一種基于Viterbi法的改進瞬時轉(zhuǎn)速估計算法

劉永強， 郝高巖， 廖英英， 楊紹普

(1.石家莊鐵道大學機械工程學院 石家莊，050043)(2.石家莊鐵道大學土木工程學院 石家莊，050043)

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.05.025

一種基于Viterbi法的改進瞬時轉(zhuǎn)速估計算法

劉永強1， 郝高巖1， 廖英英3， 楊紹普1

(1.石家莊鐵道大學機械工程學院 石家莊，050043)(2.石家莊鐵道大學土木工程學院 石家莊，050043)

針對無轉(zhuǎn)速計的瞬時轉(zhuǎn)速估計問題及現(xiàn)有方法在抗噪、抗臨近階次和實時性方面的不足，基于Viterbi算法提出了一種改進型瞬時頻率估計(instantaneous frequency estimation,簡稱IFE)方法，并將其應用于變轉(zhuǎn)速工況下滾動軸承的瞬時轉(zhuǎn)速估計。將隱馬爾科夫模型中的Viterbi算法引入轉(zhuǎn)頻估計，分析了某一時頻平面中代價函數(shù)的計算次數(shù)；根據(jù)歐幾里得距離函數(shù)的性質(zhì)，提出了代價函數(shù)迭代循環(huán)停止的新型判定準則。該準則的優(yōu)點在于可以快速搜索時頻平面，尋找到最優(yōu)的局部路徑，提高了IFE精度和計算速度。通過仿真信號和實驗數(shù)據(jù)對該算法進行驗證。結(jié)果表明：改進后算法效率明顯提高，和基于峰值搜索IFE方法相比，改進的Viterbi-IFE方法具有較高的精度和穩(wěn)定性。

滾動軸承； 振動信號； 瞬時頻率估計； Viterbi算法； 代價函數(shù)

引 言

階次分析為變轉(zhuǎn)速工況下滾動軸承故障診斷的重要方法之一[1]，該方法中的關(guān)鍵問題就是準確追蹤參考軸轉(zhuǎn)速。一般情況下可采用轉(zhuǎn)速計等硬件裝置測量轉(zhuǎn)速，但在某些復雜工況下轉(zhuǎn)速計等鍵相裝置不易安裝，難以跟蹤參考軸轉(zhuǎn)速。針對該問題本研究改進了瞬時頻率估計方法，從測量的振動信號中提取出轉(zhuǎn)頻信息，繼而實現(xiàn)無需轉(zhuǎn)速計的階次分析。

陳平等[2]研究了基于MUSIC的瞬時頻率估計方法，但存在相位重疊且只適用于單分量信號；為實現(xiàn)無轉(zhuǎn)速計的階次跟蹤，郭瑜等[3-5]提出對采集的振動信號進行短時傅里葉變換得到時-頻圖，再通過局部峰值搜索獲得瞬時頻率(instantaneous frequency,簡稱IF)，但該方法的抗噪性及抗臨近階次的能力不足；趙曉平等[6-7]提出基于Viterbi算法的瞬時頻率估計方法，但由于該算法較復雜，運算時間較長，無法滿足實時分析的要求。Leclere等[8]提出了一種瞬時轉(zhuǎn)速估計算法，不需要進行先驗假設，而是由信號瞬時譜產(chǎn)生的概率密度函數(shù)來確定轉(zhuǎn)速信息。基于瞬時時間尺度因子估計，Combet等[9]提出了一種瞬時轉(zhuǎn)速相對波動估計方法，該方法采用峭度最大值法獲得分析信號的最佳長度，基于短時尺度變換估計瞬時轉(zhuǎn)速信息。Urbanek等[10]基于相空間重構(gòu)和時頻分析，提出一種兩步法用于估計瞬時頻率，可處理劇烈波動的轉(zhuǎn)速或復雜譜特征信號，但這些算法大多對抗臨近階次和實時性方面沒有過多要求。

針對目前算法的不足，筆者研究了Viterbi算法的路徑尋優(yōu)過程及其迭代次數(shù)，改進了該算法的尋優(yōu)方法，并提出了迭代循環(huán)停止的新型判定準則。改進后的方法提高了瞬時頻率的估算精度和計算速度，為實現(xiàn)無轉(zhuǎn)速計的實時階次跟蹤打下基礎(chǔ)。

