基于量子相干性的四體貝爾不等式構(gòu)建?

葉世強 陳小余

(浙江工商大學(xué)信息與電子工程學(xué)院,杭州 310018)

基于量子相干性的四體貝爾不等式構(gòu)建?

葉世強 陳小余?

(浙江工商大學(xué)信息與電子工程學(xué)院,杭州 310018)

貝爾不等式,量子相干性,多體量子態(tài)

貝爾不等式在定域性和實在性的雙重假設(shè)下,對于被分隔的粒子同時被測量時其結(jié)果的可能關(guān)聯(lián)程度建立了一個嚴(yán)格的限制,違反貝爾不等式確保量子態(tài)存在糾纏.本文利用量子相干性的l1和相對熵測度構(gòu)建了四體量子貝爾不等式,發(fā)現(xiàn)一般實系數(shù)Greenberger-Horne-Zeilinger純態(tài)和簇純態(tài)總是違反四體相對熵相干性測度貝爾不等式,因此違反四體相對熵相干性測度貝爾不等式的這些態(tài)是糾纏態(tài).

1 引 言

在實在性的理論中,一個粒子帶有先前的測量結(jié)果會影響現(xiàn)在的測量結(jié)果,并且當(dāng)前的測量結(jié)果是由獨立的觀察者得到的.在定域性的理論中,兩個在不同系統(tǒng)中測量的粒子其結(jié)果是相互獨立的,互不影響.貝爾不等式[1?8]是貝爾1964年提出的一個強有力定理的內(nèi)容.該定理在定域性和實在性的雙重假設(shè)下,對于被分隔的粒子同時被測量時其結(jié)果的可能關(guān)聯(lián)程度建立了一個嚴(yán)格的限制.量子力學(xué)預(yù)測存在許多違反貝爾不等式的現(xiàn)象,這些物理現(xiàn)象的形成的原因是量子態(tài)的非定域性,這是多體量子態(tài)的一個基本屬性.非定域性是量子糾纏[9,10]最重要的特點.如果一個多體的量子態(tài)不能寫成單體量子態(tài)的張量積形式的概率和,則說明這個量子態(tài)是糾纏的.一個二體糾纏純態(tài)[11,12]總是違反貝爾不等式,違反貝爾不等式是檢測一個二體純態(tài)是否糾纏的充分必要條件[13?19],在多體相關(guān)函數(shù)的貝爾不等式中,測量其每個系統(tǒng)的粒子,通常會選擇兩個二元觀察者[20?22].

量子相干性作為一個很重要的概念已經(jīng)被建立起來,尤其是在量子信息理論領(lǐng)域[23?26],如量子生物學(xué)[27?31]和量子熱力學(xué)[32?36]領(lǐng)域的進(jìn)展已經(jīng)顯示了量子相干性在量子信息處理中的特殊作用.在量子信息理論中,人們猜測量子相干性是一種資源[23?26],后來證明量子相干性確實是資源[37,38].文獻(xiàn)[23]提出了測量相干性的測度,包括l1和相對熵測度.通過非相干操作可以將一個具有量子相干性的態(tài)轉(zhuǎn)化成另一個具有量子相干性的態(tài),相干性不增加;提出了相干性和糾纏之間,以及與量子失諧之間的相互關(guān)系[25,39?43].這些結(jié)果有助于這些資源的相互轉(zhuǎn)化.2016年,文獻(xiàn)[44]構(gòu)建了二體l1和相對熵測度的貝爾不等式;文獻(xiàn)[45]研究了三體l1和相對熵相干性測度的貝爾不等式.本文研究四體量子態(tài),并建立了四體l1和相對熵相干性測度下的貝爾不等式.

本文介紹了l1及相對熵相干性測度的定義,以及四體貝爾不等式的定義,構(gòu)建了四體l1和相對熵測度的貝爾不等式;給出了一些違反四體貝爾不等式的典型四體(四量子)糾纏態(tài),結(jié)果顯示,四體一般實系數(shù)Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)純態(tài)和簇純態(tài)總是違反相對熵相干性測度貝爾不等式.

2 量子相干性的兩組測度及四體貝爾不等式

本節(jié)介紹兩組量子相干性測度的定義,l1相干性測度和相對熵相干性測度,及四體貝爾不等式.

