數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

林智

數(shù)形結(jié)合是指通過數(shù)上構(gòu)形或形中覓數(shù)來解決問題的一種思想方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想與方法，又是一種理解數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的有效手段。我們?cè)谘芯繑?shù)的時(shí)候，往往要借助于形的直觀來分析，使數(shù)更加清晰、透徹；在探討形的時(shí)候，又往往離不開數(shù)的本質(zhì)。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有機(jī)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，通過尋找數(shù)與形之間的關(guān)系，能使疑惑概念、難解題目豁然開朗，迎刃而解。

一、以形述數(shù)

小學(xué)生認(rèn)知是從具體到抽象、從低級(jí)向高級(jí)發(fā)展的一個(gè)過程，但他們的抽象邏輯思維仍是直接與感性經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，具有很強(qiáng)的具體形象性。因此，在教學(xué)數(shù)的問題時(shí)，應(yīng)借助形的直觀，突出形象思維，使學(xué)生在圖形的操作或觀察中掌握知識(shí)。

1.以形悟數(shù)，在直觀中建立概念

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的種子，是發(fā)展學(xué)生思維能力的源泉。因此，在教學(xué)抽象的概念時(shí)，應(yīng)以形的直觀形象來表達(dá)數(shù)的精確，使學(xué)生在理解概念的同時(shí)抽象出概念的內(nèi)涵與外延，從而構(gòu)建正確的、科學(xué)的數(shù)學(xué)概念。

例1：人教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)“小數(shù)的近似數(shù)”中，強(qiáng)調(diào)“在表示近似數(shù)時(shí)，小數(shù)末尾的0不能去掉”。學(xué)生能記住這個(gè)概念，但很容易與小數(shù)的性質(zhì)（小數(shù)的末尾添上0或去掉0，小數(shù)的大小不變）混淆，如何引導(dǎo)學(xué)生比較近似值7.8和7.80的異同點(diǎn)呢？教學(xué)中筆者在數(shù)軸上表示出近似值7.8和7.80的取值范圍（圖1），使學(xué)生清晰地看到為什么7.80末尾的0不能去掉，同時(shí)也深刻地感悟到7.80比7.8更精確。

通過用數(shù)軸直觀、形象的分析，不僅幫助學(xué)生理解近似數(shù)的概念，同時(shí)在學(xué)生腦海中構(gòu)建了小數(shù)近似值的數(shù)學(xué)模型，對(duì)精確到小數(shù)的位數(shù)有了更本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

2.以形解數(shù)，在聯(lián)接中體悟方法

小學(xué)生的思維以形象思維為主，抽象思維相對(duì)較弱。在教學(xué)中，把抽象的數(shù)量關(guān)系通過直觀的、形象的圖來表示，達(dá)到化隱為顯、化難為易，從而將一些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化，使解題思路更加明了。

例2：人教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)“乘法分配律”之后，出現(xiàn)了“1997×2013-1996×2014”一題。由于題中的數(shù)據(jù)比較大，直接計(jì)算比較麻煩且容易錯(cuò)，因此須要分兩次利用乘法分配律來計(jì)算，能理解的學(xué)生很少。于是把這道題通過數(shù)變形進(jìn)行教學(xué)，形象直觀地表達(dá)此題的意義，正確率明顯提高。在教學(xué)時(shí)，借助圖形進(jìn)行如下的教學(xué)：首先構(gòu)建如圖2的兩個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形ABCD和長(zhǎng)方形AEFG，CD=2013，AD=1997，AE=2014，EF=1996。由圖所知，ABHG是兩個(gè)長(zhǎng)方形重疊的地方，于是就把原式的計(jì)算轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之差，即求長(zhǎng)方形GDCH和長(zhǎng)方形BEFH的面積之差，借助幾何直觀容易看出長(zhǎng)方形GDCH和長(zhǎng)方形BEFH的寬都是1，所以，兩者之差：2013×1-1996×1=17。

通過這樣直觀、形象的分析，學(xué)生在數(shù)與形的聯(lián)接中充分感受到解決問題策略的多樣性。

3.以形構(gòu)數(shù)，在過程中探究奧秘

數(shù)和形是研究的兩個(gè)對(duì)象，在解決一些抽象的、復(fù)雜的、不好解釋的問題時(shí)，利用形象、直觀的形來揭示復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題，數(shù)上構(gòu)形、形中覓數(shù)，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化，化難為易，化抽象為直觀，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又促進(jìn)學(xué)生思維能力的提高。

這樣，通過數(shù)與形的結(jié)合，既讓學(xué)生在畫圖中探究了數(shù)的奧秘，又在探究的過程中深刻地感悟極限的思想，享受著探究數(shù)學(xué)奧秘的有趣過程。

