基于PCA的投資組合風(fēng)險(xiǎn)的分散優(yōu)化管理

劉遵雄，唐順發(fā)

（華東交通大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 南昌 330013）

基于PCA的投資組合風(fēng)險(xiǎn)的分散優(yōu)化管理

劉遵雄，唐順發(fā)

（華東交通大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 南昌 330013）

基于上證綜指2009年4月—2011年9月的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)，首先利用熵指數(shù)作為風(fēng)險(xiǎn)分散化程度的度量方式，使用主成分分析方法對(duì)所選財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析。然后建立了均值—分散優(yōu)化模型，不僅優(yōu)化了投資組合分散化結(jié)構(gòu)，使投資組合在預(yù)期收益與分散化程度之間的權(quán)衡得以量化。最后文章以時(shí)間周期型投資組合權(quán)重調(diào)整的策略構(gòu)建證券組合，并利用夏普比率對(duì)其投資績(jī)效進(jìn)行了分析。通過實(shí)證分析證明，經(jīng)過分散化優(yōu)化管理后的投資組合績(jī)效明顯優(yōu)于綜合指數(shù)，有效地分散了投資風(fēng)險(xiǎn)。

投資組合；風(fēng)險(xiǎn)；夏普比率；分散化；熵

在金融投資領(lǐng)域，經(jīng)濟(jì)形勢(shì)越來越復(fù)雜，風(fēng)險(xiǎn)管理一直是資產(chǎn)管理者關(guān)注的熱點(diǎn)問題。在投資領(lǐng)域，風(fēng)險(xiǎn)指的是對(duì)未來收益的不確定，在其投資時(shí)限內(nèi)，為了獲得相應(yīng)的預(yù)期收益而不得不承擔(dān)的損失[1]。而在不完全市場(chǎng)里，風(fēng)險(xiǎn)又可分為系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)[2]，系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是股份公司外部因素，不能由自身控制因素造成的風(fēng)險(xiǎn)，表現(xiàn)為由于國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)政策的調(diào)整和宏觀經(jīng)濟(jì)變動(dòng)，中央銀行利率調(diào)整而造成的整個(gè)市場(chǎng)的證券商品價(jià)格發(fā)生動(dòng)蕩。此類風(fēng)險(xiǎn)涉及面廣，斷裂層大，投資者無論采取任何措施，包括分散投資也無法規(guī)避這種風(fēng)險(xiǎn)；而非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是股份公司由于自身因素而影響其股價(jià)走勢(shì)而形成的風(fēng)險(xiǎn)，它一般只存在于個(gè)別行業(yè)中，來自公司內(nèi)部的微觀因素，對(duì)證券市場(chǎng)的一部分證券產(chǎn)生局部影響，與整個(gè)證券市場(chǎng)不會(huì)發(fā)生系統(tǒng)性的聯(lián)系[3]。自Markowitz在1952年創(chuàng)立投資組合理論以來[4]，投資組合風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)理論逐漸成熟，投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)管理也越來越重視。2004年6月巴塞爾銀行監(jiān)管委員會(huì)通過的《新巴塞爾資本協(xié)議》[5]，更新了對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度，對(duì)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了更加全面的認(rèn)識(shí)。新協(xié)議更加仔細(xì)的考慮了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)、信用風(fēng)險(xiǎn)和其它風(fēng)險(xiǎn)（主要包括操作風(fēng)險(xiǎn)和利率風(fēng)險(xiǎn)）[6-7]。新協(xié)議也對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)、市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)和操作風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算提供了相應(yīng)的參考。因此，風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度和風(fēng)險(xiǎn)分散成為投資理論的核心問題。較多研究者在基于Markowitz投資組合理論，用熵作為投資風(fēng)險(xiǎn)的量化方式[8]，但是熵指數(shù)在風(fēng)險(xiǎn)上的利用的相關(guān)研究寥寥無幾。筆者在研究均值—方差模型的基礎(chǔ)上，用熵指數(shù)對(duì)投資組合的分散化程度進(jìn)行量化，以時(shí)間周期型投資組合權(quán)重調(diào)整的策略（Calendar Rebalancing)，從另一個(gè)角度構(gòu)建證券投資組合模型。所謂時(shí)間周期型權(quán)重調(diào)整策略是指一個(gè)固定時(shí)間周期（如小時(shí)，日，月）結(jié)束后，對(duì)證券組合的權(quán)重按照預(yù)定目標(biāo)的方向進(jìn)行調(diào)整。這樣不僅可以避免MV模型的局限性，還可對(duì)投資組合的分散結(jié)構(gòu)進(jìn)行直觀的分析和管理。