2.1 兩組量子相干性測度

對于一個量子態(tài)ρ,在參考基{|i〉}下,文獻(xiàn)[23]提出了兩組合適的相干性測度.l1相干性測度定義如下:

相對熵相干性測度定義如下:

2.2 貝爾不等式

對于測量的每個粒子,可以選擇兩個二元觀察者,文獻(xiàn)[20]推導(dǎo)了一個簡單的一般貝爾不等式,認(rèn)為定域性和實在性是描述N體貝爾不等式的充分必要條件.不等式如下:

不等(4)式中,上標(biāo)1和2代表測量每個子系統(tǒng)粒子所選擇的二元觀察者,(K=A,B,C,D;i=1,2)代表對不同量子比特K執(zhí)行測量操作時得到的測量結(jié)果.

3 四體l1和相對熵相干性測度貝爾不等式

3.1 四體l1相干性測度貝爾不等式

構(gòu)建四體l1相干性測度貝爾不等式,選擇四個觀察者X,Y,Z,和H對應(yīng)于HA,HB,HC和HD的希爾伯特空間.Cl1(ρABCD,X,Y,Z,H)表示ρABCD態(tài)在X,Y,Z,H基組下的l1相干性測度值,Cr(ρABCD,X,Y,Z,H)表示ρABCD態(tài)在X,Y,Z,H基組下的相對熵相干性測度值.

定理1 對于乘積態(tài)ρABCD=ρA?ρB?ρC?ρD,對應(yīng)空間為HA?HB?HC?HD的四體量子系統(tǒng),并且觀察者為(K=A,B,C,D;i=1,2)有

為了簡化,在下文中用BCl1代替不等(5)式的左半部分,在附錄A中給出了不等(5)式的證明過程.

3.2 四體相對熵相干性測度貝爾不等式

對比四體l1相干性測度貝爾不等式,建立了四體相對熵相干性測度貝爾不等式.

定理2 對于乘積態(tài)ρABCD=ρA?ρB?ρC?ρD對應(yīng)的空間為HA?HB?HC?HD的四體量子系統(tǒng),并且觀察者為(K=A,B,C,D;i=1,2)有

為了簡化,在下文中用BCr代替不等式(6)的左半部分,在附錄B中給出了不等式(6)的證明過程.

4 違反四體l1和相對熵相干性測度貝爾不等式

給出了一些違反四體l1和相對熵相干性測度的貝爾不等式的四體量子態(tài),四體糾纏態(tài)意味著態(tài)在所有四個子量子系統(tǒng)中也是糾纏的,這里存在四個不等價的子態(tài):四體GHZ態(tài),W態(tài)[46,47],簇態(tài)[48,49],Dicke態(tài)[50].因此,僅研究這四個態(tài)及其相關(guān)的純態(tài)和混合態(tài)[51,52]是否違反四體l1和相對熵相干性測度貝爾不等式.

類似地,B的基組為

現(xiàn)在,考慮在這些不同基下展開的四體量子態(tài)違反四體和相對熵相干性測度貝爾不等式的情況.

對于四體一般實系數(shù)GHZ純態(tài)|ψGHZ4〉=cosθ|0000〉+sinθ|1111〉,θ∈(0,π),經(jīng)過仔細(xì)計算,得到BCl1=47|sin(2θ)|?8|cos(2θ)|+35. 類似地,得到

由圖1(a)可以得到,在參數(shù)的大部分區(qū)域,四體一般實系數(shù)GHZ純態(tài)違反四體l1相干性測度貝爾不等式.由圖1(b)可以得到,在θ∈(0,π)時,BCr總是大于16,這就意味著四體一般實系數(shù)GHZ純態(tài)總是違反四體相對熵相干性測度貝爾不等式,因此四體一般實系數(shù)GHZ純態(tài)是糾纏態(tài).

圖1 四體一般實系數(shù)GHZ純態(tài)(a)BCl1和(b)BCr隨參數(shù)θ的變化Fig.1.(a)BCl1,(b)BCras a function of the parameters θ for the four partite general pure GHZ states with the real coefficients.

從圖2可以得到,加入的白噪聲參數(shù)p的GHZ類混合態(tài)在0＜p＜0.141內(nèi)違反四體相對熵相干性測度貝爾不等式.

圖2 四體GHZ類混合態(tài)BCr隨參數(shù)p的變化Fig.2.BCras a function of the parameters p for the four partite GHZ class mixed states.

從圖4可以得到,加入的白噪聲參數(shù)p的簇類混合態(tài)在0＜p＜0.11內(nèi)違反四體相對熵相干性測度貝爾不等式.

