“歌訣法”破解運動學問題

■河北省內丘中學 侯建敏

“歌訣法”破解運動學問題

■河北省內丘中學 侯建敏

運動學問題是歷年高考的必考內容之一,考查的重點是勻變速直線運動規(guī)律及其應用。運動學問題的種類很多,涉及的公式很多,用到的方法也很多,使得很多同學在遇到運動學問題時總是感覺無從下手。下面就對運動學問題進行歸類分析,并為了方便同學們理解和記憶,特將每類問題的解法總結成一句歌訣。

一、一物一過程類——一個過程五個量,知三求二莫相忘

與運動學相關的物理量一共有5個,分別為初速度v0、末速度v、加速度a、運動時間t和位移x。求解一個物體一個過程的問題時,必須已知在這一過程中的三個物理量才能求解另外兩個物理量,因此這類問題的解法可以歸納為“一個過程五個量,知三求二莫相忘”。有時三個已知量中的某一個量并不是直接給出的,而是包含在隱含條件中。如:從靜止開始運動,則初速度v0=0;最后停止,則末速度v=0等。2017年高考全國理綜Ⅱ卷的第24題就屬于此類問題,可以直接運用運動學公式求解。

例1航空母艦是大規(guī)模戰(zhàn)爭中的重要武器,靈活起降的戰(zhàn)機是航空母艦的主要攻擊力之一。我國“遼寧”號航空母艦上暫時還沒有飛機彈射系統(tǒng),美國“肯尼迪”號航空母艦上的飛機彈射系統(tǒng)可以減短戰(zhàn)機的起跑位移。假設彈射系統(tǒng)對“F/A18”型戰(zhàn)斗機作用了t0=0.2s時間后,可以使這個型號的戰(zhàn)斗機達到一定的初速度v0,然后戰(zhàn)斗機在甲板上起跑,加速度a=2m/s2,經(jīng)過t=10s時間,達到要求的起飛速度v1=50m/s。求:

(1)戰(zhàn)斗機離開彈射系統(tǒng)瞬間的速度是多少?

(2)航空母艦甲板至少應為多長?

(3)彈射系統(tǒng)對戰(zhàn)斗機所提供的加速度是多少?

解析:(1)由速度公式v1=v0+at得v0=v1-at=50m/s-2×10m/s=30m/s。

(2)戰(zhàn)斗機在起飛過程中的位移x=(10s)2=400m,所以航空母艦甲板長度至少應為400m。

點評:本題中(1)問,在戰(zhàn)斗機加速的過程中,已知末速度、時間和加速度這三個物理量可以直接用公式求解初速度;(2)問在戰(zhàn)斗機加速的過程中,已知初速度、時間和加速度這三個物理量可以直接用公式求解位移;(3)問在戰(zhàn)斗機被彈射的過程中,已知初速度、末速度和時間這三個物理量可以直接用公式求解加速度,其中初速度算是隱含條件。

二、一物二過程類——時間位移找關聯(lián),選用同量方程建

將一個物體的運動分成兩個過程,這兩個過程可以有多種組合形式,可能先是勻速直線運動再是勻減速直線運動,也可能先是勻加速直線運動再是勻減速直線運動,還可能是勻變速直線運動的兩個階段等。這類問題中的勻變速直線運動的已知量往往不足三個,不能直接用公式求解。解決這類問題的方法是找出兩個過程間時間或位移的關系,選用同一運動學未知量列方程組求解,因此這類問題的解法可以歸納為“時間位移找關聯(lián),選用同量方程建”。

例2在公路上行駛的兩輛汽車之間應保持一定的安全距離。當前車突然停止時,后車司機可以采取剎車措施,使汽車在安全距離內停下而不與前車相碰。通常情況下,人的反應時間和汽車系統(tǒng)的反應時間之和為1s。當汽車在晴天干燥瀝青路面上以108km/h的速度勻速行駛時,安全距離為120m。設雨天時汽車輪胎與瀝青地面間的動摩擦因數(shù)為晴天時的若要求安全距離仍為120m,則汽車在雨天瀝青路面上安全行駛的最大速度為多大?

解析:晴天時,汽車在剎車過程中的初速度v0=108km/h=30m/s。在反應時間內汽車做勻速直線運動,位移x1=v0t,則汽車在減速過程中產(chǎn)生的位移因為安全距離為120m,所以x1+x2=120m。聯(lián)立以上三式解得晴天時汽車剎車后的加速度a1=5m/s2。因為汽車剎車后的加速度a=μg,雨天時汽車輪胎與瀝青地面間的動摩擦因數(shù)為晴天時的所以雨天時汽車剎車后的加速度同理得x3=,聯(lián)立以上三式解得汽車在雨天瀝青路面上安全行駛的最大速度v1=20m/s=72km/h。

