等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

楊新運(yùn)

（廈門市新店中學(xué)，福建 廈門 361102）

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

楊新運(yùn)

（廈門市新店中學(xué)，福建 廈門 361102）

在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化能為許多問(wèn)題的求解指明方向：將陌生問(wèn)題熟悉化，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將抽象問(wèn)題具體化，將直接問(wèn)題間接化等。

高中數(shù)學(xué)；等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；問(wèn)題解決

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想指的是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)某種手段或技巧，把問(wèn)題轉(zhuǎn)變到一類已經(jīng)解決、或者比較容易解決的問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題的一種思路和方法?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2003實(shí)驗(yàn)版）》指出“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)重視提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”，而等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想其實(shí)就是一種重要的數(shù)學(xué)思維能力。在等價(jià)轉(zhuǎn)化過(guò)程中，一般是化繁為簡(jiǎn)，化難為易，即對(duì)原來(lái)問(wèn)題中的條件進(jìn)行整理、變形、轉(zhuǎn)換，最后將原問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單的和熟悉的問(wèn)題。教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題。

一、將陌生問(wèn)題熟悉化

在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，常常把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題，再用既定的方法解決問(wèn)題，數(shù)列遞推求通項(xiàng)問(wèn)題的求解就是這種等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。

分析：本題如果賦值求解，困難較大，但是若把數(shù)列{an}的遞推公式進(jìn)行整理變形便能轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的等差數(shù)列，就容易求出通項(xiàng)公式。

本題主要把求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通項(xiàng)公式，即變成求學(xué)生熟悉的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。因此，有些數(shù)列雖然不是等差或等比數(shù)列，但學(xué)生可以通過(guò)變形、化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為熟悉的特殊的數(shù)列來(lái)解決。這種把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用非常廣泛。

例2.設(shè)函數(shù) f(x)在 R上的導(dǎo)函數(shù)是 f′(x)，對(duì) ?x∈R ，f′(x)＜x ，若 f(1-a)-f(a)≤-a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：這道題的題干很簡(jiǎn)單，但是不易找到解題思路，經(jīng)過(guò)認(rèn)真的分析后，可將已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化：

進(jìn)而

這道題把本來(lái)看似陌生、不易解決的問(wèn)題，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化變成熟悉的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題來(lái)解決，轉(zhuǎn)化之后的構(gòu)造函數(shù)是解題的重點(diǎn)，而最初的等價(jià)轉(zhuǎn)化才是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

二、將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化

對(duì)于一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，從正面直接解答或用特定方法解答比較復(fù)雜，若能轉(zhuǎn)換解答思路或變換考慮問(wèn)題的角度，往往可以把復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，解決起來(lái)也比較快捷。

例 3.已 知 a+b+c=1,a＞0,b＞0,c＞0 ，求 證 ：

證明不等式時(shí)，常利用已知條件通過(guò)適當(dāng)變換，將未知的條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為常見的已有的條件，用既定的方法去解決實(shí)際問(wèn)題。要注意找到問(wèn)題中的已知條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，挖掘出隱含條件，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相對(duì)簡(jiǎn)單、容易突破的問(wèn)題。

分析：通常的解法是將cos2x=1－sin2x代入已知的式子，然后令t=sin2x，換元進(jìn)行整理變化，然后求最值。如果改變一下思路，進(jìn)行一下等價(jià)轉(zhuǎn)化，問(wèn)題就會(huì)變得更簡(jiǎn)單：

本題不用三角換元，去分母，進(jìn)行繁瑣的化簡(jiǎn)，而是對(duì)原函數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，從而運(yùn)用基本不等式求最值，把復(fù)雜的解題思路變得簡(jiǎn)單，這里等價(jià)變形起到了關(guān)鍵的作用。由此可見，對(duì)一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)一定的等價(jià)轉(zhuǎn)化，可以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。解題時(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生明白，碰到復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，先進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜問(wèn)題變得相對(duì)簡(jiǎn)單后，再進(jìn)行求解計(jì)算。

三、將抽象問(wèn)題具體化

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，經(jīng)常還會(huì)碰到一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這些問(wèn)題往往給出的條件非常少，不易直接求解或推導(dǎo)，需要進(jìn)行一系列的等價(jià)轉(zhuǎn)化，才能變成具體的、容易求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例5.設(shè)定義在 R上的函數(shù) f(x)滿足f(x)·f(x+2)=13，若 f(1)=2 ，求 f(99)的值。

分析：這是一個(gè)抽象函數(shù)問(wèn)題，沒有給出函數(shù)的一些性質(zhì)，直接求解幾乎是不可能的事情。所以要對(duì)已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化：