對于四體一般實系數(shù)簇純態(tài)

經(jīng)過仔細(xì)計算,得到BCl1和BCr是比較復(fù)雜的表達(dá)式,我們用圖像來分析表達(dá)式的結(jié)果.在圖3(a)中,用θ1,θ2,θ3三個參數(shù)分別對應(yīng)深度、寬度、高度方向,圖右側(cè)的長方形顏色條形塊用不同的顏色表示在不同的參數(shù)下表達(dá)式的值,下文的其他求純態(tài)BCl1和BCr變化圖也這樣表示,由圖3(a)可以看出,BCl1在參數(shù)θ1,θ2,θ3的大部分區(qū)域都大于60,因此四體一般實系數(shù)簇純態(tài)在大部分區(qū)域都違反四體l1相干性測度貝爾不等式.BCr在θ1,θ2,θ3∈(0,2π)時值總是大于16,總是違反四體相對熵相干性測度貝爾不等式,因此,四體一般實系數(shù)簇純態(tài)是糾纏態(tài).|0100〉+|1000〉),經(jīng)過計算,可得,BCl1≈67.8＞60,BCr≈16.704＞16,因此,四體W態(tài)違反四體l1和相對熵相干性測度貝爾不等式.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)四體一般實系數(shù)簇純態(tài) (a)BCl1和(b)BCr 隨參數(shù) θ1,θ2,θ3的變化Fig.3.(color online)(a)BCl1,(b)BCras a function of the parameters θ1,θ2,θ3for the four partite general pure Cluster states with the real coefficients.

圖4 四體簇類混合態(tài)BCr隨參數(shù)p的變化圖Fig.4.BCras a function of the parameter p for the four partite general Cluster class mixed states.

對于四體一般實系數(shù)W純態(tài)

經(jīng)過仔細(xì)計算,得到的BCl1和BCr的表達(dá)式同樣比較復(fù)雜.由圖5(a)可以看出,BCl1在參數(shù)θ1,θ2,θ3的大部分區(qū)域都大于60,因此四體一般實系數(shù)W純態(tài)在大部分區(qū)域都違反四體l1相干性測度貝爾不等式;由圖5(b)可以看出,在BCr在θ1,θ2,θ3∈(0,2π)時的值大部分區(qū)域都大于16,因此四體一般實系數(shù)W純態(tài)在大部分區(qū)域都違反四體相對熵相干性測度貝爾不等式.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)四體一般實系數(shù)W純態(tài)(a)BCl1和(b)BCr 隨參數(shù) θ1,θ2,θ3 的變化Fig.5.(color online)(a)BCl1,(b)BCras a function of the parameters θ1,θ2,θ3for the four partite general W pure states with the real coefficients.

圖6 四體W類混合態(tài)BCr隨參數(shù)p的變化Fig.6.BCras a function of the parameter p for the four partite W mixed class states.

從圖6可以得到,加入的白噪聲參數(shù)p的W類混合態(tài)在0＜p＜0.01內(nèi)違反四體相對熵相干性測度貝爾不等式.

圖7 四體Dicke類混合態(tài)BCr隨參數(shù)p的變化Fig.7.BCras a function of the parameter p for the four partite Dicke class mixed states.

從圖7可以得到,加入的白噪聲參數(shù)p的Dicke類混合態(tài)在0＜p＜0.008內(nèi)違反四體相對熵相干性測度貝爾不等式.

5 結(jié) 論

本文構(gòu)建了四體l1和相對熵相干性測度貝爾不等式,計算發(fā)現(xiàn)四體GHZ態(tài)、簇態(tài)、W態(tài)、Dicke態(tài)都違反四體l1和相對熵測度的貝爾不等式,對于這些態(tài)的一般實系數(shù)純態(tài),四體GHZ和簇純態(tài)在各自的參數(shù)θ和θ1,θ2,θ3的區(qū)間內(nèi)總是違反四體相對熵相干性測度貝爾不等式,在區(qū)間內(nèi)的大部分區(qū)域違反四體l1相干性測度貝爾不等式.四體W態(tài)在參數(shù)θ1,θ2,θ3的大部分區(qū)域違反四體和相對熵相干性測度貝爾不等式.對于這些態(tài)的混合態(tài),在加入白噪聲參數(shù)p的區(qū)間內(nèi),我們發(fā)現(xiàn)這四個態(tài)違反四體l1和相對熵相干性測度貝爾不等式邊界值的程度決定了這些態(tài)的混合態(tài)加入白噪聲參數(shù)p區(qū)間的大小,四體GHZ態(tài)、簇態(tài)、W態(tài)、Dicke態(tài)違反四體l1和相對熵相干性測度貝爾不等式的程度越大,其混合態(tài)違反四體l1和相對熵相干性測度貝爾不等式的白噪聲參數(shù)p區(qū)間越大,即可以加入更多的噪聲.對于這些總是違反四體相對熵相干性測度貝爾不等式的四體一般實系數(shù)純態(tài),可以確定這些態(tài)是糾纏態(tài).本文只運用了l1和相對熵相干性測度來構(gòu)建四體貝爾不等式,幾何相干性測度[25]和魯棒相干性測度[54]構(gòu)建四體貝爾不等式是否可行也是一個值得研究的內(nèi)容.

