概率論在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用研究

概率論在經(jīng)濟生活中應(yīng)用十分廣泛，本文主要從古典概型、數(shù)學期望以及大數(shù)定律和中心極限定理3個方面介紹了概率論相關(guān)知識，并舉例說明其在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用。其中，在古典概型中重點介紹了波利亞模型，并給出了數(shù)值模擬的過程，驗證了所得結(jié)論。概率論作為數(shù)學工具的運用，為經(jīng)濟學做出了突出貢獻，也使得經(jīng)濟學變得更加規(guī)范和完善。

概率論是一門研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)學分支。隨機現(xiàn)象是指在一定條件下進行試驗或觀察時，會出現(xiàn)不同的結(jié)果，但具體出現(xiàn)哪種結(jié)果在每次試驗前都無法確定。概率論正是通過對這些結(jié)果進行演繹和歸納，從數(shù)量的角度研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。概率論最初起源于賭博問題。當今在社會科學領(lǐng)域，尤其是在經(jīng)濟學中，描述經(jīng)濟數(shù)據(jù)特征，最優(yōu)決策以及保險等方面都要用到概率論的相關(guān)知識。

概率論在經(jīng)濟學問題研究中具有以下優(yōu)勢：一是概率論可以很好地運用數(shù)學語言來建立模型，從而將經(jīng)濟范疇之間關(guān)系的描述和研究數(shù)量化；二是概率論有著嚴密的邏輯推理，不但可以盡可能地規(guī)避漏洞和錯誤，而且能夠推導經(jīng)濟運行的各種軌跡，對經(jīng)濟行為的預(yù)測起指導作用；三是概率論的引進使得傳統(tǒng)經(jīng)濟學突破了確定性行為研究的界限，可以在不確定性條件下，得到僅憑直覺不易得出的結(jié)論，更加具有概括性[1]。概率論作為數(shù)學工具的運用，使得經(jīng)濟學成為一門更加規(guī)范和完善的科學。

概率論在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用

古典概型

古典概型具有兩個特點：一是所涉及的隨機現(xiàn)象的樣本點只有有限個；二是每個樣本點發(fā)生的可能性都相等，即等可能性[2]。古典方法是概率論發(fā)展初期求概率常用的方法，它主要借助于演繹或外推。比如擲骰子、摸球、彩票等問題都可以通過這一方法求得概率。

例1：假設(shè)罐中有b個黑球、r個紅球，每次試驗隨機取出一個球，然后將原球放回，并且再加入c個同色球和d個異色球。這樣的隨機試驗?zāi)Ｐ头Q為波利亞模型，它可以用來描述傳染病傳播和貧富差距以及安全生產(chǎn)等現(xiàn)象。

現(xiàn)在要從罐中取出兩個紅球和一個黑球。由分析可知第二個球被抽取這一事件是在第一個球被抽取的條件下發(fā)生的，同理第三個球被抽取同樣受前兩次結(jié)果的影響，根據(jù)條件概率公式與乘法公式

可得

容易看到，以上概率與黑球在第幾次被抽取有關(guān)。該模型有以下幾種情況：

1）當時，稱為不返回抽樣，此時前次抽取結(jié)果會對后次抽取結(jié)果造成影響。但在抽取的黑球與紅球個數(shù)確定的情況下，其概率與抽出球的次序無關(guān)。此例中有

2）當時，稱為返回抽樣。此時每次抽取都是相互獨立事件，且上述三個概率相等，此例中有

3）當時，稱為傳染病模型。此時每次取出球后都會增加下次取到同色球的概率。此例中有

4）當時，稱為安全模型。此時每當紅球被取出，則會降低下一次取出紅球的概率；每當黑球被取出，則會降低下次取出黑球的概率，相應(yīng)地，取出紅球的概率就會增加。此例中有

對于3）中的傳染病模型，它還可以用來解釋貧富差距。在波利亞罐子中，罐中小球顏色的構(gòu)成與概率分布會隨著每次抽取產(chǎn)生變化，最后必將出現(xiàn)一種球在數(shù)量上遙遙領(lǐng)先于其他顏色的球。假設(shè)某種顏色的球在初始罐中存在著數(shù)量上的小幅優(yōu)勢，這種優(yōu)勢可能會被隨機抽取過程不斷放大。但是，這并不意味著初始罐中數(shù)量最多的球最后一定會獲得勝利。實際上，在早期的抽取中，不同顏色球數(shù)的變動呈現(xiàn)出一種混沌狀態(tài)（除去初始罐中不同顏色的球數(shù)量分布存在巨大差異的情況），隨著抽取的不斷進行，罐中數(shù)量最多的球顏色很有可能發(fā)生變化。也就是說僅憑初始罐中球的數(shù)量分布并無法準確預(yù)測結(jié)束時數(shù)量最多的球的顏色。

