由拋物線上的點(diǎn)生成的幾何問題

張彩云

由拋物線上的點(diǎn)生成的幾何問題

張彩云

二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要地位，分析各地中考試卷，我們可以發(fā)現(xiàn)不少以二次函數(shù)知識(shí)為背景的壓軸題.因其可以涵蓋初中數(shù)學(xué)的許多知識(shí)點(diǎn)，具有較強(qiáng)的綜合性，所以廣受各地中考命題人員的青睞.掌握二次函數(shù)綜合性問題，要求我們做習(xí)題后，要注重對(duì)同類型的問題進(jìn)行一般性的總結(jié)，得出實(shí)用的規(guī)律，幫助我們簡(jiǎn)化解題，有些難點(diǎn)就能較快突破.下面就一類由二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)生成的問題來探求其中的方法與規(guī)律.

一、問題生成類型

問題：拋物線y=-x2-2x+3的圖像交x軸于A、C，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，作拋物線的對(duì)稱軸，連接BC.你能求出圖1中A，B，C，D各點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？根據(jù)以上信息，能設(shè)計(jì)怎樣的問題來考呢？

圖1

【評(píng)析】拋物線上的點(diǎn)形成的幾何圖形通常會(huì)從以下幾個(gè)方面設(shè)計(jì)考點(diǎn)：線段長(zhǎng)度，線段最值問題，線段位置關(guān)系，與圖形面積有關(guān)的最值問題，三角形的形狀，形成三角形相似，特殊角等.

二、問題應(yīng)用舉例

生成問題1：拋物線y=-x2-2x+3在x軸上取一動(dòng)點(diǎn)P（m，0），-3＜m＜-1過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交拋物線、CD、CB于點(diǎn)Q、F、E，根據(jù)以上條件，用m來表示圖2中點(diǎn)Q、F、E的坐標(biāo)，線段QF、EQ、FE的長(zhǎng)度.

圖2

【解析】本題分別求出過C、D與過C、B兩點(diǎn)的兩直線解析式：yCD=2x+6、yBC=x+3，把x=m分別代入各個(gè)解析式可得各點(diǎn)坐標(biāo)：Q（m，-m2-2m+3），F(xiàn)（m，2m+6），E（m，m+3），各線段長(zhǎng)可表示為：

【評(píng)析】坐標(biāo)系中垂直于x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)基本性質(zhì)：直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，直線上兩點(diǎn)間距離等于縱坐標(biāo)之差.

生成問題2：在運(yùn)動(dòng)過程中，是否會(huì)存在QF=EF的情況，若存在，求出m的值；如不存在，說明理由.

【解析】由問題1中求得的線段QF=-m2-4m-3，EF=m+3建立方程-m2-4m-3=m+3，可求得m的值：m1=-2，m2=-3（舍去）.

生成問題3：當(dāng)m為何值時(shí)，BF與x軸平行？

【解析】根據(jù)圖形中隱含條件PF∥OB，所以當(dāng)BF與x軸平行時(shí)，四邊形POBF是矩形，此時(shí)PF=OB=3，由PF=yF=2m+6=3建立方程，解得m=-.

生成問題4：判斷線段EF與EP的長(zhǎng)度關(guān)系，并說明理由.

【解析】EF=EP.

理由：根據(jù)問題1中F（m，2m+6），E（m，m+3）可求出EP=yE=m+3，EF=（2m+6）-（m+3）=m+3.∴EP=EF.

【總結(jié)】解決以上4個(gè)問題都應(yīng)用了坐標(biāo)系中垂直于x軸的直線上點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì).所以在解決函數(shù)圖像上的點(diǎn)生成的問題中，多歸納基本圖形的特性，解題往往能一擊制勝.下面繼續(xù)挖掘該圖形生成的系列問題.

生成問題5：如圖3，連接QC，QD，當(dāng)m為何值時(shí)，△CDQ的面積最大？

圖3

【解析】由問題1中求得的線段QF=-m2-4m-3，△CDQ的面積借助直線QF分割為兩部分：△CQF和△DQF，則S△CDQ=S△CQF+S△DQF

【評(píng)析】解決二次函數(shù)圖像中斜三角形面積問題，通常采用割補(bǔ)法將復(fù)雜、不規(guī)則的面積圖形分割成若干個(gè)三角形計(jì)算.分割時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①分割后的三角形面積應(yīng)該容易計(jì)算；②一般的分割方法為橫向或縱向；③如有必要，也可斜向分割.如本題中也可連接DP，應(yīng)用補(bǔ)的方法，先計(jì)算四邊形DQCP的面積，再減去△DCP的面積.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試，才能找到更為簡(jiǎn)單的計(jì)算三角形面積的方法.二次函數(shù)圖像中的斜三角形面積最值問題，是近幾年各地?cái)?shù)學(xué)中考試卷中很常見的題型，并且大部分題目是作為壓軸題出現(xiàn)的.

生成問題6：當(dāng)m為何值時(shí)，△BEF為等腰三角形？

【解析】由問題1中的求得點(diǎn)坐標(biāo)F（m，2m+6）、E（m，m+3），由點(diǎn)B（0，3）可表示出線段EF，BF，BE的長(zhǎng)，分別利用EF=BF，EF=BE，BF=BE建立方程使問題得解.

生成問題7：當(dāng)m為何值時(shí)，△BEF為直角三角形？

【解析】仿照問題6，由點(diǎn)坐標(biāo)表示出△BEF三邊EF，BF，BE的長(zhǎng).該問題中因?yàn)?3＜m＜-1可得∠BEF和∠EBF均是銳角，所以使△BEF為直角三角形的只有∠BFE=90°一種情況.由勾股定理建立方程可求得m值，或由∠BFE=90°時(shí)四邊形POBF為矩形可得PF=OB，即2m+6=3，建立方程可解得m的值.

【評(píng)析】解決等腰三角形、直角三角形等有關(guān)問題時(shí)要注意分類討論，不要造成漏解.由拋物線上的點(diǎn)形成的幾何圖形可以生成許多問題.如本題還可生成問題：當(dāng)m為何值時(shí)△CEF與△CFB相似.

我們能在做習(xí)題的基礎(chǔ)上多總結(jié)一些方法，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，識(shí)別基本圖形，關(guān)注基本圖形的特性，在解壓軸題的過程中，能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用基本圖形的性質(zhì)，這些難點(diǎn)就能迎刃而解.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）