驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)汽車轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)分岔的影響分析?

王憲彬，施樹明

(1.東北林業(yè)大學(xué)交通學(xué)院，哈爾濱 150040； 2.吉林大學(xué)交通學(xué)院，長(zhǎng)春 130025)

驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)汽車轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)分岔的影響分析?

王憲彬1，施樹明2

(1.東北林業(yè)大學(xué)交通學(xué)院，哈爾濱 150040； 2.吉林大學(xué)交通學(xué)院，長(zhǎng)春 130025)

為研究驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)汽車動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的影響，以引入驅(qū)動(dòng)力矩的5自由度汽車二維非線性動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)，利用前輪轉(zhuǎn)角作為中間變量，建立了相應(yīng)的7自由度自治系統(tǒng)模型，分析了不同驅(qū)動(dòng)方式下，驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)汽車轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)分岔的動(dòng)力學(xué)特征的影響。以前輪驅(qū)動(dòng)汽車為例，利用相空間、狀態(tài)變量時(shí)間序列、功率譜密度和李雅普諾夫指數(shù)分析了驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)分岔特征影響的動(dòng)力學(xué)演變過(guò)程。結(jié)果表明：驅(qū)動(dòng)力矩的大小將直接影響汽車動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分岔特征，在分析汽車的動(dòng)力學(xué)分岔特征時(shí)應(yīng)同時(shí)考慮前輪轉(zhuǎn)角和驅(qū)動(dòng)力矩兩個(gè)分岔參數(shù)的影響。

汽車非線性動(dòng)力學(xué)；驅(qū)動(dòng)力矩；轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)耦合工況；分岔；混沌

前言

汽車的動(dòng)力學(xué)特征是研究汽車主動(dòng)安全性的重要理論基礎(chǔ)。汽車作為典型的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，在極限工況下很容易出現(xiàn)分岔或混沌等不穩(wěn)定的動(dòng)力學(xué)行為。隨著非線性動(dòng)力學(xué)理論和輪胎力學(xué)的發(fā)展，由于輪胎側(cè)向力的非線性特征使汽車產(chǎn)生轉(zhuǎn)向分岔的動(dòng)力學(xué)失穩(wěn)機(jī)理已基本確認(rèn)[1-3]。但是經(jīng)典的2自由度模型假設(shè)縱向速度不變，且不考慮輪胎縱向力對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響[4]。而汽車在轉(zhuǎn)向和驅(qū)動(dòng)聯(lián)合工況中，隨著縱向速度的增大，輪胎所要提供的地面縱向驅(qū)動(dòng)力也越大。輪胎在不同驅(qū)動(dòng)條件下能夠提供的側(cè)向力不同。因此，忽略驅(qū)動(dòng)力矩的轉(zhuǎn)向分岔機(jī)理，并不能完整揭示汽車在轉(zhuǎn)向和驅(qū)動(dòng)聯(lián)合工況下的動(dòng)力學(xué)分岔特征，也無(wú)法解釋驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)汽車轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)分岔的影響。

在轉(zhuǎn)向分岔分析中最具有代表性的研究成果是文獻(xiàn)[5]中提出的車身側(cè)偏角及其變化率的相平面圖。文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]中的研究發(fā)現(xiàn)：汽車系統(tǒng)存在3個(gè)平衡點(diǎn)，一個(gè)是穩(wěn)定的焦點(diǎn)，另外兩個(gè)是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)；當(dāng)車身側(cè)偏角增加到一定程度后，汽車的失穩(wěn)主要是由鞍結(jié)分岔引起的。文獻(xiàn)[8]中分析了低附著系數(shù)路面上前輪轉(zhuǎn)角變化時(shí)引起的2自由度車輛系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象。文獻(xiàn)[9]中分析了當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角變化時(shí)系統(tǒng)的3個(gè)平衡點(diǎn)在相平面上的變化，并得到了狀態(tài)變量隨前輪轉(zhuǎn)角變化的分岔圖。文獻(xiàn)[10]中利用幾何交點(diǎn)軌跡法研究汽車轉(zhuǎn)向動(dòng)力學(xué)的穩(wěn)定性時(shí)，同樣得到了相近的結(jié)論，即汽車轉(zhuǎn)向動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)存在3個(gè)平衡點(diǎn)：一個(gè)穩(wěn)定的焦點(diǎn)和兩個(gè)不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。文獻(xiàn)[11]中在2自由度模型的基礎(chǔ)上，將縱向速度引入車身模型，去除了縱向速度不變的假設(shè)，彌補(bǔ)了基于2自由度模型提出的穩(wěn)定性判據(jù)的不足。文獻(xiàn)[12]中發(fā)現(xiàn)了汽車轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)的混沌現(xiàn)象，指出汽車轉(zhuǎn)向失穩(wěn)的本質(zhì)特征是汽車動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[13]中借助達(dá)朗貝爾原理，提出了一種基于約束分岔和連續(xù)法的分析方法，建立了包含縱向速度、側(cè)向速度、橫擺角速度和側(cè)傾的汽車動(dòng)力學(xué)模型，分析了制動(dòng)減速度引起的分岔現(xiàn)象。文獻(xiàn)[14]中通過(guò)對(duì)經(jīng)典的滑移率定義進(jìn)行拓展，分析了失穩(wěn)情況下的輪胎縱向滑移率方程的有效性，建立了引入驅(qū)動(dòng)的5自由度汽車非線性模型，分析了不同前輪轉(zhuǎn)角輸入時(shí)，不同驅(qū)動(dòng)方式對(duì)汽車操縱穩(wěn)定性的影響。

