微積分在力學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：微積分在大學(xué)物理特別是力學(xué)中有著極其廣泛的應(yīng)用。用微積分方法解決力學(xué)問(wèn)題，是力學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)。本文通過(guò)闡述力學(xué)中不同的物理量及公式推導(dǎo)過(guò)程所體現(xiàn)的微積分思想，可以很好地分析和處理力學(xué)問(wèn)題，幫助學(xué)生理解微積分的重要作用及思想本質(zhì)，使得學(xué)生熟練應(yīng)用微積分解決力學(xué)問(wèn)題，有效提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：微積分；力學(xué)；應(yīng)用；學(xué)習(xí)質(zhì)量

力學(xué)是大學(xué)物理的重要教學(xué)內(nèi)容，在物理課程設(shè)置中占據(jù)基礎(chǔ)地位。物理課程的開(kāi)設(shè)，能夠使學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)力學(xué)的基礎(chǔ)理論知識(shí)，為后續(xù)課程學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)，同時(shí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維和創(chuàng)作性思維，形成正確分析及解決物理問(wèn)題的能力及提升物理學(xué)科的課堂教學(xué)效果，對(duì)將來(lái)從事的科學(xué)研究學(xué)習(xí)也有很好地促進(jìn)作用。

一、微積分思想的重要性

力學(xué)所研究的物理量，有些不是穩(wěn)恒量和離散量，而是變量和連續(xù)量，如變力做的總功，變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度等，所討論的問(wèn)題更加復(fù)雜、實(shí)際。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)積極指導(dǎo)學(xué)生建立微積分思想，將微積分思想與力學(xué)變量問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)微積分在力學(xué)中應(yīng)用的理解。

二、微積分在力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

微積分思想就是“微元法”和“無(wú)限逼近”。通過(guò)對(duì)復(fù)雜的物理變量無(wú)限分割成多個(gè)微元，則局域范圍無(wú)限變小，近似處理也越精確，則理論上可認(rèn)為這限小的量為常量，這個(gè)即為微分；對(duì)所有無(wú)限多個(gè)微分的研究結(jié)果累積求和，即為積分，由此可得所求的那個(gè)變量，這就是微積分的思想本質(zhì)。

（一）速度及加速度問(wèn)題

例1：某質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為[rt=xti+ytj=3ti+3-t3j]，計(jì)算質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的速度[v]和加速度[a]。

方法：由運(yùn)動(dòng)方程可知該質(zhì)點(diǎn)做變速運(yùn)動(dòng)，利用微積分思想，速度時(shí)刻改變，求解瞬時(shí)速度，可把運(yùn)動(dòng)分成很多個(gè)時(shí)間很短的微運(yùn)動(dòng)，在每個(gè)很短的時(shí)間間隔內(nèi)，可認(rèn)為做勻速運(yùn)動(dòng)，即[?t→0]，平均速度的極限值為瞬時(shí)速度[v]：[v=lim?t→0?r?t=drdt=3i-3t2j]。

同理，可得加速度[a]：[a=lim?t→0?v?t=dvdt=-6tj]。

例2：如圖1所示，有人以勻速率[v0]收繩，使得湖中的船往岸邊運(yùn)動(dòng)，求小船的速度（結(jié)果用[v0和θ]表示）。

步驟：設(shè)小船的速度為[v]，設(shè)圖中繩的長(zhǎng)度為[l]，岸邊的高度為[h]，船離岸邊的距離[x]，則：[l2=x2+h2]。

兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：[ldldt=xdxdt]。

由此可得小船的速度：[v=-dxdt=-lxdldt=lxv0=v0cosθ]。

由此可知，在力學(xué)速度、加速度變量的求解中，通過(guò)對(duì)位移元、速度元、時(shí)間元等微元進(jìn)行了利用，從而求的相關(guān)變量；反之，若已知速度和加速度（非穩(wěn)恒量）求解位移，則利用積分思想，微元求和，進(jìn)行疊加積分。