點評:本題是勻速直線運動和勻減速直線運動兩個過程的組合,根據(jù)兩段運動過程的位移之和為120m這個位移關聯(lián)點,選兩段運動的共同量(勻速直線運動的速度即勻減速直線運動的初速度)為未知量建立方程組,即可使問題得以求解。

例3一個小球從斜面頂端無初速度地下滑,接著又在水平面上做勻減速直線運動,直到停止。小球一共運動了10s,斜面長度為4m,小球在水平面上運動的距離為6m。求小球在運動過程中的最大速度,以及小球在斜面和水平面上運動時的加速度大小。

解析:設小球在斜面上的加速度大小為a1,運動時間為t1,則小球在斜面上產(chǎn)生的位移設小球在水平面上的加速度大小為a2,運動時間為t2,減速到0的過程可以看成反向的加速過程,則小球在水平面上產(chǎn)生的位移由小球在斜面上做加速運動和在水平面上做勻減速運動的最大速度相等得vmax=a1t1=a2t2,t1+t2=10s。聯(lián)立以上各式解得vmax=2m/s,a1=0.5m/s2,a2=0.33m/s2。

點評:本題是勻加速直線運動和勻減速直線運動兩個過程的組合,根據(jù)兩段運動的總時間為10s這個時間關聯(lián)點,選兩段運動的共同量(勻加速直線運動的末速度vmax即勻減速直線運動的初速度)為未知量建立方程組,即可使問題得以求解。

例4一物體從靜止開始做勻加速直線運動,在第3s內產(chǎn)生的位移為3m,求物體在前3s內的位移。

解析:設物體的加速度為a,則前2s內的位移前3s內的位移第3s內的位移x=x2-x1=3m,聯(lián)立以上三式解得a=1.2m/s2,x2=5.4m。

點評:本題是勻變速直線運動過程的兩個階段,根據(jù)第3s內的位移為前3s內的位移與前2s內的位移之差這一位移關聯(lián)點,選兩個階段的加速度這一共同量為未知量建立方程組,即可使問題得以求解。

三、等時間或等位移類——連等位移或時間,運用比例最方便

如果研究的是初速度為零的勻變速直線運動,考查的是連續(xù)相等時間內的位移、速度關系或連續(xù)相等位移上的速度、時間關系時,運用比例式求解最為簡便,因此這類問題的解法可以歸納為“連等位移或時間,運用比例最方便”。因為勻減速到零的直線運動可以等效為從零開始的勻加速直線運動,所以此方法還適用于勻減速到零的直線運動。

例5一觀察者站在一列火車第一節(jié)車廂前端的軌道外,火車從靜止開始做勻加速直線運動,第一節(jié)車廂駛過他身邊所用的時間為2s。設每節(jié)車廂等長(車廂之間的距離不計)。則:

(1)前16節(jié)車廂駛過觀察者身邊需要多長時間?

(2)從火車開始運動計時,10s內有幾節(jié)車廂駛過觀察者身邊?

解析:(1)因為每節(jié)車廂的長度相等,所以可以看成求解的是連續(xù)相等位移問題,根據(jù)產(chǎn)生連續(xù)相等位移所需時間之比t1∶t16=1∶ 16,解得t16=8s。

(2)設每節(jié)車廂的長度為L,10s為火車運動的前5個2s,根據(jù)連續(xù)相等時間內的位移之比x1∶x5=1∶52=L∶nL,解得n=25節(jié)。

點評:本題中(1)問考查的是連續(xù)相等位移的時間關系,(2)問考查的是連續(xù)相等時間的位移關系,運用比例式可以迅速得解。

四、連續(xù)相等時間內的位移類——等時位移何最靈,逐差公式最可行

如果研究的是連續(xù)相等時間內的位移問題,例如打點計時器打出的紙帶、頻閃照片等,運用逐差公式求解最為簡便,因此這類問題的解法可以歸納為“等時位移何最靈,逐差公式最可行”。2017年高考全國理綜Ⅰ卷的第22題考查的就是運用逐差公式求解加速度這個知識點。

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例6某同學利用打點計時器研究小車的勻變速直線運動,他在實驗時將打點計時器接到頻率為50Hz的交流電源上,得到一條紙帶,打出的部分計數(shù)點如圖1所示(每相鄰兩個計數(shù)點間還有4個點圖中未畫出),s1=3.59cm,s2=4.41cm,s3=5.19cm,s4=5.97cm,s5=6.78cm,s6=7.64cm,則小車的加速度a=____m/s2。(要求充分利用測量的數(shù)據(jù),結果保留兩位有效數(shù)字)

圖1

解析:兩相鄰計數(shù)點的時間間隔T=0.1s,由逐差法得小車的加速度a=

點評:本題是根據(jù)連續(xù)相等時間內的位移求解加速度的問題,應用逐差法可以直接得解。

五、定性分析類——定性分析有捷徑,運用圖像最管用

在運動學問題中,當遇到定性分析時間的大小、速度的大小等問題時,運用圖像法可以很直觀地判定兩個物理量的大小,因此這類問題的解法可以歸納為“定性分析有捷徑,運用圖像最管用”。

