考慮橫法向熱應(yīng)變的Reddy型功能梯度梁理論

許琦， 吳振

沈陽航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 沈陽 110136

考慮橫法向熱應(yīng)變的Reddy型功能梯度梁理論

許琦， 吳振*

沈陽航空航天大學(xué) 遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 沈陽 110136

Reddy型高階理論已被廣泛用于功能梯度材料(FGM)結(jié)構(gòu)分析，然而此理論忽略了橫法向應(yīng)變，難于準(zhǔn)確分析功能梯度梁的熱力行為。為提高Reddy理論分析熱力響應(yīng)的精度，提出了一種考慮橫法向熱應(yīng)變的三參數(shù)Reddy型高階功能梯度梁理論。此模型考慮了橫法向熱應(yīng)變，但不增加額外位移變量。應(yīng)用構(gòu)建的模型分析了功能梯度梁的熱力響應(yīng)，并研究了不同體積分?jǐn)?shù)對(duì)面內(nèi)應(yīng)力和位移的影響。數(shù)值結(jié)果表明,所提出的模型能準(zhǔn)確分析功能梯度梁的熱力響應(yīng)，而忽略橫法向應(yīng)變的模型計(jì)算結(jié)果精度較低。

Reddy型高階理論； 功能梯度梁； 橫法向熱應(yīng)變； 解析解； 熱力分析

近年來，功能梯度材料(FGM)受到工程領(lǐng)域的廣泛關(guān)注。與普通均質(zhì)復(fù)合材料不同，功能梯度材料的組分和結(jié)構(gòu)在空間上連續(xù)變化，最大程度降低了應(yīng)力集中現(xiàn)象。在工程實(shí)際中，功能梯度材料常受到機(jī)械載荷和熱載荷共同作用，溫度變化使結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生較大的熱應(yīng)力和變形，甚至導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效[1]。為充分發(fā)揮功能梯度結(jié)構(gòu)性能，有必要建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛯?duì)其進(jìn)行有效的熱力分析。

模型發(fā)展初期，一階剪切變形理論被用于分析功能梯度結(jié)構(gòu)的熱彈性響應(yīng)問題[2-3]。然而，一階剪切變形理論的橫向剪切應(yīng)變沿厚度方向?yàn)橐怀?shù)，需使用剪切修正系數(shù)來調(diào)整橫向剪切剛度，此模型通常適用于薄板分析[4]。為克服一階理論的不足，各國學(xué)者將研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)向了高階剪切變形理論[5-7]。Touratier[8]發(fā)展了正弦型高階剪切變形理論，隨后Zenkour和Alghamdi[9]基于此模型分析了四邊簡支功能梯度板的熱力響應(yīng)。Matsunaga[10]提出一種九階理論，該理論面內(nèi)位移沿厚度方向展開九階多項(xiàng)式，橫向位移沿厚度方向展開八階多項(xiàng)式。應(yīng)用該理論，Matsunaga分析了功能梯度板的熱力響應(yīng)。通過使用橫向剪切應(yīng)力自由表面條件，Reddy[11]發(fā)展了三階剪切變形理論(Reddy理論)，該理論橫向剪切應(yīng)變沿板厚度方向呈拋物線型分布，不需要使用剪切修正系數(shù)。基于此理論，Reddy研究了功能梯度板的靜力問題[12]和幾何非線性問題[13]。Yang 和Shen[14]基于Reddy理論分析了功能梯度板在熱力載荷作用下的非線性行為。Duc和Tung[15]基于Reddy理論研究了熱環(huán)境中功能梯度板的后屈曲問題。針對(duì)于Reddy理論，目前各國學(xué)者仍在進(jìn)行大量研究及應(yīng)用[16-17]。