1 基于Viterbi算法IFE的理論基礎(chǔ)

Viterbi算法是針對隱馬爾科夫模型提出的[11]：給出一個觀測序列O1，O2，O3，…，希望找到觀測序列背后的隱藏狀態(tài)序列P1，P2，P3，…，可采用動態(tài)規(guī)劃的方法來尋找出現(xiàn)概率最大的隱藏狀態(tài)序列。

基于Viterbi算法的IFE方法的基本思想來源于數(shù)字圖像處理中的邊線追蹤(edge-following)算法[12]，其原理是連接地圖(時頻平面)上的點，使這些點形成的路徑的長度值和高度變化值之和盡可能小，這和隱馬爾科夫模型中尋找觀測序列背后最可能的隱藏狀態(tài)序列相同[13]。

在一個由N組時間點和M組頻率點組成的時頻網(wǎng)格中，求出從第一組時間點到最后一組時間點的最優(yōu)路徑。設相鄰時間點n1，n2之間的所有路徑集合為K。n1，n2之間的最佳路徑表達式為

(1)

其中：p(k(n);n1,n2)為沿路徑k(n)的代價函數(shù)，其為g(x,y)和f(x)之和，時間從n1到n2；函數(shù)g(x,y)=g(|x-y|)為關(guān)于|x-y|的非增函數(shù)，其中x和y分別為路徑k(n)和k(n-1)所處的網(wǎng)格位置頻率編號，則g(x,y)表示x、y兩個連續(xù)時間點之間的距離；f(x)為關(guān)于x=Sf(n,k(n))的非減函數(shù)，其中函數(shù)Sf(x,y)為短時傅里葉變換(shorttimeFouriertransformation,簡稱STFT)后所得時頻平面的幅值。

通過這樣的定義，時頻平面中的頻率點所對應的STFT值越大，其成為瞬時頻率估計點的概率就越大。函數(shù)f(x)定義如下：考慮時刻n，把該時刻的STFT值Sf(n,w)按從大到小的順序排列

Sf(n,ω1)≥Sf(n,ω2)≥…≥Sf(n,ωj)≥

…≥Sf(n,ωM)

(2)

其中：j∈[1,M]，M為信號頻率點數(shù)。

f(x)定義為f(Sf(n,ωj))=j-1，該定義使IFE值第j個最大值的概率隨著j的增大而線性降低，可保證Sf(n,w)的較大者作為估計結(jié)果[14]。

下面對g(x,y)的形式進行討論。假設信號在持續(xù)時間范圍內(nèi)IF值沒有發(fā)生突變，可將g(x,y)的形式表達為

(3)

若整個信號持續(xù)時間范圍內(nèi)IF有突變點，g(x,y)的形式為

(4)

分析式(3)，(4)，當兩連續(xù)時間點的IF變化小于Δ1，此時距離函數(shù)g(x,y)為零，沒有距離函數(shù)引起的代價。當Δ1→∞時，此時g(x,y)恒為零，估計結(jié)果為STFT的最大值。當兩連續(xù)點的瞬時頻率有突變時，即|x-y|>Δ2，g(x,y)=c(Δ2-Δ1)，此時g(x,y)不為|x-y|的函數(shù)，而為定值c(Δ2-Δ1)，將距離函數(shù)限制在一定范圍內(nèi)，準確追蹤到突變點。另外，c和Δ的選擇需要根據(jù)預提取信號的波動情況而定，波動越大Δ越大。

2 基于Viterbi算法的改進

2.1 改進的迭代算法

在一個由M組頻率點和Q組時間點組成的時頻網(wǎng)格中，即T={(ni,ωj)|i∈[1,Q],j=[1,M]}，整個時頻平面需要計算的路徑總數(shù)為MQ，但在點數(shù)比較多的情況下，計算量非常大，實現(xiàn)起來難度很大。文中采用迭代方法簡化計算，并提出代價函數(shù)循環(huán)停止的判定準則，改進的迭代過程如下。

1) 假設從時刻n1到時刻(ni,ωj)的最優(yōu)路徑Li(n,ωj)已經(jīng)確定，最優(yōu)路徑表達式為

(5)