綜上所述，以2自由度汽車動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)的汽車轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性研究已取得了豐碩的研究成果。引入縱向速度的3自由度模型揭示了汽車失穩(wěn)的混沌運(yùn)動(dòng)本質(zhì)特征。引入驅(qū)動(dòng)的5自由度模型，揭示了不同驅(qū)動(dòng)方式對(duì)汽車操縱穩(wěn)定性的影響。但是，驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)汽車轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)分岔特征的影響及其動(dòng)力學(xué)演變過(guò)程仍缺少深入研究。

1 車輛系統(tǒng)模型

以3自由度車輛轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模型[15]為基礎(chǔ)，引入包含驅(qū)動(dòng)力矩的車輪動(dòng)力學(xué)方程，5自由度的車輛動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)方程見式(1)。圖1為單軌車輛模型的示意圖。

圖1 車輛系統(tǒng)單軌模型

式中：m為整車質(zhì)量；Iz為繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；vx為車輛坐標(biāo)系質(zhì)心處的縱向速度；vy為車輛坐標(biāo)系質(zhì)心處的側(cè)向速度；ω為車輛橫擺角速度；ωf為車輛前輪角速度；ωr為車輛后輪角速度；lf為車輛前輪到質(zhì)心的距離；lr為車輛后輪到質(zhì)心的距離；J為車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；δf為車輛前輪轉(zhuǎn)角；Cair_x，Cair_y為縱向和側(cè)向空氣阻力系數(shù)；AL_x，AL_y為車輛縱向和側(cè)向迎風(fēng)面積；ρ為空氣密度；Td為驅(qū)動(dòng)力矩；Tbf，Tbr為前、后輪制動(dòng)力矩；Re為車輪滾動(dòng)半徑；Flf，F(xiàn)lr，F(xiàn)sf，F(xiàn)sr為混合滑移狀態(tài)下，前、后車輪縱向力和側(cè)向力。

表1中給出了車輛系統(tǒng)模型中參數(shù)的取值。

表1 車輛參數(shù)

輪胎力的計(jì)算方法采用魔術(shù)公式[16]：

式中：B，C，D，E為參數(shù)；F為輪胎縱向力或側(cè)向力；x為輪胎滑移率或側(cè)偏角。

穩(wěn)態(tài)滑移率公式[16]為

式中：ωw為車輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；vwx為車輪平面內(nèi)，輪心處的縱向速度。

縱向輪胎力參數(shù)如表2所示。

表2 縱向輪胎力參數(shù)

前后輪的輪胎側(cè)偏角的表達(dá)式分別為

其中：δr＝0

表3為單軌車輛模型采用的側(cè)向輪胎力參數(shù)[9]。

表3 側(cè)向輪胎力參數(shù)

輪胎混合滑移，采用Pacejka提出的模型進(jìn)行分析，具體計(jì)算步驟按照式(6)進(jìn)行[16]。

式中：Flf0，F(xiàn)lr0，F(xiàn)sf0，F(xiàn)sr0為穩(wěn)態(tài)下前后車輪縱向力和側(cè)向力，其大小可用式(2)計(jì)算；Gx，Gy為輪胎力混合滑移修正函數(shù)；rx，1，rx，2，ry，1，ry，2為輪胎力混合滑移修正系數(shù)，見表4。