Reddy理論模型已經(jīng)在工程領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[4]，此理論與一階理論位移變量個(gè)數(shù)相同，能夠準(zhǔn)確高效地解決復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)和功能梯度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)、穩(wěn)定及彎曲等問題。然而，Reddy理論忽略了橫法向應(yīng)變，不能準(zhǔn)確分析中厚板的熱膨脹問題[18]。為推廣Reddy理論在板熱膨脹問題上的應(yīng)用，Wu等[19]提出一種增強(qiáng)型Reddy理論，通過考慮橫法向熱應(yīng)變，提高了Reddy理論處理層合/夾層板熱膨脹問題的數(shù)值精度。與復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)不同，功能梯度材料的材料參數(shù)為厚度方向函數(shù)，特殊的結(jié)構(gòu)導(dǎo)致功能梯度材料熱力載荷作用下應(yīng)力和位移變化規(guī)律更為復(fù)雜。為探究橫法向熱應(yīng)變對(duì)功能梯度梁熱力響應(yīng)的影響，本文提出了考慮橫法向熱應(yīng)變的Reddy型功能梯度梁理論。基于虛位移原理推導(dǎo)了此模型的平衡方程，并應(yīng)用Navier方法[11]得到兩端簡支功能梯度梁的解析解。通過算例評(píng)估了本文模型的性能。

1 理論公式

1.1 橫向位移

溫度場(chǎng)的分布函數(shù)表達(dá)形式為[9]

(1)

εzT=α(z)ΔT(x,z)

(2)

其中：α(z)為功能梯度梁熱膨脹系數(shù)。對(duì)由溫度變化產(chǎn)生的橫法向熱應(yīng)變沿厚度方向積分，可得到橫向熱位移為

(3)

橫向位移的最終表達(dá)式為

w(x,z)=w0(x)+wT(x,z)

(4)

式中：w0(x)為梁中面橫向位移。

1.2 考慮橫法向熱應(yīng)變的三參數(shù)Reddy型功能梯度梁理論(FGRC)

考慮橫法向熱應(yīng)變的三參數(shù)Reddy型功能梯度梁理論初始位移場(chǎng)為

(5)

式中：u0為梁中面位移；u1為梁中面法線關(guān)于y軸的轉(zhuǎn)角；u2和u3為泰勒展開高階項(xiàng)，表示橫截面位移的高階形式。

基于線性位移-應(yīng)變關(guān)系，橫向剪切應(yīng)變?chǔ)脁z可表示為

(6)

橫向剪切應(yīng)力τxz為

τxz=D55(z)γxz

(7)

式中：D55(z)=E(z)/2(1+ν)；E(z)和ν分別為功能梯度梁的彈性模量和泊松比。

由橫向剪切應(yīng)力自由表面條件可知

τxz|z=±h/2=0

(8)

式中：h為梁的厚度。將式(6)和式(7)代入式(8)中，整理后代入式(5)即可得到考慮橫法向熱應(yīng)變的三參數(shù)Reddy型高階功能梯度梁理論的最終位移場(chǎng)為

(9)

式中：

(10)

1.3 本構(gòu)方程

基于線性應(yīng)變-位移關(guān)系，本文模型FGRC的應(yīng)變?yōu)?/p>

(11)

式(11)表明，橫法向熱應(yīng)變已經(jīng)進(jìn)入到面內(nèi)應(yīng)變項(xiàng)和橫向剪切應(yīng)變項(xiàng)中。功能梯度梁本構(gòu)方程的表達(dá)式為

(12)

式中：彈性模量E(z)和熱膨脹系數(shù)α(z)為厚度方向的函數(shù)。由陶瓷和金屬組成的功能梯度梁的彈性模量和熱膨脹系數(shù)表達(dá)式為[9]

(13)

式中：Em、αm和Ec、αc分別為金屬和陶瓷的彈性模量和熱膨脹系數(shù)；k為陶瓷體積分?jǐn)?shù)，它代表材料組分的體積分布規(guī)律，當(dāng)k=0時(shí)，退化為各向同性材料。

1.4 平衡方程

δU-δW=0

(14)

式中：δU為虛變形能；δW為外力所做的虛功。具體形式為

(15)

δW=δWPx+δWq+δWTx0+δWTxa

(16)

式中：A為梁的x-y面；δWPx和δWqx分別為作用在功能梯度梁底面和頂面的分布載荷和橫向載荷所做的虛功；δWTx0和δWTxa為作用在功能梯度梁上的橫向剪切載荷所做的虛功。

