恒定元流伯努利能量方程教學探索

鄭坤燦+龐潤芳+陳偉鵬+龐赟佶+陳俊俊+武文斐

摘 要： 如何在流體力學教學中避免較多的數(shù)學推導，讓學生更多地關(guān)注原理本身的物理意義和應(yīng)用是本文要探討的問題。根據(jù)能量守恒思想直接得到伯努利能量方程，即元流中流入的機械能等于流出的機械能，而流體機械能正好是動能、位能和壓能之和。與兩種傳統(tǒng)教學方法的對比中看出，該方法避開了傳統(tǒng)功能原理應(yīng)用過程的繁瑣推導，同時也繞過了學生直接接觸更困難的N-S方程這一障礙。從而使之易懂易學，并為流體力學教學改革和教材更新提供了更好的思路和方法。

關(guān)鍵詞： 流體力學； 能量守恒； 伯努利能量方程； 教學改革

中圖分類號：G642.0；0351.2 文獻標志碼：A 文章編號：1006-8228（2017）11-90-02

Reform on teaching of Bernoulli energy equation of one-dimensional flow

Zheng Kuncan1， Pang Runfang2， Chen Weipeng1， Pang Yunji1， Chen Junjun1， Wu Wenfei1

（1. Energy and Environment School， Inner Mongolia University of Science and Technology， Baotou， Inner Mongolia 014010， China；

2. Engineering Training Center， Inner Mongolia University of Science and Technology）

Abstract： How to avoid more mathematical deduction in the teaching of fluid mechanics， to make students pay more attention to the physical meaning and application of the principle itself is the problem to be discussed in this paper. According to the idea of conservation of energy， the Bernoulli energy equation is directly obtained， that is， the inflow mechanical energy is equal to the outflow mechanical energy， and the fluid mechanical energy is just the sum of kinetic energy， potential energy and pressure energy. Compared with the two traditional teaching methods， this method avoids the tedious derivation， and also bypasses the obstacle of students' direct contact with the more difficult N-S equation. So that， it is easy to understand and easy to learn， and provides better ideas and methods for the teaching reform of fluid mechanics and the renewal of teaching materials.

Key words： fluid dynamics； energy conservation； Bernoulli energy equation； teaching reform

0 引言

眾所周知，高等數(shù)學是流體力學中重要的工具和研究手段。然而，在實際教學過程中則不然，數(shù)學卻成了攔路虎。人民網(wǎng)曾經(jīng)報道，霍金當年準備出版《時間簡史》的時候，被出版商告知：每多一個數(shù)學公式便少去一半讀者。英國布里斯托爾大學研究人員在新一期美國《國家科學院學報》上報告說，統(tǒng)計生物學家對同行論文的引用結(jié)果發(fā)現(xiàn)，文章正文中平均每頁每多一個數(shù)學公式，論文被引用的次數(shù)就會下降28%。

同樣的情形出現(xiàn)在教學過程中，枯燥乏味的數(shù)學推導更容易讓讀者和聽眾望而止步，伯努利能量方程就是這樣一個典型案例。該方程是工程流體力學中最重要的方程，應(yīng)用非常廣泛，但由于其推導過程繁瑣導致許多學生望而生畏，避而遠之[1-3]。這就妨礙了學生們對方程重要物理意義的理解及對科學原理的簡潔與美的賞析，所以本文另辟奇徑避開數(shù)學推導直接利用能量守恒思想得到伯努利能量方程。

1 恒定元流伯努利能量方程自然得到

取一元恒定流動的理想不可壓流體如圖1。流體從左側(cè)dA1流入，從右側(cè)dA2流出。流動過程溫度不變即內(nèi)能不變。壓力為p，速度為u，密度為ρ，z0為基準面，z1和z2為進出口距參考面高度。書本上能量方程利用功能原理給出，這里為簡便起見，利用能量守恒直接得到。

流動過程涉及的主要能量包括：

⑴ 流入流出的動能即，m為質(zhì)量流量；

⑵ 流入流出的勢能即mgz，z為距參考面的高度；

⑶ 推動功，由于壓力具有推動流體做功趨勢的能力叫推動功，屬于壓力勢能，簡稱壓能。壓能計算式為pV，V為壓力作用的體積。

另外，流動過程溫度不變無需考慮內(nèi)能，流體無粘性也不用考慮能量損失，與外界也沒有其他功和能的交換，同時恒定流能量變化為0。因此單位時間流入的能量等于單位時間流出的能量，可得恒定一元流能量方程，為：endprint

⑴

因流體不可壓故兩個斷面的流過的質(zhì)量和體積相等，所以式⑴兩邊同除以體積則得單位體積的能量守恒方程（壓強形式）：

⑵

其中：p-靜壓，ρgz-為位置壓，為動壓。

如果式⑴兩邊同除以mg，且把容重γ（=ρɡ）代入則得單位重量即水頭形式的能量守恒方程：

⑶

其中：-壓強水頭，z-位置水頭，-動能水頭。

當流體具有粘性時，流動過程由于粘性會發(fā)生能量損失，所以上述方程中應(yīng)該在右邊加入對應(yīng)的能量損失項，比如方程⑴中加入能量損失E1-2，J；在方程⑵中加入壓能損失項p1-2，Pa或者N/m2；在方程⑶中加入水頭損失項h1-2，m。

2 元流伯努利能量方程三種常用獲得方法的比較

目前絕大多數(shù)工科教科書中伯努利能量方程是根據(jù)功能原理得到，思路為選取一元流控制體，分析受力，計算移動過程合外力做功，計算移動前后機械能的增加，最后得到方程。顯然該方法涉及數(shù)學公式多且推導甚繁。

另外一種方法為許多理科教材所采用，即先推導得到N-S方程，然后再根據(jù)定常、一元和正壓流體等條件簡化微分方程，最后經(jīng)過積分得到伯努利能量方程。這種方法適于研究生教學，對一般院校的本科生不宜采用。

本文中方法沒有用到太多的數(shù)學公式，也沒有用到任何微積分知識和力學理論，只是能量守恒思想的應(yīng)用，簡潔明了，易學易懂，所以建議以后大學流體力學教材和教學過程教師們采用該方法。學生可以在理解方程懂得應(yīng)用明白其重要意義后去體會數(shù)學的奧妙與樂趣。

3 總結(jié)

數(shù)學作為理工科的一門重要的工具課程，有時在學習和教學過程卻成了許多別的課程理解和應(yīng)用的障礙。流體力學伯努利能量方程就可以避開功能原理或者N-S方程繁雜的數(shù)學推導，而直接由能量守恒思想得到。這樣能使許多基礎(chǔ)較差的學生擺脫數(shù)學推導之苦，從而進入更為重要的物理理解和工程應(yīng)用。當然數(shù)學訓練也是必須，可以讓學生在理解了方程的意義和應(yīng)用后，再回過去體會數(shù)學推導的樂趣。

參考文獻（References）：

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