1 模型理論及方法

1.1 投資組合的收益率

假設(shè)對(duì)n只資產(chǎn)進(jìn)行投資組合，投資組合預(yù)期收益率為rp（i為n只資產(chǎn)中的任意一只）

式中：ri為第i只資產(chǎn)的收益率；wi為n維向量，代表組合中投資時(shí)限內(nèi)資產(chǎn)的投資權(quán)重，該投資組合的收益率E（rp）就是每只資產(chǎn)的收益率與權(quán)重之積的累加[9]

則組合預(yù)期收益E（rp）可以寫為[10]

式中：wi是資產(chǎn)i的投資權(quán)重；E（ri）是資產(chǎn)的預(yù)期收益率。

1.2 投資組合的風(fēng)險(xiǎn)

Markowitz在其投資組合理論中,以方差來度量投資風(fēng)險(xiǎn)的大小，即資產(chǎn)收益與其收益率偏離數(shù)的平方的期望[11]

引入相關(guān)系數(shù)以量化兩個(gè)收益之間的相關(guān)性，設(shè)ρij表示證券i和證券j收益率之間的相關(guān)系數(shù)，則有[12]

根據(jù)Bodie和Kane等人在2011年的研究，將組合方差σp2和協(xié)方差Cov（ri，rj）用σij表示，則式（4）則可表示為[13]

對(duì)其開方得到標(biāo)準(zhǔn)差也就是投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差

該標(biāo)準(zhǔn)差被廣泛用來作為投資組合風(fēng)險(xiǎn)的量化標(biāo)準(zhǔn)。設(shè)Σ為資產(chǎn)收益之間的協(xié)方差矩陣，則投資組合風(fēng)險(xiǎn)Var（rp）為：

對(duì)于各資產(chǎn)之間不相關(guān)的投資組合，組合風(fēng)險(xiǎn)可寫作單個(gè)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)源引起的風(fēng)險(xiǎn)的疊加

一個(gè)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)一般會(huì)由許多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)引起，它們之間的相關(guān)性無法直接確定，需要對(duì)它們進(jìn)行相關(guān)處理，使之彼此線性無關(guān)，即利用少數(shù)風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)來解釋收益的方差-協(xié)方差的結(jié)構(gòu)，使保留更多的原始變量的風(fēng)險(xiǎn)信息，且彼此之間線性無關(guān)。

1.3 主成分分析(PCA)

主成分分析是研究變量之間內(nèi)部相關(guān)關(guān)系，探求數(shù)據(jù)的基本結(jié)構(gòu)，進(jìn)行數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化的重要技術(shù)。組合風(fēng)險(xiǎn)由一系列不相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)源組成，筆者引入PCA來提取這些不相干的風(fēng)險(xiǎn)源。PCA就是將收益率協(xié)方差對(duì)稱方陣進(jìn)行特征分解，經(jīng)過正交變換將其轉(zhuǎn)換成新的坐標(biāo)體系——超平面，即n維歐式空間里余維度等于1的線性子空間。最大的風(fēng)險(xiǎn)源投影在第一坐標(biāo)（將其定義為第一主成分組合），第二大風(fēng)險(xiǎn)源投影在第二坐標(biāo)，每一個(gè)主成分組合盡可能多的表達(dá)原來風(fēng)險(xiǎn)源數(shù)據(jù)，也就是說每一個(gè)主成分組合表達(dá)的風(fēng)險(xiǎn)數(shù)據(jù)逐級(jí)遞減。

為了引入PCA，對(duì)（6）式的組合風(fēng)險(xiǎn)可以寫為

由于協(xié)方差矩陣Σ是正定對(duì)稱矩陣，且除對(duì)角線元素以外全部為0，以及是標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣[15]，對(duì)收益協(xié)方差矩陣E進(jìn)行分解