其中：n∈[n1,ni]；j∈[1,M]；Kij為從n1到(ni,ωj)的路徑的集合；p(k(n);n1,(ni,ωj))為沿路徑k(n)的代價函數(shù)，最優(yōu)路徑為代價函數(shù)最小的那條。

這里對于ni時刻的不同的頻率點，均存在一條最優(yōu)路徑，共M條最優(yōu)路徑。則在時間段[n1,ni]中，估計的瞬時頻率曲線就取M條最優(yōu)路徑中代價函數(shù)最小的那條。表達式為

(6)

2) 迭代到下一點ni+1的局部最優(yōu)路徑可以表示為

Li+1(n，ωj)=[Li(n，ωl),(ni+1,ωj)]

(j∈[1,M]；l∈[1,M])

(7)

新的代價函數(shù)為

p(li+1(n,ωl);n1,(ni+1,ωj))=

p(Li(n,ωl);n1,(ni,ωj))+g(ωl,ωj)+

f(Sf(ni+1,ωj))

(8)

最優(yōu)路徑取代價函數(shù)值最小的路徑。這里Li+1(n;ωj)對于不同頻率點也存在M個局部最優(yōu)路徑。任一時刻均有M個頻率點，計算每個頻率點的局部最優(yōu)路徑需要計算M次，因此計算出該時刻所有點的局部最優(yōu)路徑共計算M2次，對于整個時頻平面Q組時間點，共計算(Q-1)×M2次，遠遠小于之前MQ的計算量。

為了進一步減小計算量，觀察代價函數(shù)表達式(8)，p(Li(n;ωl);n1,(ni,ωj))為前ni組時間點局部最優(yōu)路徑的代價函數(shù)，g(ωl,ωj)為歐幾里得距離|ωl-ωj|的單調(diào)增函數(shù)。計算局部最優(yōu)路徑時，如果每組時間點中的每個頻率點ωj(j∈[1,M])不變，那么所對應的函數(shù)值f(Sf(ni+1,ωj))不變。因此采用以下步驟進一步減小計算量。

①令ρ=Δ；

3) 按步驟2)計算每個頻率點的局部最優(yōu)路徑。將該時間點的最優(yōu)路徑代價函數(shù)作為結(jié)果，帶入下一時間點代價函數(shù)的計算中，依次迭代，求出整個時頻平面的最優(yōu)路徑。

2.2 迭代算法仿真算例

假設由M=8和Q=3組成的時頻網(wǎng)格的一個元素為fij=f(Sf(ni,wj))，如圖1所示。

圖1 M=8，Q=3迭代過程仿真算例Fig.1 Iterative process when M=8，Q=3

由式(3)計算g(ωi,ωj)=gij，其中c=2.5，Δ=1。連接某時刻的某一頻率點與其前一時刻距離最近的3個頻率點，即|i-j|≤1時，gij=0。當|i-j|>1時，gij=2.5×|i-j|。

3 算法驗證

3.1 線性掃頻信號驗證

在軸承故障診斷中，軸承振動信號為含噪聲的多分量信號，經(jīng)過預處理后其噪聲仍然很大，且可能出現(xiàn)臨近階次。為檢驗基于Viterbi算法的IFE方法的抗噪和抗臨近階次能力，采用仿真信號進行研究，其瞬時頻率如式(9)所示。

ω(t)=2.5πt+30π

(9)

通過該頻率調(diào)制規(guī)律來仿真滾動軸承升速工況振動信號，其多分量信號模型[15]為

(10)

其中：η(t)為高斯白噪聲；信噪比為-9 dB。

時域波形如圖2所示。轉(zhuǎn)頻從15 Hz線性變化到40 Hz，持續(xù)時間20 s。仿真模型中包含轉(zhuǎn)頻的一倍頻，幅值為1；0.66倍頻，幅值為0.8；0.5倍頻，幅值為0.7。STFT時頻圖如圖3所示，可以觀察到由于噪聲影響，各倍頻分量并不突出。

圖2 線性掃頻時域信號Fig.2 Linear sweep frequency signal in time domain

分別采用局部峰值搜索算法和基于Viterbi算法的IFE方法提取轉(zhuǎn)頻，結(jié)果如圖4所示。圖中星點線為基于Viterbi算法的IFE方法得到的轉(zhuǎn)頻曲線，短畫線為局部峰值搜索法得到的轉(zhuǎn)頻曲線，實線為理論轉(zhuǎn)頻曲線。