表4 混合滑移系數(shù)

2 驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)分岔特征的影響

2.1 自治系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化

選用典型汽車操縱穩(wěn)定性試驗(yàn)條件，蛇行工況作為試驗(yàn)條件。為配合蛇行工況試驗(yàn)，輸入的前輪轉(zhuǎn)角按正弦規(guī)律變化：

式中：A為前輪轉(zhuǎn)角的幅值；ωsf為前輪轉(zhuǎn)角的角頻率。將前輪轉(zhuǎn)角公式導(dǎo)入5自由度的汽車動(dòng)力學(xué)模型，系統(tǒng)方程寫成狀態(tài)方程的形式：

其中：X＝(vy，ω，vx，ωf，ωr，δf，z)

式中：z為中間變量。為便于分析，通常將動(dòng)力學(xué)方程改寫為自治方程形式。聯(lián)立式(7)～式(9)，則5自由度汽車動(dòng)力學(xué)方程(式(1))的7自由度的自治方程為

2.2 驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)分岔特征的影響

試驗(yàn)的縱向速度初值vx＝20m/s。驅(qū)動(dòng)輪上施加的驅(qū)動(dòng)力矩Td的取值范圍為0.2～140N·m，每測(cè)點(diǎn)其增量為0.2N·m。固定前輪轉(zhuǎn)角幅值 A＝0.03rad，前輪轉(zhuǎn)角變化頻率為f＝0.4Hz，其角頻率為ωsf＝2π·0.4＝0.8π。

圖2～圖4分別給出了縱向速度初值vx＝20m/s時(shí)，前輪驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的側(cè)向速度vy、橫擺角速度ω和縱向速度vx的分岔圖。

圖2 側(cè)向速度vy的分岔圖(A ＝0.03rad，vx＝20m/s，前驅(qū))

圖3 橫擺角速度ω的分岔圖(A ＝0.03rad，vx＝20m/s，前驅(qū))

圖4 縱向速度vx的分岔圖(A ＝0.03rad，vx＝20m/s，前驅(qū))

分岔圖的做法如下：對(duì)于給定的前輪轉(zhuǎn)角幅值A(chǔ)＝0.03rad和每一驅(qū)動(dòng)力矩Td，當(dāng)t＝0時(shí)，給定系統(tǒng)初值 vx＝20m/s，vy＝0，ω ＝0，ωf＝0，ωr＝0時(shí)，用MATLAB求解系統(tǒng)7自由度汽車動(dòng)力學(xué)方程，得到系統(tǒng)的狀態(tài)變量隨時(shí)間的變化值。經(jīng)過(guò)狀態(tài)變量瞬態(tài)變化后，在一定時(shí)間內(nèi)(仿真總時(shí)長(zhǎng)TS＝200s)對(duì)狀態(tài)變量按一定的時(shí)間頻率(本節(jié)中f＝0.4Hz)進(jìn)行采樣，所有采樣點(diǎn)的狀態(tài)變量的取值對(duì)應(yīng)驅(qū)動(dòng)力矩Td的大小，在相應(yīng)的變化范圍內(nèi)構(gòu)成了汽車系統(tǒng)狀態(tài)變量隨驅(qū)動(dòng)力矩的分岔圖。

由分岔圖可以看出如下情形。

(1)當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩Td＜62N·m時(shí)，側(cè)向速度vy的值域范圍隨著驅(qū)動(dòng)力矩Td的增大而逐漸增大，當(dāng)Td＝61.8N·m時(shí)，最終 vy的值域范圍達(dá)到[-0.827 7，0.925 5]m/s。而橫擺角速度ω則隨著驅(qū)動(dòng)力矩Td的增大先逐漸減小后增大，當(dāng)Td＝61.8N·m時(shí)，ω的值域范圍為[-0.129，-0.008 681]rad/s。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩Td＜62N·m時(shí)，在仿真的初始階段由于驅(qū)動(dòng)力小于空氣阻力，使得縱向速度vx在驅(qū)動(dòng)力矩的作用下不斷減小。隨著驅(qū)動(dòng)力矩Td的增大，縱向速度的值域變化范圍出現(xiàn)了由大變小、再變大的過(guò)程。