其中：Λ=diag（λ12，λ22，…λn2）是收益協(xié)方差矩陣的特征值向量，對(duì)應(yīng)元素的值為降序排列，E=（e1，e2…en）是對(duì)應(yīng)的特征向量，其值大小同樣是降序排列。經(jīng)過分解后（e1，e2…en）稱之為主成分組合的載荷向量，Λ元素的開方λi即表示第i主成分組合的波動(dòng)率，其大小依次遞減。

設(shè)分解前投資組合的投資權(quán)重向量為wn,則分解后投資權(quán)重可以表示為

Engle（1982）和Bollerlev（1986）等經(jīng)濟(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)金融時(shí)間序列的波動(dòng)在一定時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)出偏高或偏低，這種情況稱之為波動(dòng)的集群性或波動(dòng)的簇?fù)硇訹16]。鄧少春（2008）等人證明了收益率也會(huì)出現(xiàn)相關(guān)的波動(dòng)[17]。在本文中，第n個(gè)主成分組合的波動(dòng)集群為

即波動(dòng)集群的疊加也可解釋為n維主成分組合的總方差。對(duì)波動(dòng)集群進(jìn)行歸一化處理

由式（15）可以看出，歸一化處理后的Sn可以理解為每一個(gè)主成分在全部方差中所占的比重。容易知道它每一項(xiàng)值的大小與對(duì)應(yīng)組合的分散化的程度相關(guān)，且Sn呈現(xiàn)出幾何分布。由于Sn滿足，故可以將Sn視為概率，故引入熵。

1.4 熵

熵首先由Shannon提出,它的意思是熵值越大表示不確定性越大，它所包含的信息量越少；反之不確定性越小，包含的信息量越大，它是利用了隨機(jī)概率的大小來描述不確定性的大小，與投資組合風(fēng)險(xiǎn)的定義相似[18]。因此本研究用熵量化投資組合風(fēng)險(xiǎn)，并用熵的指數(shù)來量化投資組合風(fēng)險(xiǎn)的分散化程度。熵的表達(dá)式

熵的指數(shù)的表達(dá)式

熵與它的指數(shù)的關(guān)系如圖1，由于熵0≤Sn≤1，則ln Sn≤0，則IH（S）≥0，那么對(duì)于含有n只證券的投資組合，熵的指數(shù)取值范圍是0≤IH（S）≤n。故可得出結(jié)論，熵越大，熵指數(shù)越大，組合風(fēng)險(xiǎn)越分散，因此可用熵的指數(shù)度量組合的分散化程度。當(dāng)IH（S）=1時(shí)，投資風(fēng)險(xiǎn)只由一個(gè)主成分組合承擔(dān)，這種情況分散投資的分散程度最低；當(dāng)IH（S）=n，投資風(fēng)險(xiǎn)由n個(gè)主成分組合表示，此時(shí)的分散化程度高。

圖1 熵與其指數(shù)Fig.1 Entropy and its index

1.5 均值—分散優(yōu)化模型

分散投資是減少非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的重要方法，然而并不是越分散投資效益越好。如果資金過度分散，當(dāng)遇到抄底，搶反彈機(jī)會(huì)時(shí)不僅不利于對(duì)資產(chǎn)權(quán)重進(jìn)行靈活調(diào)整，還容易造成投資者缺乏對(duì)風(fēng)險(xiǎn)具備該有的敏感度，難以看清股票和基金的收益變動(dòng)，而導(dǎo)致加重投資損失。因此分散投資時(shí)在收益與分散之間勢(shì)必有所權(quán)衡。故優(yōu)化組合的分散對(duì)于分散投資是不可或缺的。上一節(jié)論述了用熵的指數(shù)量化分散化的程度，則用熵的指數(shù)作橫坐標(biāo)，預(yù)期收益為縱坐標(biāo)，建立均值—分散化有效前沿：