把抽象問(wèn)題具體化是在數(shù)學(xué)解題中常用的轉(zhuǎn)化手段，在抽象問(wèn)題與具體函數(shù)間建立聯(lián)系，從而把抽象問(wèn)題具體化。

例6.在直徑為d的圓木中，截取一個(gè)具有最大抗彎強(qiáng)度的長(zhǎng)方體梁，則矩形面的長(zhǎng)為________(強(qiáng)度與 bh2成正比，其中h為矩形的長(zhǎng)，b為矩形的寬)。

分析：本題是一個(gè)小的應(yīng)用題，條件少，抽象性強(qiáng)，不易找到解題突破口。認(rèn)真思考后，可畫出截面圖如下，把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體圖形問(wèn)題，再進(jìn)行化簡(jiǎn)求值。

如圖為圓木的橫截面，∵b2+h2=d2∴bh2=b(d2-b2)

以上兩個(gè)問(wèn)題主要是把抽象問(wèn)題或應(yīng)用問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后利用函數(shù)的周期性，或借助幾何圖形，再結(jié)合學(xué)過(guò)的函數(shù)知識(shí)加以解決。題目難度雖然不是很大，但是如果不進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，便不好找解題思路，甚至無(wú)從下手。因此，等價(jià)轉(zhuǎn)化的步驟是解決問(wèn)題的重要前提，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在解題中認(rèn)真領(lǐng)悟、用心總結(jié)，掌握常用的等價(jià)轉(zhuǎn)化技巧，從而提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力。

四、將直接問(wèn)題間接化

有一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，直接求解時(shí)，分類情況較多，解答起來(lái)相對(duì)復(fù)雜，且易遺漏或重復(fù)。當(dāng)正面分類情況較多時(shí)，反面的情況相對(duì)就較少，因此用間接方法解答，問(wèn)題就會(huì)更簡(jiǎn)單。

例7.一條長(zhǎng)椅上有7個(gè)座位，4個(gè)人坐，還有3個(gè)空位子，求：(1)至少有兩人坐在一起，有多少種不同的坐法？(2)三個(gè)空位不都相鄰，有多少種不同的坐法？

例8.某班甲、乙、丙三名同學(xué)參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔考試，成績(jī)合格可獲得參加競(jìng)賽的資格。其中甲同學(xué)表示成績(jī)合格就去參加，但乙、丙同學(xué)約定：兩人成績(jī)都合格才一同參加，否則都不參加。設(shè)每人成績(jī)合格的概率為ffffdd，求三人至少有一人成績(jī)合格的概率。

分析：這個(gè)問(wèn)題中又是含有“至少”的字眼，總共有三人，正面求解分類較多，比較復(fù)雜，所以考慮用間接方法處理問(wèn)題。

略解：用事件A、B、C分別表示為“甲、乙、丙三人成績(jī)合格”，由題意知A、B、C三個(gè)事件相互獨(dú)立，且那么成績(jī)合格的概率為

因此，對(duì)于一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果從條件出發(fā)，正面分析問(wèn)題時(shí)，分類情況較多，解答過(guò)程比較繁瑣，可以考慮分析問(wèn)題的條件或結(jié)論的反面情況。也就是把直接問(wèn)題間接化，可以減少分類討論，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，使問(wèn)題得以較快地解決。

五、結(jié)語(yǔ)

等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中起著舉足輕重的作用,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重視等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法在解題中的運(yùn)用。但由于等價(jià)轉(zhuǎn)化思想具有一定的靈活性，解題時(shí)要先設(shè)計(jì)好等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法和思路，避免生搬硬套，造成解題失誤。要引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)問(wèn)題，從高次往低次轉(zhuǎn)化，變成比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題；或者由抽象往具體轉(zhuǎn)化，變成比較直觀的問(wèn)題；或者從非標(biāo)準(zhǔn)型往標(biāo)準(zhǔn)型轉(zhuǎn)化，變成我們的熟悉的公式或結(jié)論；或者將非線性的問(wèn)題往線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化，變成常規(guī)的代數(shù)運(yùn)算等等。按照這些原則進(jìn)行解題操作，可暢通無(wú)阻地攻克許多高中數(shù)學(xué)難題。教師在解題教學(xué)時(shí)，應(yīng)經(jīng)常滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法，這樣即可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力又可以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

［1］教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

［2］方亞斌.怎樣認(rèn)識(shí)新課標(biāo)中的基本不等式［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（2）．

［3］張中發(fā).例談等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解高考題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011（3）.

［4］齊如意.函數(shù)問(wèn)題中的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2004（6）.

［5］吳桂芬.如何提高“解題教學(xué)”課的教學(xué)效率［J］.新課程研究（基礎(chǔ)教育），2010（1）.

（責(zé)任編輯：王欽敏）