(2)當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩Td＝62N·m時(shí)，側(cè)向速度vy的值域范圍突然增大到[-17.28，23.44]m/s，隨著驅(qū)動(dòng)力矩的增大而逐漸增大，當(dāng)Td＝140N·m時(shí)，最終vy的值域范圍達(dá)到約[-30，30]m/s。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩Td＝62N·m時(shí)，橫擺角速度ω的值域范圍也發(fā)生了突變，增大到[-0.890 3，0.820 2]m/s。此后隨著驅(qū)動(dòng)力矩的增大其值域范圍變化較為穩(wěn)定，當(dāng)Td＝140N·m時(shí)，ω的值域范圍為[-0.826 6，0.893 7]rad/s。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩Td＝62N·m時(shí)，縱向速度vx的值域范圍也突然增大，約為[-23.01，24.49]m/s。隨著驅(qū)動(dòng)力矩的增大，vx的值域范圍逐漸增大，當(dāng)Td＝140N·m 時(shí)，vx的值域范圍為[-28.53，30.55]m/s。

圖5和圖6分別為全輪驅(qū)動(dòng)和后輪驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量分岔圖。

由圖可見：全輪驅(qū)動(dòng)、后輪驅(qū)動(dòng)的分岔圖與前輪驅(qū)動(dòng)的分岔圖的整體趨勢(shì)相近，其中橫擺角速度的分岔圖中橫擺角速度的值域范圍有所擴(kuò)大；對(duì)應(yīng)的分岔參數(shù)驅(qū)動(dòng)力矩在不同驅(qū)動(dòng)方式時(shí)明顯不同，全輪驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)發(fā)生分岔時(shí)的驅(qū)動(dòng)力矩由前輪驅(qū)動(dòng)時(shí)的Td＝62N·m減小到Td＝57.4N·m，而后輪驅(qū)動(dòng)對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)力矩僅為Td＝53.6N·m；不同驅(qū)動(dòng)方式對(duì)應(yīng)的分岔參數(shù)的大小順序?yàn)榍拜嗱?qū)動(dòng)(Td＝62N·m)＞全輪驅(qū)動(dòng)(Td＝57.4N·m)＞后輪驅(qū)動(dòng)(Td＝53.6N·m)。

圖7～圖9給出了前輪轉(zhuǎn)角幅值A(chǔ)＝0.02rad，縱向速度初值vx＝30m/s時(shí)，前輪驅(qū)動(dòng)、全輪驅(qū)動(dòng)和后輪驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量分岔圖。

圖5 狀態(tài)變量的分岔圖(A＝0.03rad，vx＝20m/s，全驅(qū))

圖6 狀態(tài)變量的分岔圖(A＝0.03rad，vx＝20m/s，后驅(qū))

圖7 狀態(tài)變量的分岔圖(A＝0.02rad，vx＝30m/s，前驅(qū))

圖8 狀態(tài)變量的分岔圖(A＝0.02rad，vx＝30m/s，全驅(qū))

由圖中見：這些分岔圖的整體趨勢(shì)與前輪轉(zhuǎn)角幅值A(chǔ)＝0.03rad、縱向速度初值vx＝20m/s時(shí)的分岔圖的一致；但對(duì)應(yīng)的分岔參數(shù)驅(qū)動(dòng)力矩Td發(fā)生了相應(yīng)的變化，前輪、全輪和后輪驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)力矩Td分別為134.6，105.6和60.4N·m；分岔參數(shù)驅(qū)動(dòng)力矩Td在不同驅(qū)動(dòng)方式時(shí)的大小對(duì)應(yīng)順序沒(méi)有變化，依然為前輪驅(qū)動(dòng)(Td＝134.6N·m)＞全輪驅(qū)動(dòng)(Td＝105.6N·m)＞后輪驅(qū)動(dòng)(Td＝60.4N·m)。

由此可見，不同驅(qū)動(dòng)方式下，驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)汽車系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分岔特征產(chǎn)生的影響不同。

圖9 狀態(tài)變量的分岔圖(A＝0.02rad，vx＝30m/s，后驅(qū))

3 分岔特征的動(dòng)力學(xué)演變過(guò)程

從動(dòng)力學(xué)本質(zhì)上說(shuō)，5自由度汽車動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象可以歸結(jié)為：在周期轉(zhuǎn)角激勵(lì)的作用下，隨著驅(qū)動(dòng)力矩的增大，5自由度汽車系統(tǒng)將由準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)過(guò)渡到混沌。