附錄A 定理1l1相干性測度下的貝爾不等式

證明 對于ρABCD=ρA?ρB?ρC?ρD,可以證明得到如下等式

由于1≤≤2,(A2)式的絕對值為

通過不等式(A3),發(fā)現(xiàn)定理成立.證畢.

在ρA,ρB,ρC,ρD都為最大非相干純態(tài)時, 此時這個不等式剛好到達(dá)臨界值.

附錄B 定理2 相對熵相干性測度下的貝爾不等式

證明 對于張量積ρA?ρB?ρC?ρD相對熵相干性測度,滿足

利用等式(B1),可以得到不等(6)式的左邊部分為

證畢.

在ρA,ρB,ρC,ρD都為最大非相干純態(tài)時,這個不等式也同樣剛好到達(dá)臨界值.

[1]Bell J S 1964Physics1 195

[2]Greenberger D M,Horne M A,Shimony A,Zeilinger A,Am J 1990Physica58 1131

[3]Clauser J F,Horne M A,Shimony A,Holt R A 1969Phys.Rev.Lett.23 880

[4]Mermin N D 1990Phys.Rev.Lett.65 1838

[5]Ardehali M 1992Phys.Rev.A46 5375

[6]BelinskiiAV,Klyshko D N 1993Phys.Usp.36 653

[7]Peres A 1999Found.Phys.29 589

[8]Pitowsky I,Svozil K 2001Phys.Rev.A64 014102

[9]Horodecki R,Horodecki P,Horodecki M,Horodecki K 2009Rev.Mod.Phys.81 865

[10]Wang X Q,Lu H X,Zhao J Q 2011Acta Phys.Sin.60 110301(in Chinese)[王曉芹,逯懷新,趙加強2011物理學(xué)報60 110301]

[11]Chen J L,Wu C F,Kwek L C,Oh C H 2004Phys.Rev.Lett.93 140407

[12]Yu S X,Chen Q,Zhang C J,Lai C H,Oh C H 2012Phys.Rev.Lett.109 120402

[13]Gisin N 1991Phys.Lett.A154 201

[14]Gisin N,Peres A 1992Phys.Lett.A162 15

[15]Silva R,Gisin N,Guryanova Y,Popescu S 2015Phys.Rev.Lett.114 250401

[16]Gisin N 2015 arXiv:1509.00767

[17]Gisin N,Tanzilli S,Tittel W 2015Europhys.News46 36

[18]Pütz G,Aktas D,Martin A,Fedrici B,Tanzilli S,Gisin N 2016Phys.Rev.Lett.116 010401

[19]Xie L J,Zhang D Y,Wang X W,Zhan X G,Tang S Q,Gao F 2011Chin.Phys.B20 080301

[20]Zukowski M,Brukner C 2002Phys.Rev.Lett.88 210401

[21]Sen A,Sen U,Zukowski M 2002Phys.Rev.A66 062318

[22]Zhao J Q,Cao L Z,Lu H X,Wang X Q 2013Acta Phys.Sin.62 120301(in Chinese)[趙加強,曹連振,逯懷新,王曉芹2013物理學(xué)報62 120301]

[23]Baumgratz T,Cramer M,Plenio M B 2014Phys.Rev.Lett.113 140401

[24]Girolami D 2014Phys.Rev.Lett.113 170401

[25]Streltsov A,Singh U,Dhar H S,Bera M N,Adesso G 2015Phys.Rev.Lett.115 020403

[26]Mondal D,Pramanik T,Pati A K 2017Phys.Rev.A95 010301

[27]Abbott D,Davies P,Pati A K 2008Quantum Aspects of Life(London:Imperial College Press)