波利亞模型的現(xiàn)實意義在于，競爭中開始占據(jù)優(yōu)勢的一方，最終在競爭中勝出的概率會更高，但只要優(yōu)勢并沒有足夠大，別的顏色的球仍然有勝出的可能。它比馬太效應(yīng)更加貼合現(xiàn)實情境。馬太效應(yīng)指的是經(jīng)濟學中貧者愈貧，富者愈富，贏家通吃的一種分配不公的現(xiàn)象。但在波利亞模型中，可能存在某一個時刻，某種顏色的球數(shù)積累至超越初始罐中數(shù)量最多的球，進而達到一定量級，然后跨越臨界點，結(jié)束混沌狀態(tài)，最后分布開始朝向單一的軌道前進。從這種角度來看，初始條件下任何未能構(gòu)成顯著差異的實力優(yōu)勢意義十分的有限。我們可以通過數(shù)值模擬來觀察這種隨機抽取的過程。

初始罐中分布：10個紅球、8個黑球、7個黃球、5個綠球、2個藍球。測試結(jié)果如下：

圖1

從圖1中可以看出，隨著抽取的不斷進行，紅球最后勝出的可能性比較大，但由于紅球?qū)ζ渌伾那颍ㄋ{球除外）并不具備顯著優(yōu)勢，所以別的球仍有獲勝的可能，藍球則由于初始數(shù)量太少，始終處于較低的水平。

對于4）中的安全模型，可解釋為：每當事故發(fā)生（紅色球被取出），就抓緊安全工作，則下次再發(fā)生事故的概率就會降低；而當事故沒有發(fā)生時（黑色球被取出），安全工作就會放松，結(jié)果導致下次再發(fā)生事故的概率增加。它還可以用來構(gòu)建科學合理的數(shù)學模型來治理“中國式過馬路”問題。當抓到違章穿越馬路者，可進行處罰，使其回歸守法者陣營，并且起到震懾效果，使?jié)撛谶`章者也決定回歸到守法者陣營。隨著被處罰的違章穿越馬路人數(shù)的增加，最終會出現(xiàn)長時間都抓不到違章穿越馬路的行人[3]。

數(shù)學期望

數(shù)學期望是隨機變量中最重要的一項數(shù)字特征。它反映了隨機變量平均取值的大小，又稱均值。數(shù)學期望在經(jīng)濟生活中有許多應(yīng)用，比如如何實現(xiàn)收益最大化，如何降低證券投資組合風險等，它為決策者作出最優(yōu)決策提供了重要的理論依據(jù)。

例2[4]：設(shè)有一筆資金，總數(shù)為1，可以投資甲、乙兩種證券。將資金用來投資甲證券，其余資金投資乙證券，稱為投資組合。其中，投資甲證券的收益率為X，投資乙證券的收益率為Y。已知X和Y的平均收益（即期望）分別為和，風險（即方差）分別為和，為X和Y間的相關(guān)系數(shù)。求如何使得投資風險最小。

根據(jù)題意，組合收益為

則平均收益為

組合風險為

則

由導數(shù)為可解得，它與和無關(guān)。

由中的系數(shù)為正可知可使組合風險達到

最小。

譬如，=0.3，=0.5，=0.4，

則，

則投資組合。

即把全部資金的70.4%投資甲證券，其余投資乙證券可使風險最小。

大數(shù)定律和中心極限定理

大數(shù)定律主要描述一系列隨機變量和的平均值的穩(wěn)定性。隨機變量和的分布收斂于正態(tài)分布的這一類定理叫做中心極限定理[5]。它們揭示了隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，是聯(lián)系概率論與數(shù)理統(tǒng)計的橋梁，無論是在理論研究還是實際應(yīng)用中都具有非常重要的意義。比如，大數(shù)定律是保險業(yè)存在和發(fā)展的基礎(chǔ)，中心極限定理則對厘定保險費率極為重要。

例3：某保險公司有2 500個人參加保險，保險費為每人每年1 200元，假設(shè)發(fā)生意外的概率為0.002，發(fā)生意外時保險公司需賠付20萬元。

求：1）保險公司虧損的概率。2）保險公司年利潤不低于100萬元概率。

設(shè)X為每年死亡的人數(shù)，則X服從二項分布，即，則

則虧損的概率為：

即保險公司虧損的概率為0.00007，幾乎為零。

保險公司的利潤不低于100萬元為：

由此可見，保險公司幾乎不可能虧損。

結(jié)論

通過上面的分析，可見概率論與經(jīng)濟生活的聯(lián)系十分緊密。它能使經(jīng)濟學中的問題清晰化、邏輯化、數(shù)量化。在經(jīng)濟生活中，利用它可以得到一些有意義的結(jié)論，可以幫助企業(yè)進行合理投資、科學決策等。概率論為現(xiàn)代經(jīng)濟學的發(fā)展打下了堅實的理論基礎(chǔ)，并將繼續(xù)發(fā)揮著關(guān)鍵

作用。

參考文獻

[1]孫少葆.概率論知識在經(jīng)濟學中的應(yīng)用研究[J].現(xiàn)代企業(yè)文化，2009（23）：227-228.

[2]朱曉瑩，蔡高玉，陳小平.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：人民郵電出版社，2017.

[3]黃科登，黃曉菲，陳奇?zhèn)ィ?中國式過馬路治理數(shù)學模型[J].玉林師范學院學報，2015（2）：20-26.

[4]峁詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]王東紅.大數(shù)定律和中心極限定理在保險業(yè)中的重要應(yīng)用[J].數(shù)學的實踐與認識，2005，35（10）：128-133.

（作者簡介：孫怡馨，中國人民大學附屬中學。）