam with time-dependent velocity [J]. International Journal of Mechanical Science, 2008, 50 (3): 389-404.

[10] HUANG S J, PERKINS N C. Supercritical stability of an axially moving beam. Part Ⅱ: vibration and stability analyses [J]. Journal of Sound and Vibration, 1992, 154 (3): 397-409.

[11] DING H, CHEN L Q. Galerkin methods for natural frequencies of high-speed axially moving beams [J]. Journal of Sound and Vibration, 2001, 329 (17): 3484-3494.

[12] TANG Y Q, CHEN L Q, YANG X D. Non-linear vibrations of axially moving Timoshenko beams under weak and strong external excitations [J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 320 (4/5): 1078-1099.

[13] YAN Qiaoyun, DING Hu, CHEN Liqun. Nonlinear dynamics of an axially moving viscoelastic Timoshenko beam under parametric and external excitations[J].Applied Mathematics and Mechanics (English Edition), 2015, 36(8): 971-984.

[14] DING H, JEAN W Z. Effect of one-way clutch on the nonlinear vibration of belt-drive systems with a continuous belt model[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332(24): 6472-6487.

[15] YAN Q Y, DING H, CHEN L Q. Periodic responses and chaos behaviors of an axially accelerating viscoelastic Timoshenko beam[J]. Non-linear Dynamics, 2014, 78(2):1577-1591.

[16] CHEN S H, HUANG J L, SZE K Y. Multidimensional Lindstedt-Poincaré method for nonlinear vibration of axially moving beams[J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 306(1/2): 1-11.

[17] 李大鵬, 儲德林, 丁虎. 輪-帶驅(qū)動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)周期響應諧波平衡分析[J]. 動力學與控制學報, 2015, 13(6): 423-429.

LI Dapeng, CHU Delin, DING Hu. The frequency-response curve of a belt-drive system by using the harmonic balance method[J]. Journal of Dynamics and Control, 2015, 13(6): 423-429.

TransverseforcedvibrationofanaxiallymovingTimoshenkobeamatasupercriticalspeed

TAN Xia1, DING Hu1, CHEN Liqun1,2

(1. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200072, China;2．College of Sciences, Shanghai University, Shanghai 200444, China)

In this paper, the transverse nonlinear forced vibration of an axially moving Timoshenko beam at a supercritical speed was studied under external excitation. In the supercritical region, the standard control equation of the gyro system, under the lateral external incentives, was derived based on the governing equation of transverse nonlinear vibration of the axially moving Timoshenko beam. Moreover, the steady-state amplitude frequency response relationship of the axially moving Timoshenko beam at a supercritical speed was investigated by using the Galerkin method. Furthermore, the effects of system parameters on the steady-state amplitude frequency response relationship of the Timoshenko beam were considered. Comparisons with Euler-Bernoulli (E-B) beam reveal that the resonance frequency of the Timoshenko beam is much lower and the resonance amplitude is higher in the supercritical region.

supercritical; axially moving beam; Timoshenko theory; forced vibration; Galerkin method

國家自然科學基金重點項目(11232009); 國家自然科學基金項目(11372171; 11422214)

2016-06-02 修改稿收到日期： 2016-09-28

譚霞 女，碩士生，1992年生

丁虎 男，博士，教授，博士生導師，1978年生

E-mail: dinghu3@shu.edu.cn

O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.22.001