式中：u是預(yù)期收益；θ是權(quán)衡參數(shù)且取值為θ∈［0，1］，表示投資組合資產(chǎn)權(quán)重配置時(shí)在增大收益和增大分散之間作權(quán)衡。當(dāng)θ值取較小值時(shí)，投資頭寸優(yōu)先考慮增大組合分散化；當(dāng)θ值取較大值時(shí)，投資頭寸向增大組合收益的方向考慮資產(chǎn)權(quán)重配置。C是投資約束，包括組合構(gòu)建約束和資產(chǎn)權(quán)重調(diào)整約束。

1.6 權(quán)重調(diào)整約束下投資組合的構(gòu)建

資產(chǎn)配置指的是將固定的資金分配到預(yù)定數(shù)目的證券中的過程，它一般分為兩個(gè)階段：首先是證券組合權(quán)重的初始設(shè)定；然后在投資時(shí)限內(nèi)的后續(xù)調(diào)整?；鸾?jīng)理往往不會(huì)將資產(chǎn)配置看做一次性完成的過程，而是將其視為動(dòng)態(tài)的過程，否則將會(huì)造成嚴(yán)重的損失。為了有更好的投資市場(chǎng)效益，投資人會(huì)根據(jù)市場(chǎng)的變動(dòng)和預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)對(duì)資產(chǎn)配置進(jìn)行調(diào)整，以構(gòu)建最優(yōu)的證券組合[19]。上文中利用主成分分析方法對(duì)組合風(fēng)險(xiǎn)源進(jìn)行空間降維后組成一個(gè)線性空間，投資組合在投資時(shí)限內(nèi)權(quán)重調(diào)整的約束同樣可以視為一個(gè)線性空間，權(quán)重調(diào)整只能在該空間規(guī)定的方向上進(jìn)行。約束方程為

式中X為c×n矩陣，它的行表示權(quán)重調(diào)整約束，利用啟發(fā)式搜索遞歸算法對(duì)權(quán)重調(diào)整約束下的組合進(jìn)行選擇[20]。如果對(duì)組合以c約束，則組合的調(diào)整只能在n-c維無約束的子空間中進(jìn)行。比如，如果前三個(gè)資產(chǎn)權(quán)重維持不變，則c=3，在約束等式表現(xiàn)為1TΔwi＝0，（i=1，2，3）。由于對(duì)前c維有約束的組合，其分散無法操作，因此對(duì)n-c維無約束組合的分散結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化操作。這樣投資人便可隨時(shí)根據(jù)市場(chǎng)變化以最有效的方法管理投資組合風(fēng)險(xiǎn)，以得到更好的投資效益[21]。在這種情況下，投資組合全部風(fēng)險(xiǎn)可以分解為兩個(gè)部分：c維有約束的主成分造成的風(fēng)險(xiǎn)和n-c維無約束的主成分造成的風(fēng)險(xiǎn)。為求出含有c約束的組合資產(chǎn)權(quán)重，首先在c維有約束的子空間里求得有約束的主成分組合，然后根據(jù)前面已經(jīng)構(gòu)建好的組合，在n-c維子空間里求得其余的無約束的組合。

2 模型的建立與求解

根據(jù)以上思路，建立相關(guān)模型。首先求出c維有約束的組合。利用二次規(guī)劃模型

從模型的約束條件可以知道，為求得前c維投資組合，必須令n+c維的值為0。模型的解en即是彼此間不相關(guān)的c個(gè)投資權(quán)重的系數(shù)。從線性空間的角度看，它們也是該線性空間的c個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，且它們的投影長(zhǎng)度依次減小，也就是說其波動(dòng)依次減小。然后再求n-c個(gè)沒有權(quán)重調(diào)整約束的組合

同樣，無權(quán)重調(diào)整約束的組合彼此不相干且其波動(dòng)依次遞減。

為構(gòu)建拉格朗日第一類方程，令eiTΣei=Y，對(duì)（18）式用拉格朗日乘子法求條件極值

可計(jì)算出向量en，n=1，…c，即在權(quán)重調(diào)整約束下的投資組合。在式（19），由于1TΔwi=0，i=1，…，c和1Tei=0，i= 1，…，c都可以表示為對(duì)前c個(gè)組合不進(jìn)行資產(chǎn)權(quán)重變動(dòng)，則令同樣對(duì)式（19）用拉格朗日乘值子法求條件極值