二、以數(shù)聯(lián)形

數(shù)的抽象用形的直觀來表達(dá)，使之隱含的數(shù)在直觀的形中顯現(xiàn)，以之凸顯數(shù)的知識(shí)與本質(zhì)。

1.以數(shù)顯形，在觀察中理解本質(zhì)

在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，有意識(shí)地用形來引導(dǎo)學(xué)生在觀察中尋找算法背后所蘊(yùn)含的算理，以之來揭示計(jì)算的全過程，使學(xué)生在觀察中真正理解與領(lǐng)悟。

例4：人教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“數(shù)與形”中的計(jì)算題：1+2+3+…+99+100+99+……+3+2+1=？和1+3+5+……+197+199=？引導(dǎo)學(xué)生把這里的每一個(gè)加數(shù)都想象成一個(gè)點(diǎn)，通過在點(diǎn)陣圖中的分布中去尋找、去觀察，從而發(fā)現(xiàn)從另一個(gè)角度去思考的經(jīng)典解法。

如圖（4-1）所示，從上往下一層一層數(shù)，即可得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1，再仔細(xì)觀察，圖（4-1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°就得到圖（4-2）直視的正方形點(diǎn)陣圖，即可得到總數(shù)10×10=100。

再根據(jù)圖（4-2）從下往上沿著折線數(shù)，便可得出：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。仔細(xì)觀察圖形即可發(fā)現(xiàn)這兩題都可以用一種方法10×10=100來計(jì)算的規(guī)律。

通過這樣的教學(xué)，不僅使學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同的計(jì)算可用同一的形來呈現(xiàn)所蘊(yùn)含的本質(zhì)，也使學(xué)生在觀察中找到數(shù)與形的一一對(duì)應(yīng)，更加深刻地感悟到計(jì)算方式的多樣性。

2.以數(shù)想形，在對(duì)比中抽象本真

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生在建立表象后，一般用數(shù)的抽象來解決形的直觀，而很少?gòu)亩嘟嵌热ニ伎紗栴}的本真。實(shí)踐證明，給予學(xué)生足夠的時(shí)間，讓學(xué)生抓住數(shù)的特征，在探究過程中從每個(gè)角度去想象、分析、思考，在對(duì)比、歸納中逐漸理解概念、抽出本質(zhì)，以使學(xué)生的空間觀念得到發(fā)展，邏輯思維能力得到培養(yǎng)。

例5：人教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“三角形的面積”的教學(xué)，在得出三角形的面積計(jì)算公式后，幫助學(xué)生理解同底等高的三角形面積相等這一性質(zhì)。先讓學(xué)生計(jì)算圖（5-1）三角形的面積，再讓學(xué)生想象，底為6高為4的三角形就只有這一個(gè)嗎？若有，還可能是怎樣的？讓學(xué)生進(jìn)行頭腦大風(fēng)暴，在對(duì)比中一一呈現(xiàn)（圖5-2）。

學(xué)生在這些形狀不同的三角形中進(jìn)行對(duì)比，逐漸領(lǐng)悟同底等高的三角形面積相等這一性質(zhì)的本真。

3.以數(shù)釋形，在明理中構(gòu)建概念

圖形以直觀、形象吸引了人們的視覺，在數(shù)學(xué)課堂中亦是如此，但是有些教學(xué)過程中，僅僅憑直觀圖形展示數(shù)學(xué)教學(xué)，有時(shí)不但不能很好地詮釋形，不能理解形背后的精髓，還會(huì)影響到數(shù)學(xué)教學(xué)的本真。這時(shí)，就應(yīng)以數(shù)來詮釋形的價(jià)值及形后隱性的特征、規(guī)律，使學(xué)生更好地理解形，讓形發(fā)揮更大的作用。endprint

例6：人教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)“圖形的放大與縮小”的教學(xué)中，教師提供了幾幅不同大小的長(zhǎng)方形國(guó)旗，并提問：這幾副圖中，哪幾副看上去舒服，形狀相同？為什么？在這個(gè)問題的指引下，學(xué)生初步感知在生活中哪些圖形是正常的。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步讓學(xué)生去探索長(zhǎng)放大的倍數(shù)和寬放大的倍數(shù)相等。

感受放大與縮小是“大小不同，形狀相同”，從而進(jìn)一步明白比的本質(zhì)以及比在生活中的運(yùn)用，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

三、數(shù)形互譯

數(shù)中有形，形中有數(shù)，數(shù)形互譯，事半功倍。教學(xué)過程中，既要抓住表象的直觀分析，又要注重嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，用形的直觀來闡述數(shù)的抽象，以數(shù)的精確性來反映形的某種屬性，把數(shù)與形統(tǒng)一起來理解，使學(xué)生在思考中不斷提升。

