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    字斟句酌找問題

    2017-11-11 15:42:30常坤
    速讀·中旬 2017年11期
    關鍵詞:正數(shù)值域定義域

    師者,傳道授業(yè)解惑也?;笳?,問題也??梢哉f我們的教學就是在不斷地發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程中進行和發(fā)展下去的。教學中,應鼓勵學生積極參與教學活動,包括思維的參與和行為的參與。既要有教師的講授和指導,也有學生的自主探索與合作交流。教師要創(chuàng)設適當?shù)膯栴}情境,鼓勵學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律和問題解決的途徑,使他們經歷知識形成的過程。問題是最好的老師,我們作為老師首先要引領學生學會去發(fā)現(xiàn)問題,進而解決問題,最高層次讓學生自己去發(fā)現(xiàn)問題并解決問題??梢哉f培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要。如何發(fā)現(xiàn)問題,就需要我們在字里行間去字斟句酌地找問題。

    例如在講授函數(shù)的概念時,首先要讓學生理解函數(shù)的定義:一般地,設A,B是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),x∈A。在函數(shù)y=f(x),x∈A中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。顯然,值域是集合B的子集。這里引導學生思考問題:為什么A,B是兩個非空的數(shù)集?集合A中任意的數(shù)都有唯一的像,那么A中的不同元素(數(shù))的像相同嗎?會不會出現(xiàn)A中多個元素同時對應B中的某一個元素的情形;如何理解某種對應關系?再有我們在講這個問題時是從A來著眼的,那么對于集合B有無特別的要求?比如集合B中有沒有元素(數(shù))不被A中元素所對應?如果再能從這個方向加以闡釋,就更能加深對概念的理解。為更好的理解概念,舉一例:已知集合A={1,2,3,4},集合B={1,2,3,4,5},問從A到B能構成多少個不同的函數(shù)?顯然在函數(shù)的定義下,集合A中任意一個數(shù)在集合B中都有唯一確定的數(shù)與之對應,那么集合A中的數(shù)1可以對應集合B中的任意一個數(shù),即有5種不同的選擇,同樣另外三個數(shù)每個也都有同樣的5種不同的選擇,從而構成了5×5×5×5=54=625個不同的函數(shù)。即若1對應5,2,3,4也可以對應5,當然也可以對應其它的任何一個數(shù),但只能對應一個數(shù)。在這個定義下,集合B中的5個數(shù)中最多有4個數(shù)能被A中的元素對應,最少有一個。這里我們就可以理解為A中元素都有唯一的像,B中元素不一定的原像,若有,可能不唯一。另就對應關系而言,“某種確定的”就意味著可能這種關系是確定的,是存在的,能不能準確的寫出來不一定。如上例A中1,2,3,4分別對應B中的1,2,3,4時,這個對應關系可以寫成y=f(x)=x,x∈A,而如果打亂這種對應,如1對應2,2對應1,3對應4,4又對應2,這時這種對應關系就不易用一個明確的表達式寫出來,但這種對應關系是確定的,存在的,只不過無法寫出來罷了。這里引導學生去對概念進行逐字逐句,準確、細致的分析,有助于培養(yǎng)學生的問題意識,有助于學生思維能力的培養(yǎng)和提高。

    再如問題:若函數(shù)y=lg(x2+2ax+3)的定義域為R,求a的取值范圍,若值域為R呢?顯然定義域為R時,學生理解對數(shù)式中真數(shù)所對應的內函數(shù)u(x)=x2+2ax+3只須△<0即可,從而可求出a的取值范圍為{a|-[32},值域為R,而函數(shù)②的定義域為R,但值域卻為[0,+∞),不為R,為什么?函數(shù)①中的內函數(shù)x2-3x+2的本來的范圍是[-[14],+∞),但由于它作為對數(shù)式的真數(shù),只能為正數(shù),故這個范圍中的所有負數(shù)和零被定義域限制掉了,只剩下了所有的正數(shù),即它取到了所有的正數(shù),這樣值域才是R的,而函數(shù)②中的內函數(shù)x2-4x+5的范圍是[1,+∞),雖然都是正數(shù),但不是所有正數(shù),故值域只能是[0,+∞)。這兩個函數(shù)的定義域和值域能不能看出所求函數(shù)y=lg(x2+2ax+3)的值域為R需要什么條件?到這里相信學生應該能夠理解只須△≥0即可,則可求出a的取值范圍為{a|a≤-[3或a≥3]}。

    又如函數(shù)周期性定義中:對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內的任何值時,都有f(x+T)=f(x),那么就稱y=f(x)為周期函數(shù),稱為T這個函數(shù)的周期。在這個定義中我們要關注幾個關鍵詞“定義域”,“存在”,“非零常數(shù)T”。在這里我們討論函數(shù)的周期性,一般指的是連續(xù)函數(shù)。第一個詞“存在”,就意味著有的函數(shù)有,有的函數(shù)沒有,并不是所有函數(shù)都是周期函數(shù)。第二個詞“非零常數(shù)T”,既然是非零常數(shù),那么這個常數(shù)T是正是負還是可正可負?又由什么來決定的呢?第三個詞是定義域,定義域是什么形式的,是(-∞,+∞),還是(a,+∞)還是(-∞,a),還是(a,b)?在高中階段,周期問題要求不高,了解就行,但還是需要分析一下,當非零常數(shù)T為正時,定義域不能是(-∞,a),而應為(-∞,+∞)或(a,+∞),為什么?當T為負時,定義域不能為(a,+∞),而只能為(-∞,+∞)或(-∞,a),這里可以說定義域與這個常數(shù)T是相互制約的。例如函數(shù)y=f(x)的定義域為(3,+∞),這時周期只有為正數(shù)時才能使對定義域內的任何數(shù)x,f(x+T)=f(x)才能成立,而如果這個周期為負值,如T=-2,那么對定義域內的數(shù)4,就會有f(4+(-2))=f(4)出現(xiàn),由定義域為(3,+∞),f(-2)是沒有意義的。從這點來說,平時我們說的若T是一個函數(shù)的周期,那么T的整數(shù)倍也是函數(shù)的周期,就是假命題了。

    從以上三例可以看出,要想發(fā)現(xiàn)問題進而解決問題,首先就需要我們深刻理解問題,充分理解它的本質,發(fā)掘它的深層含義。唐人盧延讓《苦吟》中有“吟安一個字,捻斷數(shù)根須”,我們現(xiàn)在雖然不需去捻斷數(shù)根須,但也要努力做到在字里行間去思考,逐字逐句去分析,也就是所謂的字斟句酌找問題。

    作者簡介:

    常坤(1974.10—),性別:男;籍貫:安徽省蚌埠市懷遠縣;最高學歷:本科;郵編:233400;單位:安徽省懷遠縣第三中學。

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