不失一般性地，本節(jié)僅對(duì)前輪驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演變過(guò)程進(jìn)行分析，仿真分析條件具體為：在每一恒定驅(qū)動(dòng)力矩加速條件下，在前輪上施加定周期的正弦轉(zhuǎn)角。

具體試驗(yàn)參數(shù)為：縱向速度初值 vx＝20m/s，vy＝ 0，ω ＝0，ωf＝0，ωr＝0，在前輪上施加恒定驅(qū)動(dòng)力矩(即驅(qū)動(dòng)模式為前驅(qū))，驅(qū)動(dòng)力矩Td分別取值為20，62，63 和 100N·m，前輪轉(zhuǎn)角幅值 A ＝0.03rad，前輪轉(zhuǎn)角變化的頻率為f＝0.4Hz，其角頻率ωsf＝2π·0.4＝0.8π。

3.1 驅(qū)動(dòng)力矩Td＝20N·m

圖10～圖16給出了Td＝20N·m時(shí)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。

圖10為系統(tǒng)狀態(tài)變量vx-vy-ω相空間內(nèi)的相軌跡。由圖可見：當(dāng)Td＝20N·m時(shí)，系統(tǒng)的相軌跡為準(zhǔn)周期環(huán)面。在整個(gè)仿真周期內(nèi)，縱向速度vx由初始值開始逐漸增大，并穩(wěn)定在一定范圍內(nèi)，側(cè)向速度vy和橫擺角速度ω的絕對(duì)值由初始值開始周期振蕩，并最終穩(wěn)定在一定范圍內(nèi)。

由圖11和圖12中的狀態(tài)變量的時(shí)間序列也可得到與上述相同的結(jié)論。

圖10 vx-vy-ω相空間內(nèi)的相軌跡(T d＝20N·m)

圖 11 狀態(tài)變量 (vx，vy，ω) 時(shí)間序列(T d＝20N·m)

圖 12 狀態(tài)變量 (vx，vy，ω) 時(shí)間序列局部(T d＝20N·m)

圖13為按前輪轉(zhuǎn)角的周期取值的相軌跡的龐 加萊截面圖。由圖可見，各個(gè)狀態(tài)變量的截面圖呈直線分布，這是典型的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的特征。

圖13 龐加萊截面(T d＝20N·m)

圖14 為各個(gè)狀態(tài)變量的功率譜密度圖。由圖可見：各個(gè)狀態(tài)變量的功率譜密度均呈典型的周期或準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的單峰值分布特征；特別的，側(cè)向速度vy的變化頻率與前輪轉(zhuǎn)角輸入的變化頻率一致，約為0.4Hz。

圖14 功率譜密度(T d＝20N·m)

圖15 和圖16均為系統(tǒng)狀態(tài)變量的李雅普諾夫指數(shù)。由圖可見，此時(shí)系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜為(0，0，0，-，-，-，-)，這證明系統(tǒng)處于非混沌的狀態(tài)。

圖15 李雅普諾夫指數(shù)(T d＝20N·m)

3.2 驅(qū)動(dòng)力矩Td＝62N·m和Td＝63N·m

圖16 李雅普諾夫指數(shù)(T d＝20N·m)

圖17 ～圖23給出了Td＝62N·m時(shí)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。由上一節(jié)的分岔圖分析可知，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征發(fā)生了分岔，但分岔圖中狀態(tài)變量的結(jié)果點(diǎn)較為稀疏。

圖17為系統(tǒng)狀態(tài)變量vx-vy-ω相空間內(nèi)的相軌跡。與Td＝20N·m時(shí)的相軌跡相比，系統(tǒng)的相軌跡由準(zhǔn)周期環(huán)面開始逐漸破裂。

圖17 vx-vy-ω相空間內(nèi)的相軌跡(T d＝62N·m)