根據(jù)變分原理推導(dǎo)出考慮橫法向熱應(yīng)變的功能梯度梁平衡方程為

(17)

式中：Nx為功能梯度梁橫截面上的內(nèi)力；Mxφ1和Mxφ2為功能梯度梁橫截面上的彎矩；Vφ1和Vφ2為功能梯度梁橫截面上的扭矩；Px0、Px1和Px2為作

圖1 在不同載荷作用下的功能梯度梁Fig.1 Functionally graded beam subjected to different loadings

用在功能梯度梁上的面力；q0為作用在功能梯度梁上的橫向載荷。各物理量的具體表達(dá)形式為

式中：

1.5 解析解

應(yīng)用Navier方法[11]求解兩端簡支功能梯度梁的解析解。其所受外部載荷和溫度載荷的表達(dá)式為

(18)

(19)

滿足邊界條件的試函數(shù)為

(20)

將式(20)代入到式(17)中，整理系數(shù)可得位移參數(shù)u01、u11和w01。

產(chǎn)業(yè)間分工是世界上最傳統(tǒng)的貿(mào)易分工形式，它產(chǎn)生于較低的生產(chǎn)力水平和較低分工程度的背景下，理論上主要是用斯密的絕對(duì)優(yōu)勢(shì)和李嘉圖的比較優(yōu)勢(shì)原理來解釋的，而產(chǎn)業(yè)內(nèi)分工則產(chǎn)生于20世紀(jì)70年代，它是隨著社會(huì)生產(chǎn)力的不斷提高、分工程度的進(jìn)一步深化而出現(xiàn)的貿(mào)易分工形式，理論上主要是用規(guī)模經(jīng)濟(jì)等理論來解釋的，是從需求和供給兩個(gè)方面來考慮貿(mào)易產(chǎn)生的源泉。[2]由此可見，這兩種貿(mào)易分工形式產(chǎn)生于不同的社會(huì)背景，在理論解釋方面存在著顯著差異，但二者依然是在標(biāo)準(zhǔn)貿(mào)易理論框架中進(jìn)行研究的,其研究對(duì)象為最終產(chǎn)品，并不考慮產(chǎn)品生產(chǎn)過程發(fā)生工序和區(qū)段國際分工的可能性。

將參數(shù)代入式(9)中可得到面內(nèi)位移、橫向位移及面內(nèi)應(yīng)力為

使用三維平衡后處理方法得到橫向剪切應(yīng)力為

Φ3λ3Ti+β(z)f(z)λTi)dzx=0

2 算例與分析

本節(jié)主要驗(yàn)證所提模型的精度并基于此模型分析兩端簡支功能梯度梁的熱力響應(yīng)。圖表和圖片中字母縮寫分別為：Exact—Kapuria計(jì)算的精確解[20]；HSDT-98—基于Matsunaga高階理論[21]的解析解，此模型面內(nèi)位移展開九階多項(xiàng)式，橫向位移展開八階多項(xiàng)式，包含19個(gè)位移變量；FGRC—基于考慮橫法向熱應(yīng)變的Reddy型功能梯度梁理論計(jì)算的解析解，包含3個(gè)位移變量；FGRD—基于忽略橫法向熱應(yīng)變的Reddy型功能梯度梁理論[11]計(jì)算的解析解；SPT—基于正弦剪切變形理論計(jì)算的解析解[8]；FSDT—基于一階剪切變形理論計(jì)算的解析解[2]。

2.1 夾芯梁熱膨脹問題

基于本文模型FGRC分析復(fù)合材料夾芯梁熱膨脹問題。溫度載荷為[21]

ΔT(x,z)=T0sin(πx/a)

材料參數(shù)[21]如下所述。

表面層(h/10×2)：EL=E0,ET=0.04E0,GTT=0.02E0，GLT=0.008E0,E0=144.8 GPa,νLT=0.25，αL=0.139×10-6/℃,αT=9×10-6/℃。

