借助直觀表征優(yōu)化計(jì)算算理教學(xué)

姜文富

摘 要：計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。理解算理和建構(gòu)算法是計(jì)算教學(xué)的核心。教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助“操作表征”“圖像表征”和“符號(hào)表征”，優(yōu)化算理教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生理解算理、掌握算法，讓學(xué)生抵達(dá)理法融通的計(jì)算之境。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；計(jì)算算理；計(jì)算教學(xué)

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重頭戲，是最基本的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技能。計(jì)算教學(xué)倡導(dǎo)算理的探索和算法的建構(gòu)已經(jīng)成為教學(xué)研究的共識(shí)。受制于學(xué)生的年齡特征和心理特征，在計(jì)算教學(xué)中，教師必須給學(xué)生提供算理理解的“腳手架”，讓學(xué)生通過(guò)直觀動(dòng)作、直觀圖形、直觀符號(hào)等多樣化的“直觀表征”，優(yōu)化計(jì)算算理的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)算法。

一、借助“操作表征”，優(yōu)化算理教學(xué)

在計(jì)算教學(xué)中，算法是抽象的，而算理卻應(yīng)當(dāng)直觀。對(duì)于學(xué)生的計(jì)算來(lái)說(shuō)，算法解決的是“怎樣計(jì)算”的問(wèn)題，算理解決的是“為什么這樣計(jì)算”的問(wèn)題。算理是算法的道理、依據(jù)，而算法則是算理的抽象化提升、形式化發(fā)展。由于小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維處于從直觀動(dòng)作思維向具體形象思維的過(guò)渡，因此在計(jì)算教學(xué)中，教師可以借助學(xué)生的“操作”，如各種實(shí)物、各種模擬物等，尤其像小棒、圓片、計(jì)數(shù)器等具有“齊性”的學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生展開算理的探究、算法的建構(gòu)。

例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第2冊(cè)的《十幾減9》，這是學(xué)生在一年級(jí)第一學(xué)期學(xué)習(xí)了“20以內(nèi)進(jìn)位加法”之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，由于學(xué)生已經(jīng)有了“9加幾”“8加幾”等的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，因此在教學(xué)中，教師完全可以放手讓學(xué)生展開主動(dòng)探究。教材出示的主題圖是：桌面上有一盒桃子（10個(gè)）和3個(gè)桃子，小猴要買9個(gè)桃子，還剩多少個(gè)桃子？通過(guò)主題圖，學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)屬于“去一去”“拿一拿”的數(shù)學(xué)問(wèn)題，他們很快列出算式“13-9”。接著，有學(xué)生借助數(shù)數(shù)經(jīng)驗(yàn)，即從13個(gè)桃子里一個(gè)一個(gè)地去掉，找尋計(jì)算答案。顯然，這不是一個(gè)好的計(jì)算方法。由此，筆者首先和學(xué)生復(fù)習(xí)了“20以內(nèi)進(jìn)位加法”中的“湊十法”，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。然后讓學(xué)生展開小組交流、討論，有學(xué)生認(rèn)為，由于零頭（3個(gè)）不夠減，所以可以先從一盒里減去9個(gè)桃；有學(xué)生認(rèn)為，可以先將零頭去掉，也就是說(shuō)先給小猴3個(gè)桃，再?gòu)暮凶永锩婺贸?個(gè)桃就行了。在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，筆者讓學(xué)生運(yùn)用小棒展開物質(zhì)化的活動(dòng)操作。經(jīng)過(guò)學(xué)生的多次操作，他們?cè)凇皽愂ā钡幕A(chǔ)之上建構(gòu)了“平十法”“破十法”的計(jì)算模型。這種活動(dòng)化的經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，能夠逐步讓學(xué)生形成簡(jiǎn)便運(yùn)算的意識(shí)。

通過(guò)操作化表征，學(xué)生的“算理理解”與“算法建構(gòu)”有機(jī)結(jié)合。直觀操作是學(xué)生表象操作的泉源，當(dāng)學(xué)生在計(jì)算中遭遇障礙、困難時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中進(jìn)行表象操作，然后逐步抽象，將表象壓縮、內(nèi)隱，不斷提升學(xué)生形式化的思維水平。如此，學(xué)生既能理解算理，又能掌握算法、運(yùn)用算法。