由圖18和圖19可見：隨著驅(qū)動(dòng)力矩的增大，系統(tǒng)的狀態(tài)變量盡管開始出現(xiàn)不穩(wěn)定的趨勢(shì)，但最終仍然恢復(fù)了穩(wěn)定狀態(tài)，其原因可能是由于驅(qū)動(dòng)力矩Td＝62N·m較大，使系統(tǒng)處于加速狀態(tài)，在加速過(guò)程中系統(tǒng)出現(xiàn)了短暫的不穩(wěn)定狀態(tài)；但系統(tǒng)縱向速度、側(cè)向速度和橫擺角速度之間的耦合，又使系統(tǒng)進(jìn)入了另一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如在初始階段縱向速度不斷增加，側(cè)向速度和橫擺角速度的變化范圍也不斷加大，而當(dāng)t＝145s時(shí)，縱向速度開始穩(wěn)定在vx＝24.2m/s，并出現(xiàn)周期波動(dòng)，側(cè)向速度和橫擺角速度的變化范圍也隨之減小。

圖18 狀態(tài)變量 (vx，vy，ω)時(shí)間歷程(T d＝62N·m)

圖19 狀態(tài)變量 (vx，vy，ω) 時(shí)間歷程局部(T d＝62N·m)

與Td＝20N·m時(shí)系統(tǒng)的龐加萊截面圖相比，圖20中的龐加萊截面顯示：當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩達(dá)到Td＝62N·m時(shí)，系統(tǒng)的龐加萊截面已由直線分布過(guò)渡到了有限點(diǎn)集。

圖20 龐加萊截面(T d＝62N·m)

同時(shí)，圖21中的側(cè)向速度的功率譜密度也開始出現(xiàn)了寬頻多峰的特征。而圖22和圖23中的李雅普諾夫指數(shù)結(jié)果顯示，在仿真過(guò)程中系統(tǒng)體現(xiàn)出了一定的混沌特征，但最終又恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)。即在仿真的初始階段系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜為(0，0，0，-，-，-，-)，當(dāng) t＝195s時(shí)，李雅普諾夫指數(shù)譜為(+，0，0，-，-，-，-)，說(shuō)明系統(tǒng)存在混沌特征，當(dāng) t＝320s時(shí)，李雅普諾夫指數(shù)譜為(0，0，-，-，-，-，-)，說(shuō)明系統(tǒng)的混沌特征消失，并最終保持到仿真結(jié)束(TS＝500s)。這與狀態(tài)變量時(shí)間序列的分析結(jié)果一致，即系統(tǒng)出現(xiàn)了短暫的不穩(wěn)定狀態(tài)。綜上所述，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩Td＝62N·m時(shí)，5自由度汽車系統(tǒng)的分岔特征有所體現(xiàn)但不明顯。

圖21 功率譜密度(T d＝62N·m)

圖22 李雅普諾夫指數(shù)(T d＝62N·m)

圖23 李雅普諾夫指數(shù)(T d＝62N·m)

延續(xù)上述分析，圖24～圖30給出驅(qū)動(dòng)力矩Td＝63N·m時(shí)的分析結(jié)果。

圖24為系統(tǒng)狀態(tài)變量vx-vy-ω相空間內(nèi)的相軌跡。由圖可見，與Td＝62N·m時(shí)的相軌跡相比，系統(tǒng)的相軌跡由準(zhǔn)周期環(huán)面開始破裂并出現(xiàn)了混沌。

圖24 vx-vy-ω相空間內(nèi)的相軌跡(T d＝63N·m)

由圖25和圖26可見：隨著驅(qū)動(dòng)力矩的增大，系統(tǒng)的狀態(tài)變量在仿真過(guò)程中出現(xiàn)了不穩(wěn)定的趨勢(shì)，最終恢復(fù)了穩(wěn)定狀態(tài)，但與Td＝62N·m時(shí)的狀態(tài)變量相比，縱向速度、側(cè)向速度和橫擺角速度出現(xiàn)了劇烈變化，已經(jīng)體現(xiàn)出了明顯的混沌特征，如果在實(shí)際行駛過(guò)程中出現(xiàn)類似的工況，駕駛員已無(wú)法駕馭汽車，將發(fā)生嚴(yán)重的交通事故。

圖25 狀態(tài)變量 (vx，vy，ω)時(shí)間歷程(T d＝63N·m)

與Td＝62N·m時(shí)系統(tǒng)的龐加萊截面圖相比，圖27中的龐加萊截面顯示：當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩達(dá)到Td＝63N·m時(shí)，系統(tǒng)的龐加萊截面的有限點(diǎn)集的分布更為復(fù)雜。

圖27 龐加萊截面(T d＝63N·m)