圖4 線性掃頻信號IFE結(jié)果對比圖Fig.4 IFE results comparison for linear sweep frequency signal

根據(jù)式(11)求兩種算法的瞬時頻率估計值相對于理論值的百分比誤差。

(11)

局部峰值搜索算法的誤差ξ=43.4%，基于Viterbi算法的IFE誤差ξ=3.11%?？梢钥闯鲈诟咴肼暫统霈F(xiàn)臨近階次的情況下，局部峰值搜索算法已經(jīng)失效，抗噪和抗臨近階次的能力有限。而基于Viterbi算法的IFE結(jié)果具有很高的精度，在較高噪聲干擾下仍可精確進行估計。

3.2 正弦掃頻信號

仿真強噪聲環(huán)境下的正弦掃頻信號，并計算其相對于理論值的百分比誤差。瞬時頻率由式(12)給出。

ω(t)=2π(7.5-2.5cos(t))t=[0,2π]

(12)

正弦掃頻信號模型如式(13)所示，其中包含1，2，4階三個分量[15]。

(13)

其中：η(t)為高斯白噪聲；信噪比為-3 dB；采樣率為100 Hz。

轉(zhuǎn)頻呈正弦規(guī)律變化，仿真模型中包含轉(zhuǎn)頻的一倍頻，即一階分量，幅值為1；二階分量，幅值為0.6；四階分量，幅值為0.4。STFT時頻譜如圖5所示。

圖5 正弦掃頻信號STFT譜圖Fig.5 STFT for sinusoidal sweep frequency signal

現(xiàn)采用基于Viterbi算法的IFE方法提取第一個分量，結(jié)果如圖6所示。點線為采用Viterbi算法估計的瞬時頻率連線；粗實線為將瞬時頻率點采用5次多項式擬合得到的頻率曲線；短劃線為理論頻率曲線?？梢钥吹近c線相對于理論值在局部存在一定誤差，出現(xiàn)突變點，但轉(zhuǎn)速通常為平穩(wěn)連續(xù)變化，因此這里采用低階多項式進行擬合，得到比較平滑的估計曲線。擬合曲線相對于理論曲線的百分比誤差為ξ=3.45%，可以得出，基于Viterbi算法的IFE方法可以精確估計瞬時轉(zhuǎn)頻，具有較好的抗噪性和抗臨近階次的能力。

圖6 正弦掃頻信號IFE結(jié)果Fig.6 IFE results for sinusoidal sweep frequency signal

3.3 實驗信號

采用QPZZ-Ⅱ型旋轉(zhuǎn)機械振動及故障模擬實驗平臺進行變轉(zhuǎn)速振動測試試驗，實驗臺如圖7所示。

圖7 旋轉(zhuǎn)機械振動及故障模擬實驗臺Fig.7 Test rig of rotating machinery vibration and fault simulation

實驗采用NI PXIe 4496數(shù)據(jù)采集設備，采用PCB 355B03型壓電加速度傳感器測量振動信號，采樣頻率為25.6 kHz；采用PCB LaserTach ICP型激光轉(zhuǎn)速傳感器測量參考軸轉(zhuǎn)速，采樣頻率為1 kHz。根據(jù)轉(zhuǎn)速脈沖信號采用5點公式法[16]計算參考軸的瞬時轉(zhuǎn)頻，并將該方法測得的轉(zhuǎn)頻作為參考值。

實驗中軸承節(jié)圓直徑D=38.5 mm，滾子直徑d=7.2 mm，滾子個數(shù)Z=13，接觸角α=0。根據(jù)外圈故障特征頻率計算公式，得外圈故障特征階次為

Obpo=Z[1-d/Dcos(α)]/2≈5.284

(14)

模擬轉(zhuǎn)速劇烈波動工況，原始振動信號如圖8所示。根據(jù)軸承故障診斷實驗平臺振動信號的特點，采用共振解調(diào)方法進行故障特征提取。采集信號通過包絡解調(diào)就可以得出隨轉(zhuǎn)速變化的低頻幅值包絡信號。