二、借助“圖像表征”，優(yōu)化算理教學(xué)

如上所述，計(jì)算的法則（算法）是抽象的、理性的，而學(xué)生的思維是感性的、具體的、直觀的。教學(xué)中，教師要將抽象的算法建構(gòu)與直觀、具體的算理理解結(jié)合起來(lái)，只有這樣，計(jì)算教學(xué)才能融入學(xué)生的血脈之中。教師要改變過(guò)去那種對(duì)算法的死記硬背、對(duì)計(jì)算技能機(jī)械訓(xùn)練的教學(xué)方式，充分借助學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，以直觀操作、直觀圖形、具體表象等為支撐，優(yōu)化算理教學(xué)。

例如《乘法分配律》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第8冊(cè)）一課，教材運(yùn)用的是主題圖，其圖意是：四年級(jí)有6個(gè)班，五年級(jí)有4個(gè)班，每個(gè)班領(lǐng)24根跳繩，四五年級(jí)一共需要多少根跳繩？在引導(dǎo)學(xué)生探究算法時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)，許多教師都能讓學(xué)生從主題圖中的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，從解決問(wèn)題的思維方法出發(fā)，形成不同的解題思路，進(jìn)而列出等式，形成乘法分配律的數(shù)學(xué)猜想。接著，通過(guò)舉例驗(yàn)證，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)乘法分配律的運(yùn)算模型。但在運(yùn)用時(shí)，學(xué)生的錯(cuò)誤卻屢見(jiàn)不鮮。顯然，盡管學(xué)生通過(guò)數(shù)量關(guān)系建構(gòu)了算法，但學(xué)生對(duì)算法本身并沒(méi)有理解和掌握。算法對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，還是外在的形式化的東西。對(duì)此，許多教師都很納悶，因?yàn)閷W(xué)生確實(shí)是實(shí)實(shí)在在地經(jīng)歷了乘法分配律算法的建構(gòu)過(guò)程的。其實(shí)，從乘法分配律的模型建構(gòu)過(guò)程來(lái)說(shuō)，教師借助學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，能夠助推學(xué)生的理解，增進(jìn)學(xué)生對(duì)分配律的體認(rèn)。但學(xué)生對(duì)乘法分配律的形式掌握得不夠深刻，這是導(dǎo)致學(xué)生不會(huì)運(yùn)用乘法分配律的根本原因所在。筆者教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，在學(xué)生形成了乘法分配律的數(shù)學(xué)猜想后，用a和b分別表示兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，用c表示長(zhǎng)方形的寬（如圖1），讓學(xué)生用圖形表征“乘法分配律”。

從圖中學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)，左邊長(zhǎng)方形的面積是a×c，右邊長(zhǎng)方形的面積是b×c，整個(gè)大長(zhǎng)方形的面積是a×c+b×c。有了直觀圖形作為學(xué)生理解算法的心理支撐，學(xué)生對(duì)乘法分配律的形式就能夠在心中建立圖形表象。當(dāng)學(xué)生在計(jì)算中出現(xiàn)思維斷裂、短路時(shí)，他們可以借助頭腦中的圖形表象，自主解決問(wèn)題。

從圖形表征到心理圖像的建立，從直觀的算理到抽象的算法，學(xué)生主動(dòng)地展開數(shù)學(xué)反思。通過(guò)反思，學(xué)生能夠逐漸擺脫圖形表征、心理表象，讓圖形的支撐慢慢隱退，形成抽象化、形式化的算法模型，在不斷運(yùn)用中實(shí)現(xiàn)算法與算理的深層溝通。

三、借助“符號(hào)表征”，優(yōu)化算理教學(xué)