圖28 中的側(cè)向速度的功率譜密度也同樣出現(xiàn)了寬頻多峰的特征。而圖29和圖30中的李雅普諾夫指數(shù)結(jié)果顯示，在仿真過(guò)程中系統(tǒng)體現(xiàn)出了較為明顯的混沌特征，即在仿真的初始階段系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)譜為(0，0，0，-，-，-，-)，當(dāng)仿真時(shí)間 t＝180s時(shí)，李雅普諾夫指數(shù)譜為(+，0，0，-，-，-，-)，正的李雅普諾夫指數(shù)說(shuō)明系統(tǒng)存在混沌特征，并最終保持到仿真結(jié)束(TS＝500s)。

圖28 功率譜密度(T d＝63N·m)

圖29 李雅普諾夫指數(shù)(T d＝63N·m)

圖30 李雅普諾夫指數(shù)(T d＝63N·m)

3.3 驅(qū)動(dòng)力矩Td＝100N·m

圖31～圖37給出驅(qū)動(dòng)力矩Td＝100N·m時(shí)的分析結(jié)果。由前面分岔圖的分析結(jié)果可知，此時(shí)系統(tǒng)已完全進(jìn)入混沌狀態(tài)。

由圖31可見：系統(tǒng)的相軌跡由準(zhǔn)周期環(huán)面開始破裂并出現(xiàn)了混沌。

圖31 vx-vy-ω相空間內(nèi)的相軌跡(T d＝100N·m)

同樣的，由圖32和圖33可見：當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩增大到Td＝100N·m時(shí)，狀態(tài)變量出現(xiàn)了連續(xù)的振蕩，這表示系統(tǒng)已失去穩(wěn)定性，進(jìn)入了混沌狀態(tài)。

圖32 狀態(tài)變量 (vx，vy，ω)時(shí)間歷程(T d＝100N·m)

圖33 狀態(tài)變量 (vx，vy，ω) 時(shí)間歷程局部(T d＝100N·m)

而圖34中龐加萊截面的有限點(diǎn)集，圖35中各個(gè)狀態(tài)變量功率譜密度的寬頻多峰特征以及圖36和圖37中的正的李雅普諾夫指數(shù)，均表明系統(tǒng)存在混沌特征，這與分岔圖的分析保持一致。

圖34 龐加萊截面(T d＝100N·m)

圖35 功率譜密度(T d＝100N·m)

圖36 李雅普諾夫指數(shù)(T d＝100N·m)

圖37 李雅普諾夫指數(shù)(T d＝100N·m)

目前，汽車主動(dòng)安全控制系統(tǒng)通常以分層控制的結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)[17]。這種結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)是能將復(fù)雜的輪胎力學(xué)特性與實(shí)際的受控對(duì)象，即汽車的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行解耦，符合汽車動(dòng)力學(xué)控制問(wèn)題的本質(zhì)，便于工程應(yīng)用。但這種控制結(jié)構(gòu)是通過(guò)協(xié)調(diào)各種子系統(tǒng)使汽車恢復(fù)穩(wěn)定，而不是從汽車的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)出發(fā)預(yù)防汽車的失穩(wěn)。本文中的研究結(jié)果表明，如果從控制代價(jià)和可控效果的角度考慮，預(yù)防汽車失穩(wěn)的控制方法其所需的控制能量低，控制效果好。

4 結(jié)論

(1)分析了不同驅(qū)動(dòng)模式下，驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)系統(tǒng)分岔特征的影響。結(jié)果表明：與前輪轉(zhuǎn)角相似，驅(qū)動(dòng)力矩的大小將直接影響汽車動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分岔特征。因此，在分析汽車的動(dòng)力學(xué)分岔特征時(shí)應(yīng)同時(shí)考慮前輪轉(zhuǎn)角和驅(qū)動(dòng)力矩兩個(gè)分岔參數(shù)的影響。

(2)以前輪驅(qū)動(dòng)模式為例，分析了5自由度汽車動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在周期前輪轉(zhuǎn)角輸入條件下，系統(tǒng)分岔特征的動(dòng)力學(xué)演變過(guò)程。結(jié)果表明：汽車動(dòng)力學(xué)特征將由穩(wěn)定的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)過(guò)渡到混沌運(yùn)動(dòng)。

[1] ROSSA F D，GOBBIM，MASTINU G，et al.Bifurcation analysis of a car and drivermodel[J].Vehicle System Dynamics，2014，52(S1)：142-156.