（二）動(dòng)量和沖量問(wèn)題

根據(jù)牛頓第二定律，[F合]等于動(dòng)量[p]隨時(shí)間t的變化率，因此對(duì)任一時(shí)刻t，將時(shí)間取微元，可得：[F=lim?t→0?p?t=dpdt=mdvdt=ma]。

I的物理意義是力對(duì)時(shí)間的積累，即力對(duì)時(shí)間的積分，對(duì)[?t→0]，[F]可視為恒力，在這段時(shí)間微元內(nèi)，[dI=Ftdt]。

將所有沖量元[dI]求和即得[F]在一段時(shí)間內(nèi)作用在物體的總沖量：[I=dI=t1t2Fdt=p2-p1]。

充分利用了微積分思想推導(dǎo)物理定理，任何變力對(duì)時(shí)間的積累都能通過(guò)微積分形式很好地反映出來(lái)，由此可求得任一變力在一段時(shí)間內(nèi)的沖量及動(dòng)量變化量。

（三）變力曲線(xiàn)做功

例3：一質(zhì)點(diǎn)在[F]作用下沿著如圖所示的路徑從A運(yùn)動(dòng)到B，求[F]所做的功。

步驟：取微元：此過(guò)程質(zhì)點(diǎn)受的力為變力，求這段過(guò)程變力做功，需利用微積分思想，將位移分成許多位移元[dr]，在每一段位移元[dr]內(nèi)，力可近似看成恒力，因此可看成質(zhì)點(diǎn)在恒力作用下沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)做功。故每段位移元內(nèi)力做的元功dW=[F?dr]。

積分：變力做的總功等于每段位移元內(nèi)力做的元功的代數(shù)和：[W=dW=ABF?dr]，由此可知，變力做功求解方法是利用微積分思想，把變量問(wèn)題化為微元常量，再積分求得總功。

（四）質(zhì)量微元

1.對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的物體，可以把物體分成許多質(zhì)量元[dm]，可得質(zhì)心坐標(biāo)：[xc=xdmm，yc=ydmm，zc=zdmm]。

這樣，復(fù)雜的坐標(biāo)計(jì)算就變得簡(jiǎn)單且易于理解。

2.對(duì)于質(zhì)點(diǎn)連續(xù)分布的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：[J=r2dm]，對(duì)于均勻圓盤(pán)，若已知質(zhì)量為[m]，半徑為R，求通過(guò)盤(pán)心且垂直盤(pán)面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

分析思路：圓盤(pán)為連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系，可對(duì)連續(xù)體選微小質(zhì)量[dm]的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后積分求和，求得總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[J]。

步驟：設(shè)圓盤(pán)密度為[σ]，將圓盤(pán)分割成許多薄圓環(huán)，任一半徑為[r]，寬度為[dr]的超薄圓環(huán)可作為一微元，則其繞盤(pán)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[dJ=r2dm=r2σds=r2mπR22πrdr=2mR2r3dr]，對(duì)圓盤(pán)總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[J=dJ=0R2mR2r3dr=12mR2]。

由于對(duì)圓盤(pán)整體而言，離軸的距離并非定值，因此不能直接套用公式，而需應(yīng)用微積分思想處理，通過(guò)選取不同的微元，然后求積分得到結(jié)果。

三、結(jié)語(yǔ)

本文旨在使學(xué)生正確理解微積分思想，并通過(guò)一些實(shí)例分析，說(shuō)明微積分利用分割法對(duì)變量進(jìn)行分割可解決力學(xué)中的許多問(wèn)題，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。因此，熟練掌握運(yùn)用微積分，可以降低物理問(wèn)題的難度，使學(xué)生提升學(xué)習(xí)興趣，理解微積分解題的基本思路，改善學(xué)習(xí)效果。

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作者簡(jiǎn)介：

尹芬芬（1987.02—），性別：女；民族：漢族；籍貫：湖南邵陽(yáng)；最高學(xué)歷：碩士研究生；職稱(chēng)：講師；單位：銅仁學(xué)院；研究方向：理論物理。endprint