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    數(shù)學(xué)思想在函數(shù)中的應(yīng)用

    2017-11-23 03:34:28梅州市梅縣區(qū)三鄉(xiāng)中學(xué)李曉文
    師道(教研) 2017年11期
    關(guān)鍵詞:交點(diǎn)正方形方程

    文/梅州市梅縣區(qū)三鄉(xiāng)中學(xué) 李曉文

    數(shù)學(xué)思想在函數(shù)中的應(yīng)用

    文/梅州市梅縣區(qū)三鄉(xiāng)中學(xué) 李曉文

    函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,是對初中知識的概括和總結(jié),是聯(lián)系初高中知識的紐帶,是變量數(shù)學(xué)在初中數(shù)學(xué)的滲透,它使學(xué)生的思維從常量數(shù)學(xué)過渡到變量數(shù)學(xué),函數(shù)知識在中學(xué)數(shù)學(xué)中有舉足輕重的地位,而在函數(shù)知識中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想,認(rèn)真學(xué)習(xí)和掌握好這些數(shù)學(xué)思想,對提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

    一、函數(shù)中的代數(shù)思維

    在數(shù)學(xué)中使用代數(shù)思維,即用代數(shù)的方法解決問題,它要求分析問題中的等量關(guān)系,把問題表示為含有未知數(shù)的等式,把問題形式化。還可以利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形,但在變化過程中始終保持等量關(guān)系。對于這一數(shù)學(xué)思維方法,在函數(shù)中無疑可以得到強(qiáng)化。

    1.方程與函數(shù)思想

    函數(shù)與方程關(guān)系密切,初中階段函數(shù)關(guān)系式可以看成是含有兩個未知數(shù)的方程。因此,我們可以運(yùn)用方程知識解決許多函數(shù)問題,如求函數(shù)圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),就是解函數(shù)或自變量為零時(shí)的方程等。因此我們可以利用一元二次方程根的判別式來判斷兩函數(shù)圖象是否相交,判斷二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)情況等。

    例1.已經(jīng)拋物線y=x2-5mx+4m2(m為常數(shù)),求證:此拋物線與x軸一定有交點(diǎn)。

    析:本題將函數(shù)與方程的判別式結(jié)合在一起。拋物線與x軸的交點(diǎn)必滿足y=0,故只需證明x2-5mx+4m2=0的判別式大于或等于0即可。

    2.建模與函數(shù)思想

    在函數(shù)知識中出現(xiàn)了一類以函數(shù)知識為背景,具有創(chuàng)新性、開放性、針對社會熱點(diǎn),有強(qiáng)烈時(shí)代氣息的函數(shù)應(yīng)用題,解答此類問題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題中的內(nèi)在、本質(zhì)的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,建立數(shù)學(xué)模型,從而求得實(shí)際問題的答案。

    二、函數(shù)中的幾何思維

    1.圖形與函數(shù)

    在初中函數(shù)教學(xué)中,出現(xiàn)了從幾何圖形中確立函數(shù)關(guān)系式而利用函數(shù)性質(zhì)的解決幾何問題的數(shù)形結(jié)合的新題型。這類題主要利用幾何圖形的性質(zhì)列出幾何量之間的等式,再將某些幾何量轉(zhuǎn)化成函數(shù)的變量或自變量,最后用函數(shù)的性質(zhì)解答問題。

    例2.如圖,從一張矩形紙較短的邊上找一點(diǎn)E,過這點(diǎn)剪下兩個正方形,它們的邊長分別是AE,DE,要使剪下的兩個正方形的面積和最小,點(diǎn)E應(yīng)選在何處?為什么?

    析:考將這個幾何問題轉(zhuǎn)化另類二次函數(shù)模形來研究。

    ①首先探索取特殊值的情況

    設(shè)AD=4,DE分別是2,1,0,當(dāng)DE=2時(shí),兩個正方形面積的和最小,猜想:E是AD的中點(diǎn)時(shí),兩個正方形面積的和最小。

    ②證明猜想,設(shè)AD=t,ED=x,兩個正方形的面積和為y,兩個正方形的面積分別為x2,(t-x)2,則y=x2+(t-x)2,

    得 y=2x2-2tx+t2, 配方得 y=2

    本題運(yùn)用了從特殊到一般的探究過程,在證明其一般性時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想 (圖形→代數(shù)式→函數(shù)解析式)將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題。

    2.運(yùn)動與函數(shù)

    動態(tài)幾何題是函數(shù)與運(yùn)動相結(jié)合的典型題。動態(tài)幾何題是以幾何知識和幾何圖形為背景,滲入運(yùn)動變化思想的一類題,通常是通過圖形運(yùn)動產(chǎn)生變量形成函數(shù).

    三、函數(shù)中的分類思維

    分類討論思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),將數(shù)學(xué)研究對象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。初中數(shù)學(xué)分類討論思想應(yīng)用很廣泛應(yīng)用分類討論,往往能使復(fù)雜的問題簡單化。在函數(shù)的教學(xué)過程中我們要利用學(xué)生已有的認(rèn)識基礎(chǔ),把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來,在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行分類思想的滲透,挖掘教材提供的機(jī)會,把握滲透的契機(jī)。如

    例3.函數(shù)y=ax2-ax+3x+1與x軸只有一個交點(diǎn),求a的值與交點(diǎn)坐標(biāo)。

    分析:本題中函數(shù)是什么函數(shù)沒有確定,故要根據(jù)初中學(xué)生已有的函數(shù)知識,根據(jù)a的不同取值,分別考慮此函數(shù)是一次函數(shù)或者二次函數(shù)兩種情況。

    解:當(dāng)a=0時(shí),為一次函數(shù)y=3x+1, 交點(diǎn)為 (-1/3, 0);

    當(dāng)a不為0時(shí),為二次函數(shù)y=ax2+(3-a)x+1, △ =b2-4ac=a2-10a+9=0,

    解得a=1或a=9,交點(diǎn)為(-1,0)或 (9, 0)。

    由上可見,在函數(shù)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想,在教學(xué)中我們要把它不斷地向?qū)W生滲透這些思想,幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想,提高其運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力。這是長期、復(fù)雜而細(xì)致的工作,中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)全面研究教材中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,探討各種數(shù)學(xué)思想方法在不同階段的教學(xué)要求,做到全面安排,逐步培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的理解和運(yùn)用能力。只有重視和加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué),使數(shù)學(xué)知識的教學(xué)與思想方法的教學(xué)并重,數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)才能全面實(shí)現(xiàn)。

    責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)

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