同理可計(jì)算出向量en，n=c+1，…n即n-c個(gè)彼此不相關(guān)的無約束的投資權(quán)重系數(shù)。將式（20）與式（21）的解合并，得到特征向量Ei=（e1，e2，…，en），i=1，…，n也就是n個(gè)互不相關(guān)的投資組合權(quán)重系數(shù)。由于E為標(biāo)準(zhǔn)正交，利用收益率協(xié)方差矩陣分解式（11）進(jìn)行變換可求得對(duì)應(yīng)的特征值，即每個(gè)組合的對(duì)應(yīng)的收益波動(dòng)。

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)的選擇

本文選擇上證綜指中流動(dòng)性較高的大型公司股票，包括能源、材料、金融、信息技術(shù)、通訊服務(wù)等10大行業(yè)共30個(gè)股票，收集樣本期為從2009年4月1日—2011年9月30日的數(shù)據(jù)。按照時(shí)間周期型投資組合權(quán)重調(diào)整的思路，令組合的初始權(quán)重都相等，即每3個(gè)月也就是一個(gè)季度對(duì)投資權(quán)重進(jìn)行調(diào)整。它們的季度收益率＝ln，由式（7）求得投資組合標(biāo)準(zhǔn)差σp。令投資組合預(yù)期收益率由于2010年以前，我國(guó)證券監(jiān)管部分為了便于管理及降低風(fēng)險(xiǎn)，明令禁止賣空。但對(duì)于缺乏賣空機(jī)制的股市，投資者不能做空只能做多，不僅限制了投資組合的運(yùn)作，而且極大地降低了股票市場(chǎng)的有效性[22]。為了減少投資組合由于缺乏賣空機(jī)制對(duì)投資效益的影響，本文從允許賣空和不允許賣空兩個(gè)方面進(jìn)行研究，且它們的資產(chǎn)配置權(quán)重約束分別為，0.2≤wi≤1.0（i=1，…，n），0≤wi≤1.0（i=1，…，n），。

3.2 無權(quán)重調(diào)整約束時(shí)組合分散化分析

沒有調(diào)整約束時(shí)投資組合權(quán)重的調(diào)整可任意改變其權(quán)重。執(zhí)行最優(yōu)化程序，求得特征向量En=（e1，e1，…，en）和對(duì)應(yīng)的特征值λn，由式（12）中，即可求得分解后組合的權(quán)重配置。當(dāng)時(shí)θ=0，投資組合得到分散最大化，由式（15）得到投資組合分散化的分布，如圖2。

由圖3可知，對(duì)于充分分散化的投資組合（即熵的指數(shù)最大，且接近于投資組合的資產(chǎn)個(gè)數(shù)），其分散化的分布形式幾乎一樣，幾乎平均分布于每一個(gè)主成分。這是因?yàn)榉纸庾儞Q后充分分散化的組合的方差在總方差的占比相等，所以導(dǎo)致它們的分散化分布相同。當(dāng)θ=1時(shí)，使得組合的收益最大化，此時(shí)的組合分散化的分布如圖3。

圖2 投資組合分散化分布（最大熵指數(shù)時(shí)）Fig.2 Portfolio diversification distribution（when entropy index reaches themaximum）

圖3 投資組合分散化分布（最大收益時(shí)）Fig.3 Portfolio diversification distribution(when returns reaches themaximum)

由圖可知，取最大收益時(shí)的投資組合分散化的分布基本完全集中在第一個(gè)主成分組合，此時(shí)的投資沒有得到充分分散，因而資產(chǎn)具有很大相關(guān)性，且第一個(gè)投資收益最大。因此也可理解為，頭寸相關(guān)性大小將直接導(dǎo)致投資風(fēng)險(xiǎn)的大小。無論θ=0還是θ=1都不可取，找到θ的最優(yōu)值勢(shì)在必行。因而構(gòu)建均值—分散有效前沿。