1.數(shù)形互譯，在融合中構(gòu)建新知

數(shù)與形相結(jié)合的例子在小學(xué)數(shù)學(xué)教材與教學(xué)中比比皆是。在計(jì)算教學(xué)中，算理與算法用數(shù)與形一一對(duì)應(yīng)，使學(xué)生切身體驗(yàn)算理的過程，深刻理解算理的本質(zhì)；在概念教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合，有助于學(xué)生在掌握概念的同時(shí)，以形的直觀來加深對(duì)數(shù)的理解，又以數(shù)的真實(shí)來促進(jìn)對(duì)形的感悟，使之更好地構(gòu)建新知；在數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)中，更離不開數(shù)與形的結(jié)合，借助數(shù)與形使學(xué)生在認(rèn)知的程度上減緩認(rèn)識(shí)的難度，提高解決問題的能力。

例7：人教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”的練習(xí)中出現(xiàn)了完全平方公式，用小學(xué)知識(shí)如何理解（a+b）2=a2+2ab+b2，我們可以結(jié)合圖形用面積計(jì)算的知識(shí)探索一下（圖6）。（a+b）2可以看成邊長(zhǎng)是a+b的大正方形面積，在大正方形中分出一個(gè)邊長(zhǎng)為a的長(zhǎng)正方形、一個(gè)邊長(zhǎng)為b的中正方形和兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形，發(fā)現(xiàn)大正方形面積就是a2+2ab+b2，所以得出（a+b）2=a2+2ab+b2

此外，在容斥問題、行程問題中，圖形更是好幫手，甚至可以說離開了圖，小學(xué)生很難理解這類問題。但把數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來教學(xué)，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能使學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，有效構(gòu)建新知，從而使課堂達(dá)到有效甚至高效。

2.數(shù)形互譯，在理解中提升思維

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，無一不是數(shù)與形互相結(jié)合的學(xué)習(xí)，但教學(xué)時(shí)不能僅僅停留在空間觀念的形成和利用公式的計(jì)算上，而要在解決問題時(shí)注意數(shù)形互譯，使之培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)和發(fā)展學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

例8：人教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)“策略問題”中的一道習(xí)題：一只螞蟻在一張6×5網(wǎng)格的左下角A點(diǎn)處，要爬到右上角的B點(diǎn)去，其中間有一個(gè)4×1的長(zhǎng)方形空格，其余都是正方形，則螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路徑的不同爬法有多少種？這個(gè)問題若用列舉法解決，則比較繁瑣且容易出錯(cuò)。如果通過數(shù)形相結(jié)，把題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形關(guān)系，便能更直觀、方便地探究出數(shù)的奧秘。如圖7所示，求螞蟻從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短路徑的不同爬法有多少種？就是求A到B的最短路線有多少條？使用標(biāo)數(shù)法，就能很清晰地看出最短路線的種數(shù)。這樣一來，就很容易算出從A到B的最短路線共有182條。

這樣，以數(shù)的精準(zhǔn)呈現(xiàn)在形的直觀上，兩者和諧相融，使數(shù)、形富有活力，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的有效性，從而更好地提升了學(xué)生的思維能力。

3. 數(shù)形互譯，在思考中提高素養(yǎng)

在解決問題時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的思想 ，把形的直觀和數(shù)的精確相互結(jié)合，不僅將抽象變具體、復(fù)雜化簡(jiǎn)單，而且實(shí)現(xiàn)了數(shù)中有形、形中有數(shù)，更有利于學(xué)生有效、甚至高效地思考，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例9：學(xué)習(xí)人教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)“圓的面積”后，我們可以利用圓面積推導(dǎo)過程中的轉(zhuǎn)化思想來解決相關(guān)問題，以提升學(xué)生數(shù)學(xué)的思維能力。

①把一個(gè)圓平均分成若干份，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，寬為8厘米，那么這個(gè)圓的面積是多少平方厘米？（圖8）

②如果這個(gè)近似長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為25.12厘米，則這個(gè)圓的面積是多少平方厘米？

③如圓的周長(zhǎng)比拼成的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)少16厘米，則這個(gè)圓的面積是多少平方厘米？

④如果拼成近似的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)是66.24厘米，則這個(gè)圓的面積是多少平方厘米？

學(xué)生通過解決這一組問題，不僅促進(jìn)他們對(duì)圓面積公式的理解，而且能使他們明白圓面積推導(dǎo)的本質(zhì)，使學(xué)生通過數(shù)的計(jì)算促進(jìn)空間觀念的形成，從而提高小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，把數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，以形的直觀揭示數(shù)的奧秘，以數(shù)的精確掀開形所蘊(yùn)含的本質(zhì)，使數(shù)形和諧相融，幫助學(xué)生建立數(shù)的概念，理解數(shù)的本質(zhì)，使解題思路與過程更加具體，同時(shí)讓學(xué)生享受探究數(shù)學(xué)奧秘的過程，更好地展現(xiàn)知識(shí)形成的過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]endprint