[28]Plenio M B,Huelga S F 2008New J.Phys.10 113019

[29]Rebentrost P,Mohseni M,Aspuru-Guzik A 2009J.Phys.Chem.B113 9942

[30]Lloyd S 2011J.Phys.Conf.Ser.302 012037

[31]Huelga S,Plenio M 2013Contemp.Phys.54 181

[32]Rodr?guez-Rosario C A,Frauenheim T,Aspuru-GuzikA 2013 arXiv:1308.1245

[33]Lostaglio M,Jennings D,Rudolph T 2015Nat.Commun.6 6383

[34]Narasimhachar V,Gour G 2015Nat.Commun.6 7689

[35]Lostaglio M,Korzekwa K,Jennings D,Rudolph T 2015Phys.Rev.X5 021001

[36]Gardas B,De ff ner S 2015Phys.Rev.E92 042126

[37]Singh U,Bera M N,Misra A,Pati A K 2015 arXiv:1506.08186

[38]Winter A,Yang D 2016Phys.Rev.Lett.116 120404

[39]Singh U,Bera M N,Dhar H S,Pati A K 2015Phys.Rev.A91 052115

[40]Kumar A 2017Phys.Lett.A381 991

[41]Xi Z J,Li Y M,Fan H 2015Sci.Rep.5 10922

[42]Yao Y,Xiao X,Ge L,Sun C P 2015Phys.Rev.A92 022112

[43]Cheng S,Hall M J W 2015Phys.Rev.A92 042101

[44]Bu K F,Kumar A,Wu J D 2016 arXiv:1603.06322

[45]Qiu L,Liu Z,Pan F 2016 arXiv:1610.07237

[46]Dür W,Vidal G,Cirac J I 2000Phys.Rev.A62 062314

[47]Chen X Y,Wang T T 2015Chin.Phys.B24 080303

[48]Gühne O,Jungnitsch B,Moroder T,Weinstein Y S 2011Phys.Rev.A84 052319

[49]KhosaA H,Saif F 2010Chin.Phys.B19 040309

[50]Kiesel N,Schmid C,Tóth G,Solano E,Weinfurter H 2007Phys.Rev.Lett.98 063604

[51]Chen J L,Su H Y,Xu Z P,Wu Y C,Wu C F,Ye X J,Zukowski M,Kwek L C 2015Sci.Reports5 11624

[52]Xu J Z,Guo J B,Wen W,Bai Y K,Yan F L 2012Chin.Phys.B21 080305

[53]PittengerA O,Rubin M H 2000Opt.Commun.179 447

[54]Napoli C,Bromley T R,Cianciaruso M,Piani M,Johnston N,Adesso G 2016Phys.Rev.Lett.116 150502

Four-partite Bell inequalities based on quantum coherence?

Ye Shi-Qiang Chen Xiao-Yu?

(College of Information and Electronic Engineering,Zhejiang Gongshang University,Hangzhou 310018,China)

23 May 2017;revised manuscript

12 July 2017)

It is well known that Bell inequalities are derived under the assumptions of locality and realism.Bell inequalities impose strict constraints on the statistical correlations of measurements of multipartite systems.Violating each of them guarantees the existence of quantum correlations in a quantum state.A quantum state with non-vanishing entanglement may violate some Bell inequalities.Recent progress of the fi elds like quantum biology and quantum thermodynamics reveals a particular role of quantum coherence in quantum information processing.Quantum coherence is identi fi ed by the presence of o ff-diagonal terms in the density matrix.To quantify quantum coherence of a given state,Baumgratzet al.(Baumgratz T,Cramer M,Plenio M B 2014Phys.Rev.Lett.113 140401)provided several kinds of coherence measures such asl1-norm of coherence and relative entropy of coherence.In this paper,we propose to use quantum coherence to derive Bell inequalities.We construct the Bell inequalities of four-partite product states withl1-norm of coherence,relative entropy of coherence.In the Bell inequalities of four-partite correlations,measurement operators are products of local measurement operators.Each local operator is one of the two arbitrary observables.We consider the violations of the four-partite Bell inequalities by the four-partite general pure Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)state,cluster states,W states with real coefficients.We also investigate the violations of the four-partite Bell inequalities by the four-partite GHZ class mixed states,cluster class mixed states,W class mixed states and Dicke class mixed states.It is shown that the four-partite Bell inequalities in terms of relative entropy of coherence are always violated by the four-partite general pure GHZ states,cluster states with the real coefficients.Hence there is non-vanishing entanglement for these states.

Bell inequalities,quantum coherence,multipartite quantum states

(2017年5月23日收到;2017年7月12日收到修改稿)

10.7498/aps.66.200301

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:11375152)資助的課題.

?通信作者.E-mail:xychen@zjgsu.edu.cn

?2017中國物理學(xué)會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

PACS:03.67.Mn,03.65.UdDOI:10.7498/aps.66.200301

*Project support by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11375152).

?Corresponding author.E-mail:xychen@zjgsu.edu.cn