當(dāng)允許賣空時(shí)，如圖4。由圖4可清晰的看出，隨著投資組合的分散化水平增大（即熵的指數(shù)的增大），預(yù)期收益逐漸降低，即高分散化水平導(dǎo)致較低預(yù)期收益，低分散化水平導(dǎo)致較高的預(yù)期收益。同時(shí)圖中較明顯出現(xiàn)了兩個(gè)斷點(diǎn)，這是由于分解后的特征值大小出現(xiàn)了相等的情況，這種情況下，投資組合的權(quán)重就可能會(huì)有多種分配的可能，那么會(huì)有多個(gè)最優(yōu)解。

圖4 均值—分散有效前沿（允許做空時(shí)）Fig.4 Mean-diversification efficient frontier(when shorting is allowed)

當(dāng)不允許賣空時(shí)，均值—分散有效前沿如圖5。

圖5 均值—分散有效前沿（不允許做空時(shí)）Fig.5 Mean-diversification efficient frontier(when shorting is not allowed)

比較圖4與圖5可知道，不允許賣空的有效前沿比較光滑，沒有出現(xiàn)斷點(diǎn)，因?yàn)槠錄]有相等的特征值，因此資產(chǎn)權(quán)重就不會(huì)出現(xiàn)相等的情況，這樣提高了最優(yōu)解的唯一性。另外圖5的輪廓相對(duì)比較“凹”，預(yù)期收益下降較快，且?guī)缀跏谴怪毕陆?。這是因?yàn)榇嬖谧隹諜C(jī)制時(shí)，基金經(jīng)理可以利用基金對(duì)沖優(yōu)勢(shì)，對(duì)資產(chǎn)進(jìn)行套期保值，增加資金安全，化解了投資風(fēng)險(xiǎn)，并獲取由于股價(jià)下跌帶來的收益[22]。而在不允許做空的機(jī)制下，當(dāng)投資者預(yù)計(jì)股價(jià)有可能下跌時(shí)，唯一能做的就是拋出股票，空倉(cāng)等待市場(chǎng)的變化。因此它不能利用基金對(duì)沖的優(yōu)勢(shì)，抵抗風(fēng)險(xiǎn)的方法更少，從而導(dǎo)致收益直線下跌。

3.3 權(quán)重調(diào)整約束下投資組合的分散化分析

執(zhí)行最優(yōu)化程序求得c=5，即前5個(gè)主成分資產(chǎn)的權(quán)重不進(jìn)行變動(dòng)。當(dāng)組合的分散達(dá)到最大時(shí)，它的組合分散化的分布圖與無約束時(shí)的分布相比有很大的變化（如圖4），前5個(gè)主成分的分散化分布差距很大，最大的達(dá)到0.44，而最小的只占0.012。因?yàn)樽顑?yōu)化是在所有的組合里進(jìn)行選擇的，所以在有約束的組合中的風(fēng)險(xiǎn)占比出現(xiàn)較大的差距。而在無約束的組合里，分散化分布幾乎均等分布在剩下的組合中，與上文相似，見圖6圖7。

圖6 投資組合分散化分布（最大熵指數(shù)時(shí)）Fig.6 Portfolio diversification distribution（when entropy index reaches themaximum）

圖7 投資組合分散化分布（最大收益時(shí)）Fig.7 Portfolio diversification distribution(when returns reaches themaximum)

而當(dāng)權(quán)衡參數(shù)取最大1，以獲得最大收益時(shí)，有約束的5個(gè)主成分的風(fēng)險(xiǎn)占比很小，幾乎為0。因?yàn)樵搩?yōu)化是以得到最大收益的方向，且調(diào)整約束又是收益較大的方向進(jìn)行選擇，有約束的組合的分散化分布普遍很小。在第6個(gè)組合資產(chǎn)的收益最大，且它的分散化分布達(dá)到0.91，也就是說它的風(fēng)險(xiǎn)幾乎集中在這個(gè)組合中。

建立權(quán)重調(diào)整約束下的均值—分散有效前沿，如圖8。由圖8可知，它的有效前沿較光滑，沒有出現(xiàn)斷點(diǎn)的情況，此時(shí)最優(yōu)解只有一個(gè)。圖8中的預(yù)期收益出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，符合投資不能分散過度，否則將會(huì)適得其反的結(jié)論。