例7甲、乙、丙三輛車沿直線行駛同時經(jīng)過某一路標時的速度相等,此后甲車先勻加速再勻減速,乙車一直勻速,丙車先勻減速再勻加速,結果它們到達下一個路標時的速度又一次相同,試分析它們通過下一個路標的先后次序。

解析:此題已知條件模糊難以用公式進行計算,若能依題意畫出三輛車的速度—時間圖像,則結論一看便知。作出三輛車的速度—時間圖像如圖2所示,則t甲＜t乙＜t丙,即三輛車通過下一路標的先后次序為甲、乙、丙。

點評:先將三輛車的v-t圖像在同一張圖標紙中畫出來,再比較三輛車的運動時間,即可判斷三輛車通過下一路標的先后次序。

圖2

六、追及或相遇類——追及相遇莫畏難,兩個關系一條件

求解追及或相遇類問題時,一定要抓住兩個“關系”一個“條件”。兩個“關系”是指兩物體的時間和位移之間的數(shù)量關系,一個“條件”是指兩物體速度相等這個條件,它往往是物體追上、追不上或二者相距最遠、相距最近的臨界條件。兩個“關系”和一個“條件”是分析判斷此類問題的突破口,因此這類問題的解法可以歸納為“追及相遇莫畏難,兩個關系一條件”。

例8一輛值勤的警車停在平直公路邊,當警員發(fā)現(xiàn)從他旁邊以v=8m/s的速度勻速駛過的貨車有違章行為時,警車立即啟動,并以加速度a=2m/s2做勻加速直線運動追趕違章的貨車,試問:

(1)警車啟動后要經(jīng)過多長的時間才能追上違章的貨車?

(2)在警車追上貨車之前,兩車間的最大距離是多少?

解析:(1)設警車啟動后經(jīng)過時間t追上違章的貨車,則警車的位移,貨車的位移x2=vt,當警車追上貨車時,兩車的位移相等,即x1=x2,解得t=8s。

(2)剛開始貨車的速度大于警車的速度,故兩車間的距離越來越大,當兩車速度相等時,兩車間的距離最大。設警車啟動后經(jīng)過時間t'兩車的速度相等,則經(jīng)過時間t',警車的位移貨車的位移x2'=vt'=32m。因此兩車間的最大距離smax=x2'-x1'=16m。

點評:本題(1)問需要根據(jù)警車追上貨車時,兩車的位移相等這個位移關系列方程求解,(2)問需要根據(jù)兩車速度相等時,兩車間的距離最大進行求解。

七、剎車類——剎車問題有陷阱,關鍵是看何時停

剎車類問題的易錯點在于不考慮剎車運動的實際情況,而盲目地套用位移公式x=和速度公式v=v0+at求解。解答這類問題的關鍵是先計算出停車所用的時間(臨界時間),再用所給的時間與這個臨界時間進行比較,判定此時車輛處于什么狀態(tài)。因此這類問題的解法可以歸納為“剎車問題有陷阱,關鍵是看何時?！?。

例9飛機著陸做勻減速直線運動時可以獲得a=6m/s2的加速度,飛機著陸時的初速度v0=60m/s,分別求飛機著陸后6s和12s內的位移。

解析:設飛機停下來所需的時間為t0,根據(jù)運動學公式得因為6s＜t0,所以6s末飛機還沒停止運動,產(chǎn)生的位移因為12s＞t0,所以12s末飛機已經(jīng)停止運動,產(chǎn)生的位移

點評:本題是剎車類問題,需要先求出飛機停止的臨界時間,再判定在所給的時間內飛機是停止了還是沒有停止,然后選用相應的公式求解。

八、平均速度類——平均速度是個寶,用它妙處無限好

如果在勻變速直線運動中給出了位移和時間,那么就可以求出平均速度,這個平均速度又是這段位移中間時刻的瞬時速度,還等于初、末瞬時速度的平均值。根據(jù)平均速度求解位移、時間等其他物理量時,計算過程更簡便。因此這類問題的解法可以歸納為“平均速度是個寶,用它妙處無限好”。2017年高考全國理綜Ⅰ卷的第25題和Ⅲ卷的第25題都可以利用平均速度求解位移。

例10一質點做勻變速直線運動,它在兩段連續(xù)的4s時間內通過的位移分別是24m和64m,求質點的初速度大小和加速度大小。

解析:質點在前4s內的平均速度即第2s的瞬時速度,則6m/s。質點在前8s內的平均速度即第4s的瞬時速度,則11m/s。又有第2s的瞬時速度,解得質點的初速度v0=2v1-v2=1m/s,質點的加速度

點評:本題就是根據(jù)平均速度是位移中間時刻的瞬時速度這個規(guī)律求解的,這種解法比用運動學位移公式列方程組求解初速度和加速度簡便得多。

(責任編輯 張 巧)