擬復(fù)射影空間CQ n中2—調(diào)和偽臍子流形

劉金夢(mèng)+耿杰+宋衛(wèi)東

摘 要 本文用活動(dòng)標(biāo)架法研究了擬復(fù)射影空間CQn中2-調(diào)和偽臍子流形，獲得了這類子流形的一個(gè)積分不等式及推論，并得到了2-調(diào)和偽臍子流形是極小子流形的條件.

關(guān)鍵詞 擬復(fù)射影空間；2-調(diào)和子流形；偽臍子流形

中圖分類號(hào) O18612 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 1000-2537（2017）05-0080-04

The Pseudo-Umbilical Submanifolds with 2-Harmonic in a Quasi-Complex Projective Space

LIU Jin-meng1， GENG Jie2， SONG Wei-dong1*

（1.College of Mathematics and Computer Science， Anhui Normal University， Wuhu 241000， China；

2.Anhui Institute of Information Technology， Wuhu 241000， China）

Abstract In this paper， we study pseudo-umbilical submanifolds with 2-Harmonic in a quasi-complex projective space by method of moving frames. We get an integral inequality and ratioccination.Moreover，we also obtian the condition that pseudo-umbilical submanifolds with 2-Harmonic is minimum submanifolds.

Key words quasi-complex projective space； 2-Harmonic submanifolds； pseudo-umbilical submanifolds

設(shè)CQn是具有Kaehler度量的復(fù)n（n≥2）維黎曼復(fù)流形，若其曲率張量取為如下形式：

則稱CQn為擬復(fù)射影空間[1].其中：g為CQn上的黎曼度量，J為CQn的復(fù)結(jié)構(gòu)，a，b是CQn上的光滑函數(shù)，{λA}是CQn上的單位向量函數(shù)，稱λA為CQn的生成元.

顯然，當(dāng)a=c/4，b=0時(shí)，擬復(fù)射影空間CQn是具有全純截面曲率為c的復(fù)射影空間CPn.

按照Eells和Lemeine在文獻(xiàn)[2]中的設(shè)想，姜國(guó)英在文獻(xiàn)[3-4]中給出了黎曼流形間2-調(diào)和映射的充要條件.由此條件，文獻(xiàn)[5-7]主要研究了復(fù)空間形式的2-調(diào)和子流形.近年來(lái)不少學(xué)者開始研究擬復(fù)射影空間2-調(diào)和子流形的相關(guān)問題，得到了一些研究成果[8-9].

本文將繼續(xù)討論擬復(fù)射影空間的2-調(diào)和偽臍子流形，得到以下結(jié)果：

定理1 設(shè)Mn是擬復(fù)射影空間CQn的緊致無(wú)邊2-調(diào)和偽臍子流形，則有

其中Rijkl，Rαβij分別是Mn的曲率張量場(chǎng)R和法曲率張量場(chǎng)關(guān)于{eA}的分量.進(jìn)一步，Mn的平均曲率向量場(chǎng)ξ，平均曲率H，第二基本形式模長(zhǎng)平方S可分別表示為

參考文獻(xiàn)：

[1] 宋衛(wèi)東，朱 巖.擬復(fù)射影空間CQn+p中的全實(shí)偽臍子流形[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版）， 2012，50（4）：673-676.

[2] EELLS J， LEMARE L. A report on harmonic maps[J].Bull London Math Soc， 1978，10：1-68.

[3] 姜國(guó)英.Rieman流形間的2-調(diào)和映射及其第一，第二變分公式[J].數(shù)學(xué)年刊， 1986，7（A）：389-402.

[4] 姜國(guó)英.Rieman流形間的2-調(diào)和映射等距浸入[J].數(shù)學(xué)年刊， 1986，7（A）：130-144.

[5] ZHU Y C， SONG W D. 2-Harmonic sunmanifolds in a Comples Space Form[J].J Math Res Expo， 2008，28（3）：727-732.

[6] 胡亞舉，王麗娟，宋衛(wèi)東.復(fù)射影空間的2-調(diào)和全實(shí)力流形[J].大學(xué)學(xué)報(bào)， 2009，24（1）：88-91.

[7] 范勝雪，宋衛(wèi)東.復(fù)射影空間CPn+p2中具有2-調(diào)和的一般子流形[J].數(shù)學(xué)雜志， 2015，35（2）：375-380.

[8] 馬金生，宋衛(wèi)東.擬復(fù)射影空間CQn+p中的全實(shí)2-調(diào)和子流形[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2014，13（5）：529-532.

[9] 吳 丹，宋衛(wèi)東.擬復(fù)射影空間CQn+p中的全實(shí)偽臍2-調(diào)和子流形[J].寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2014，35（2）：117-119.

[10] 朱 巖，宋衛(wèi)東.擬復(fù)射影空間CQn+p中的全實(shí)極小子流形[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版）， 2013，51（5）：855-859.

[11] 李海中.關(guān)于偽臍子流形的一個(gè)整體定理[J].數(shù)學(xué)雜志，1988，8（2）：161-165.endprint