圖8 均值—分散有效前沿（允許做空時(shí)）Fig.8 Mean-diversification efficient frontier(when shorting is allowed)

缺乏做空機(jī)制的有效前沿與上一節(jié)相似，此處不再贅述。

3.4 主成分分析最優(yōu)化分解后的投資組合的夏普比率

很多研究對(duì)于研究投資組合的只考慮了風(fēng)險(xiǎn)或者收益，而夏普比率同時(shí)考慮了收益和風(fēng)險(xiǎn)兩大因素。為了觀察和檢測(cè)優(yōu)化后的組合的投資效果情況，將允許做空機(jī)制下，經(jīng)過均值—分散模型優(yōu)化后的投資組合的夏普比率與上證綜合指數(shù)對(duì)應(yīng)的夏普比率進(jìn)行比較。以一年定期存款利率rf為基準(zhǔn)，夏普比率Sp可以表示為[23]

數(shù)據(jù)的樣本集2009年4月1日到2011年9月30日共有10個(gè)季度，故有10個(gè)周期序列，這段時(shí)間里央行對(duì)利率變動(dòng)了5次，將變動(dòng)后的利率分別帶入對(duì)應(yīng)的序列。計(jì)算后的結(jié)果如表1。

表1 夏普比率的比較Tab.1 Com parison of Sharpe ratios

從表中可以看出，結(jié)果中出現(xiàn)了兩個(gè)較小誤差，這是因?yàn)橹鞒煞址治龇纸鈺r(shí)出現(xiàn)了相同的特征值和特征向量，最優(yōu)解缺乏唯一性，而導(dǎo)致了誤差的出現(xiàn)。但是經(jīng)過分散優(yōu)化管理后組合的夏普比率整體要大于上證綜指的值，分散優(yōu)化管理取得了較為理想的效果。

4 結(jié)論

風(fēng)險(xiǎn)的分散化被現(xiàn)代投資理論視為唯一的“免費(fèi)的午餐”，但是絕非隨意的分散就實(shí)現(xiàn)的，過度的分散不僅不能達(dá)到預(yù)期效果，還可能導(dǎo)致更大的風(fēng)險(xiǎn)。證券之間往往具有相關(guān)性，其風(fēng)險(xiǎn)源之間也有相互的聯(lián)系，通過主成分分析方法對(duì)其進(jìn)行數(shù)據(jù)降維，以去除它們之間的相關(guān)性。為了使分散達(dá)到最好效果，以熵的指數(shù)去量化分散化的程度。受Markowitz MV模型的啟發(fā)，本文建立了均值—分散優(yōu)化模型，為投資組合在預(yù)期收益與分散化程度之間提供了一個(gè)量化的框架。最后利用夏普比率驗(yàn)證了分散優(yōu)化后的投資效果，并通過實(shí)證分析表明，經(jīng)過分散化優(yōu)化管理后的投資組合有效的分散了投資風(fēng)險(xiǎn)。

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Diversification Optim ization Management of Portfolio Risk Based on PCA

Liu Zunxiong，Tang Shunfa
（School of Information Engineering，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China）

Based on the financial data of Shanghai Composite Index from April，2009 to September，2011，this paper firstly adopted the index of entropy as ameasure of the risk diversification degree and the principal component analysis to analyze the risks selected.Then，amean-diversification optimizationmodel was designed to optimize the portfolio diversification structure，and quantify the portfolio’s weight between the expected returns and diversification degree.Finally，it constructed a stock portfolio with the calendar rebalancing and analyzed the investment performance with the Sharpe ratio.The empirical analysis shows that the portfolio performance of diversification optimizationmanagement is better than that of the Shanghai Composite Index，which effectively diversifies the investment risk.

portfolio；risk；Sharpe ratio；diversification；entropy

1005-0523（2017）05-0134-09

F830.59

A

2017－05－02

國(guó)家自然科學(xué)基金（71361009）

劉遵雄（1967—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)榻鹑诮y(tǒng)計(jì)，風(fēng)險(xiǎn)管理。

（責(zé)任編輯 姜紅貴）