面內(nèi)應(yīng)力σx與橫向剪切應(yīng)力τxz的無量綱形式為

圖2給出了夾芯梁面內(nèi)應(yīng)力和橫向剪切應(yīng)力沿厚度方向的分布。

圖2 沿夾芯梁厚度方向分布的應(yīng)力(a/h=5)Fig.2 Stress along thickness direction of sandwich beam (a/h=5)

從圖2中可以看出基于模型FGRC計(jì)算的面內(nèi)應(yīng)力和橫向剪切應(yīng)力與精確解[21]吻合良好，然而由于忽略了橫法向熱應(yīng)變，基于模型FGRD計(jì)算的結(jié)果精度較低。此外，高階理論HSDT-98能夠準(zhǔn)確計(jì)算溫度載荷作用下夾芯梁的應(yīng)力和位移，但該理論包含19個(gè)位移變量，本文所建模型僅包含3個(gè)位移變量，故此模型處理夾芯梁熱膨脹問題準(zhǔn)確高效。高階理論HSDT-98計(jì)算結(jié)果與精確解吻合良好，此模型可作為下面研究功能梯度梁熱力問題的參考解。

2.2 功能梯度梁熱力響應(yīng)問題

基于本文模型分析由鋁和氧化鋁構(gòu)成的功能梯度梁熱力響應(yīng)。材料參數(shù)如下[10]所述。

鋁：Ea=70 GPa,ν=0.3,αa=23×10-6/℃。

氧化鋁：Ean=380 GPa,ν=0.3,αan=7.4×10-6/℃。

位移和應(yīng)力的無量綱表達(dá)式為

為討論不同載荷作用下功能梯度梁的熱力響應(yīng)，分別給出兩端簡支功能梯度梁受不同溫度載荷和橫向載荷時(shí)的算例。

1) 溫度載荷和橫向載荷分別為ΔT(x,z)=T0sin(πx/a)和q=q0sin(πx/a)。

圖3為功能梯度梁在熱力載荷作用下的位移和應(yīng)力分布情況(q0=100 N/m,T0=100 ℃)。

圖3 熱力載荷作用下沿功能梯度梁厚度方向分布的位移和應(yīng)力(k=2,a/h=4) Fig.3 Displacements and stresses along thickness direction of functional graded beam subjected to thermomechanical loading (k=2,a/h=4)

圖4為功能梯度梁在溫度場(chǎng)(T0=100 ℃,T1=100 ℃)和橫向載荷(q0=100 N/m)作用下面內(nèi)位移和面內(nèi)應(yīng)力的分布。數(shù)值結(jié)果表明基于模型FGRC的計(jì)算結(jié)果與模型HSDT-98吻合良好(k=1,a/h=4)。由于忽略了橫法向熱應(yīng)變，模型FGRD、SPT和FSDT不能準(zhǔn)確計(jì)算功能梯度梁熱應(yīng)力和位移。

表1對(duì)比功能梯度梁不同體積分?jǐn)?shù)和跨厚比的位移和應(yīng)力(q0=100N/m,T0=100℃)

Table1Comparisonofdisplacementandstressesinfunctionalgradedbeamsofdifferentvolumefractionsandspan-to-thicknessratios(q0=100N/m,T0=100℃)

Volumefractionka/hModalu(0,-h/2)σx(a/2,-h/2)0.52.55.0HSDT-98-6.5581-0.6482FGRC-6.5786(0.31)-0.4722(17.60)FGRD-5.8476(10.83)-0.9371(44.57)HSDT-98-6.0319-0.8428FGRC-6.0301(0.03)-0.8210(2.59)FGRD-5.8475(3.05)-0.9372(11.20)0.82.55.0HSDT-98-7.6949 0.2182FGRC-7.7345(0.51) 0.2629(20.48)FGRD-6.8479(11.01)-0.3010(237.94)HSDT-98-7.0686-0.1802FGRC-7.0694(0.01)-0.1601(11.15)FGRD-6.8480(3.12)-0.3009(66.98)2.02.55.0HSDT-98-9.4804 1.3730FGRC-9.5934(1.19) 1.4450(5.24)FGRD-8.4849(10.50) 0.7401(46.10)HSDT-98-8.7449 0.9054FGRC-8.7602(0.17) 0.9151(1.07)FGRD-8.4834(2.99) 0.7391(18.36)

Note：The values in bracket are the error ratio of results obtained by different models compared with HSDT-98, %.