[2] FARRONI F，RUSSO M，RUSSO R，et al.A combined use of phase plane and handling diagram method to study the influence of tyre and vehicle characteristics on stability[J].Vehicle System Dynamics，2013，51(8)：1265-1285.

[3] SADRIS，WU C.Stability analysis of a nonlinear vehiclemodel in planemotion using the conceptof Lyapunov exponents[J].Vehicle System Dynamics，2013，51(6)：906-924.

[4] 余志生.汽車?yán)碚揫M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009.

[5] INAGAKIS， KUSHIRO L， YAMAMOTO M.Analysis on vehicle stability in critical cornering using phase-plane method[J].Jsae Review，1994，16(2).

[6] ONO E，HOSOE S，TUAN H D，et al.Bifurcation in vehicle dynamics and robust frontwheel steering control[J].IEEE Transactions on Control System Technology，1998，6(3)：412-420.

[7] ONO E，HOSOE S，TUAN H D，et al.Robust stabilization of vehicle dynamics by active frontwheel steering control[C].Proceeding of the 35th conference on Decision and Control， Kobe， Japan，December，1996.

[8] CATINO B， SANTINIS，BERNARDOM.MCSadaptive control of vehicle dynamics：An application of bifurcation techniques to control system design[C].Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control， Maui， Hmaii USA， December，2003.

[9] VINCENT N.Vehicle handling， stability， and bifurcation analysis for nonlinear vehiclemodels[D].USA，Washington D C：University of Maryland，2005.

[10] SHEN Shuiwen， WANG Jun，SHIPeng.Nonlinear dynamics and stability analysis of vehicle planemotions[J].Vehicle System Dy-namics，2007，45(1)：15-35.

[11] 劉麗，儲(chǔ)江偉，施樹明，等.車輛縱向加速度對(duì)操縱穩(wěn)定性的影響分析[J].振動(dòng)與沖擊，2009，28(6)：145-149.

[12] LIU L， SHI S， SHEN S， et al.Vehicle planar motion stability study for tyresworking in extremely nonlinear region[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering，2010，23(2)：185-194.

[13] HORIUCHIS，OKADA K，NOHTOMIS.Analysis of accelerating and braking stability using constrained bifurcation and continuation methods[J].Vehicle System Dynamics，2008，46(S1)：585-597.

[14] WANG Xianbin， SHIShuming， LIU Li， etal.Analysis of driving mode effect on vehicle stability[J].International Journal of Automotive Technology，2013，14(3)：363-373.

[15] KIENCKE U，NIELSEN L.Automotive control systems[M].New York： Springer，2000.

[16] PACEJKA H B.Tyre and vehicle dynamic[M].Oxford：Elsevier，2006.

[17] 喻凡，李道飛.車輛動(dòng)力學(xué)集成控制綜述[J].農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2008，39(6)：1-7.

An Analysis on the Effects of Driving Torque on Vehicle Steering and Driving Bifurcation

W ang Xianbin1＆Shi Shum ing2
1.Traffic College， Northeast Forestry University， Harbin 150040； 2.Traffic College， Jilin University， Changchun 130025

To study the effects of driving torque on vehicle dynamics stability，on the basis of five degree of freedom(5 DOF)，two dimensional nonlinear dynamicsmodel of vehiclewith driving torque involved，and using the steering angle of frontwheel as an intermediate variable，a corresponding 7 DOF autonomous system model is established for analyzing the effects of driving torque on the dynamics features of vehicle steering and driving bifurcation under different drivingmodes.Taking a front-wheel-drive vehicle as an example，the dynamic evolution process of driving torque effects on steering and driving bifurcation is analyzed by using phase space，the time sequence of state variables，power spectral density and Lyapunov exponents.The results show that themagnitude of drive torque directly affects the bifurcation characteristics of vehicle dynamics system， and both bifurcation parameters， i.e.the steering angle of frontwheel and driving torque should be concurrently considered in analyzing the dynamic bifurcation characteristics of vehicle.

vehicle nonlinear dynam ics； driving torque； steering and driving coupling condition； bifurcation；chaos

10.19562/j.chinasae.qcgc.2017.10.013

?中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(2572015CB15)、黑龍江省自然科學(xué)基金(E2015052)和國(guó)家自然科學(xué)基金(51475199)資助。

原稿收到日期為2016年8月9日，修改稿收到日期為2016年12月15日。

王憲彬，副教授，博士，E-mail：xbwang10＠ 163.com。