美國(guó)著名教育家布魯納認(rèn)為，兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般要經(jīng)歷三個(gè)階段：操作性表征、具體形象性表征和抽象符號(hào)性表征。在計(jì)算教學(xué)中，在通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手操作、生活經(jīng)驗(yàn)、構(gòu)建圖形等一系列探索活動(dòng)后，教師有必要讓學(xué)生創(chuàng)造符號(hào)，將算理和算法進(jìn)行融通。只有當(dāng)學(xué)生的思維不再依賴具體的模型、心理圖像，而是以符號(hào)作為思維活動(dòng)的材料，形成了以符號(hào)作為普遍性的算法后，學(xué)生的計(jì)算思維才真正得到了提升和發(fā)展。

例如教學(xué)《加法交換律》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第8冊(cè)），當(dāng)學(xué)生通過(guò)教材主題圖，根據(jù)數(shù)量之間的相等關(guān)系列出算式，提出猜想（注：蘇教版教材《運(yùn)算律》都采用了“猜想——驗(yàn)證”式的教學(xué)）并進(jìn)行驗(yàn)證后，筆者讓學(xué)生概括“加法交換律”，學(xué)生運(yùn)用各種符號(hào)表征：如文字符號(hào)表征——甲+乙=乙+甲；圖形符號(hào)表征——△+☆=☆+△；數(shù)學(xué)符號(hào)表征——a+b=b+a……符號(hào)表征的多樣化，正說(shuō)明學(xué)生對(duì)算法已經(jīng)擁有了自己的理解。當(dāng)學(xué)生形成了加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律、分配律的符號(hào)表征后，筆者有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生分類，借助符號(hào)進(jìn)行比較、思考。有學(xué)生認(rèn)為運(yùn)算律可以分為兩類，加法的和乘法的；有學(xué)生認(rèn)為運(yùn)算律可以分為三類，交換律、結(jié)合律和分配律。接著，筆者讓學(xué)生結(jié)合運(yùn)算律的運(yùn)用實(shí)踐，觀察這些符號(hào)化的運(yùn)算律，概括出各自的特質(zhì)。學(xué)生對(duì)符號(hào)化表征的運(yùn)算律展開了深入觀察，他們發(fā)現(xiàn)，交換律的特質(zhì)是數(shù)字順序變化了，計(jì)算結(jié)果不變；結(jié)合律的特質(zhì)是計(jì)算順序變化了，計(jì)算結(jié)果不變；分配律的特質(zhì)是計(jì)算方法變化了，計(jì)算結(jié)果不變。在符號(hào)化算式的比較、思考中，學(xué)生認(rèn)為簡(jiǎn)便運(yùn)算簡(jiǎn)便但不簡(jiǎn)單，在計(jì)算時(shí)計(jì)算結(jié)果保持不變這一特點(diǎn)可以用來(lái)判定簡(jiǎn)便計(jì)算正確與否。借助符號(hào)化的運(yùn)算律表征，學(xué)生對(duì)運(yùn)算律的認(rèn)識(shí)和實(shí)踐走向睿智和深刻。

符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本語(yǔ)言，具有抽象性、形式性、簡(jiǎn)潔性、通用性等特性。借助符號(hào)化的語(yǔ)言，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)計(jì)算中的算法展開深度思考，明晰算法的運(yùn)用特質(zhì)、運(yùn)用規(guī)律、運(yùn)用閾限等。符號(hào)化的表征、觀察與思考是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、符號(hào)思維，開發(fā)學(xué)生創(chuàng)造潛能的有效方法。

直觀的算理與抽象的算法之間存在一定的矛盾。教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生的年齡和心理特征，以及計(jì)算算法的特點(diǎn)，選用合適的表征方式，引導(dǎo)學(xué)生理解算理、掌握算法，讓學(xué)生循“理”入“法”，以“理”馭“法，促成學(xué)生算理、算法的融合、融通，同步提升學(xué)生的綜合能力。在這個(gè)過(guò)程中，教師對(duì)于學(xué)生多元化的算理表征，既要尊重又要善于引導(dǎo)，為學(xué)生的算法建構(gòu)和數(shù)學(xué)化思維發(fā)展提供有益支撐。endprint