圖4 沿功能梯度梁厚度方向分布的位移和應(yīng)力(k=1, a/h=4)Fig.4 Displacements and stresses along thickness direction of functionally graded beam (k=1, a/h=4)

3 結(jié) 論

為準(zhǔn)確分析功能梯度梁熱力行為，本文提出一種考慮橫法向應(yīng)變的Reddy型功能梯度梁理論FGRC。此模型雖然考慮橫法向熱應(yīng)變，但不增加額外位移變量?；贜avier方法給出了兩端簡支功能梯度梁在熱力載荷作用下的解析解，通過分析位移和應(yīng)力可得到如下結(jié)論：

1) 由于忽略了橫法向熱應(yīng)變，Reddy理論FGRD、正弦剪切變形理論SPT及一階剪切變形理論FSDT不能夠準(zhǔn)確分析功能梯度梁的熱力響應(yīng)。

2) 本文所建模型考慮了橫法向熱應(yīng)變，并應(yīng)用橫向剪切應(yīng)力自由表面條件將橫法向熱應(yīng)變引入面內(nèi)應(yīng)變項(xiàng)(式(11))，提高了預(yù)測(cè)功能梯度梁熱力響應(yīng)問題的精度。數(shù)值結(jié)果表明基于本文所建模型FGRC計(jì)算的應(yīng)力和位移與精確解吻合良好，此模型僅包含3個(gè)獨(dú)立的位移變量，故分析功能梯度梁熱力響應(yīng)問題準(zhǔn)確高效。

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(責(zé)任編輯： 徐曉)

*Correspondingauthor.E-mail:wuzhenhk@163.com

AReddy-typetheoryoffunctionallygradedbeamconsideringtransversenormalthermalstrain

XUQi,WUZhen*

LiaoningProvinceKeyLaboratoryonCompositeStructuralAnalysisandSimulationofAerocraft,ShenyangAerospaceUniversity,Shenyang110136,China

TheReddy-typehigher-ordertheoryhasbeenwidelyusedforanalysisofFunctionallyGradedMaterial(FGM)structures.However,thetheoryneglectstransversenormalstrain,andwillthusencounterdifficultiesinanalysisofthethermomechanicalbehaviorsofthefunctionallygradedbeam.ToimprovetheperformanceofReddy’stheory,aReddy-typehigher-ordertheoryconsideringtransversenormalthermalstrainwiththreedisplacementparametersisproposed.Althoughtransversenormalthermalstrainistakenintoaccount,thenumberofdisplacementparametersisnotincreasedinthetheory.Themodelproposedisusedtoinvestigatethermomechanicalresponseofthefunctionallygradedbeam,andalsotheeffectofvolumefractiononstressanddisplacementoffunctionallygradedbeam.Numericalresultsshowedthattheproposedmodelcancalculateaccuratelythethermomechanicalresponseofthefunctionallygradedbeam,andcanimprovethecalculationaccuracyofthemodelsfortransversenormalthermalstrain.

Reddy-typehigher-ordertheory;functionallygradedbeam;transversenormalthermalstrain;analyticalsolution;thermomechanicalanalysis

2016-11-07;Revised2017-02-16;Accepted2017-03-23;Publishedonline2017-04-120851

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170412.0851.002.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(11272217，11402152)

2016-11-07；退修日期2017-02-16；錄用日期2017-03-23； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間：2017-04-120851

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國家自然科學(xué)基金 (11272217，11402152)

.E-mailwuzhenhk@163.com

許琦， 吳振. 考慮橫法向熱應(yīng)變的Reddy型功能梯度梁理論J. 航空學(xué)報(bào)，2017，38(8)：220918.XUQ,WUZ.AReddy-typetheoryoffunctionallygradedbeamconsideringtransversenormalthermalstrainJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(8):220918.

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V257

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1000-6893(2017)08-220918-09