圖8 原始時域振動信號Fig.8 Original vibration signal in time domain

為提取低頻區(qū)段內(nèi)的轉(zhuǎn)速信息，對信號進行低通濾波和降采樣處理，低通濾波截止頻率設定為1 500 Hz，降采樣倍數(shù)為5，降采樣后的采樣率為5 120 Hz。然后對降采樣后的數(shù)據(jù)進行Hilbert包絡并去趨勢項得預處理振動信號。預處理振動信號STFT譜圖如圖9所示。

圖9 振動信號STFT時頻譜圖Fig.9 STFT for the rolling bearing vibration signal

根據(jù)軸承故障特征頻率計算公式可看出，故障特征階次一倍頻的峰值在時頻譜圖中最突出，因此將其作為搜索目標。

圖10 Viterbi法、峰值搜索法、轉(zhuǎn)速計測得結(jié)果對比圖Fig.10 Comparison of the results from Viterbi-IFE、Peaksearch-IFE and the tachometer

對圖9進行基于Viterbi算法的轉(zhuǎn)頻估計，得到估計結(jié)果，如圖10所示。圖中實線為采用激光轉(zhuǎn)速計測量轉(zhuǎn)速脈沖計算得到的參考軸瞬時頻率曲線，星點線為基于Viterbi算法所估計出的轉(zhuǎn)頻曲線，點虛線為采用峰值搜索算法估計的轉(zhuǎn)速曲線。可以看出，Viterbi-IFE和轉(zhuǎn)速計測得轉(zhuǎn)速曲線基本一致，而峰值搜索在局部出現(xiàn)較大偏差。求估計瞬時頻率值相對于參考值的百分比誤差，根據(jù)公式(9)計算，峰值搜索誤差為8.5%，Viterbi-IFE估計誤差僅為0.71%。

分別采用改進前與改進后的Viterbi算法對實驗信號STFT譜圖進行瞬時頻率估計，其代價函數(shù)迭代過程所用時間如表1所示。計算時統(tǒng)一采用MATLAB編程，硬件為DELL筆記本電腦，4核Core i5處理器，主頻1.80 GHz。在表1中，將式(10)所示的線性掃頻信號和式(13)所示的正弦掃頻信號同時考慮在內(nèi)，分別采用改進前與改進后的Viterbi算法對該兩組信號STFT譜圖進行瞬時頻率估計。從表1中可知，在仿真信號和實驗信號驗證中，使用相同計算資源的前提下，改進后的Viterbi算法計算效率得到明顯提升。尤其是實驗信號，無判定準則的Viterbi-IFE用時1.45 s，有判定準則的改進Viterbi-IFE用時降至0.52 s。整個轉(zhuǎn)速變化過程持續(xù)時間為38 s，而進行轉(zhuǎn)頻估計的迭代計算過程用時0.52 s，從響應的及時性分析，該算法可以滿足實時分析的要求。

表1 改進前后迭代計算所用時間

Tab.1 The time used for the iterative calculation before and after the improvement s

4 結(jié)束語

基于振動信號的瞬時轉(zhuǎn)速估計使無轉(zhuǎn)速計的軸承狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷成為可能，其中基于振動信號STFT譜圖的局部峰值搜索IFE方法是比較早的方法，但其抗噪性和抗臨近階次的能力有限。筆者研究了基于Viterbi算法的IFE方法，并分析了代價函數(shù)的迭代過程和次數(shù)，在此基礎(chǔ)上，提出了代價函數(shù)迭代循環(huán)停止的新型判定準則，該準則可以實現(xiàn)時頻平面最優(yōu)路徑的快速搜索，提高了瞬時頻率的估算精度和計算速度。通過仿真信號和實驗數(shù)據(jù)進行驗證，具有判定準則的改進后算法較改進前算法的效率明顯提高，為無轉(zhuǎn)速計的軸承狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷奠定了基礎(chǔ)。

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國家自然科學基金資助項目(11572206，11472179，U1534204，11372199)；河北省自然科學基金資助項目(A2015210005，A2016210099)；河北省人才工程培養(yǎng)經(jīng)費資助科研項目(A2016002036)

2016-09-13；

2017-01-18

TH165.3

劉永強，男，1983年12月生，副教授、博士生導師。主要研究方向為車輛系統(tǒng)動力學、機車狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷。曾發(fā)表《一種自適應共振解調(diào)方法及其在滾動軸承早期故障診斷中的應用》(《振動工程學報》 2016年第29卷第2期)等論文。

E-mail：liuyq@stdu.edu.cn