一種衛(wèi)星分步結構優(yōu)化方法

徐皓 姚雯 趙勇 王寧 都柄曉

(國防科學技術大學航天科學與工程學院，長沙 410073)

一種衛(wèi)星分步結構優(yōu)化方法

徐皓 姚雯 趙勇 王寧 都柄曉

(國防科學技術大學航天科學與工程學院，長沙 410073)

在衛(wèi)星結構設計中，為了在滿足各種工況條件下有效實現減重，基于優(yōu)化驅動設計的思想，文章提出了一種分步結構優(yōu)化方法：第一步采用固體各項同性懲罰微結構法(SIMP)進行多工況下最小柔順度的拓撲優(yōu)化，通過將多工況下的優(yōu)化目標加權，轉化為單目標優(yōu)化問題，優(yōu)化求解得到最優(yōu)構型；第二步，提取第一步優(yōu)化方案的拓撲構型關鍵特征，以質量最小、整星結構基頻最高為目標，采用帶精英策略的非支配排序遺傳算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II，NSGA-II)對形狀和尺寸參數進行多目標優(yōu)化；第三步，根據得到的形狀尺寸參數，考慮實際加工和設計要求，經過人工修改迭代，得到最終設計。此方法應用于天拓-3衛(wèi)星的支撐腿結構設計中，實現了考慮多工況的拓撲優(yōu)化和多目標的形狀尺寸優(yōu)化。按照工程設計制造要求進行處理，獲得的優(yōu)化方案在滿足各項約束條件下使支撐腿結構有效減重44.57%，整星結構基頻提高3.97%，說明該方法具有較強的工程應用價值。

衛(wèi)星；拓撲優(yōu)化；形狀尺寸優(yōu)化；多工況；多目標

1 引言

現有衛(wèi)星結構優(yōu)化包括拓撲結構優(yōu)化、形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化，其中拓撲結構的優(yōu)化是最高層次的優(yōu)化，其次是形狀優(yōu)化，最后是尺寸優(yōu)化。形狀和尺寸優(yōu)化已經發(fā)展的非常成熟，廣泛運用在各種結構優(yōu)化設計中。目前，衛(wèi)星結構優(yōu)化的研究大多集中在材料、形狀及尺寸優(yōu)化方面，例如文獻[1]通過遺傳算法對衛(wèi)星的空間展開桁架結構進行形狀優(yōu)化，提高這一結構的隔振效果，最終得到一個能量通過時衰減較多的結構。文獻[2]為降低對地觀測小衛(wèi)星單機安裝點加速度響應均方根值，提出了一種使加速度響應均方根值最小化的微小衛(wèi)星主承力結構拓撲優(yōu)化方法；文獻[3]基于拓撲優(yōu)化的概念設計，綜合實際火箭短殼的可制造性，通過形狀和尺寸的協同優(yōu)化策略得到了一個合理的設計方案。但是，上述文獻有的未考慮拓撲優(yōu)化，有的未進行后續(xù)的尺寸與形狀優(yōu)化，直接給出結構設計參數，有的未考慮多工況以及多目標的情況。據此，本文提出了一種分步結構優(yōu)化方法，且同時考慮多個工況、多個目標，并通過對某微小衛(wèi)星的支撐腿結構進行從拓撲優(yōu)化到形狀尺寸優(yōu)化的完整優(yōu)化過程，對該方法進行了工程驗證，結果表明這一優(yōu)化方法可以加快設計進程，提高結構性能，并能根據實際要求從多個Pareto最優(yōu)解中尋找合適的設計參數。

2 分步結構優(yōu)化方法

完整的結構設計一般包括拓撲設計、形狀設計及尺寸設計，分別對應結構的概念設計、初步設計和詳細設計階段[4]。拓撲優(yōu)化的構型一般作為概念設計的重要參考，這時，局部應力約束和穩(wěn)定性約束一般可通過后續(xù)的初步設計和詳細設計來精細地滿足[5]。本文全面考慮所有的優(yōu)化過程，結合多工況及多目標優(yōu)化方法，提出了分步優(yōu)化方法。如圖1所示，首先，建立結構標準的柔度最小化的拓撲優(yōu)化模型，在得到多個工況下最優(yōu)的載荷傳遞構型后，再根據拓撲構型進行參數化建模，由于拓撲構型往往較為復雜，無法對所有參數進行參數化建模，因此這一步需要進行合理的簡化，用有限個幾何和形狀參數描述結構；其次，進行多目標多工況的形狀尺寸優(yōu)化設計；最后，考慮最小尺寸要求、應力集中、安裝干涉、倒角大小等要求進行人工迭代設計，通過這三個優(yōu)化步驟得到的結構就可以直接運用到實際工程中。

注：Abaqus為有限元軟件，Isight為多學科優(yōu)化軟件，NSGA-Ⅱ為帶精英策略的非支配排序遺傳算法。圖1 分步優(yōu)化方法示意圖Fig.1 A multi-step structure optimization method

2.1拓撲優(yōu)化模型的建立

實際工程結構優(yōu)化大多以應力、位移等為約束，考慮結構的質量最小化問題，但是直接建立這樣的拓撲優(yōu)化模型較為復雜，求解也較為困難，本文采用了分步優(yōu)化的方法，因此拓撲優(yōu)化階段采用目前應用最廣泛的連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化模型，即指定體積約束下最小化柔度的模型，這種優(yōu)化方法被很多文獻證明是有效的[6-7]。拓撲描述采用變密度法，變密度法以連續(xù)變量的密度函數形式顯示地表達單元相對密度與材料彈性模量之間的對應關系，不須引入微結構和附加的均勻化過程，以每個單元的相對密度作為設計變量，假定相對密度和材料彈性模量之間的對應關系。變密度法中常見的插值模型有：固體各向同性懲罰微結構模型(SIMP)、材料屬性的合理近似模型(RAMP)[8]。SIMP或RAMP通過引入懲罰因子對中間密度值進行懲罰，使中間密度值向0-1兩端聚集，使連續(xù)變量的拓撲優(yōu)化模型能很好地逼近0-1離散變量的優(yōu)化模型。

目前，對于連續(xù)體結構研究最多的是單工況下的拓撲優(yōu)化問題，多工況條件下的拓撲優(yōu)化問題本質上是一個多目標優(yōu)化問題，很少能找到一個使所有目標都最優(yōu)的解，本文為了簡化問題，假設多工況應變能是在多載荷步的情況下，每個載荷單步的應變能加權和[7,9]。如果用Ck表示k工況下的應變能，則目標函數多工況應變能為

(1)

式中：X=(x1,x2,…,xn)表示單元相對密度設計變量組成的向量；M為工況數；wk為權因子，和為1。wk的取值根據實際問題確定，權因子較大的載荷表示其對整個結構的剛度貢獻較大，權因子的合理選擇依賴于工程經驗。

由此得到多工況下柔度最小化問題的拓撲優(yōu)化模型[8]為

(2)

式中：n為設計變量數目；Vfrac是體積比約束；V是原始體積；Ej表示插值后的第j個單元彈性模量；E0為固體部分的材料彈性模量；p為對中間密度的懲罰因子；xj和Vj分別為每個有限元單元的相對密度和體積，xmin為單元相對密度的最小值，通常設置為0.000 1，以防止有限元計算時產生奇異現象。

2.2尺寸及形狀優(yōu)化數學模型

實際衛(wèi)星結構往往要在多個工況下工作，并且設計時要綜合考慮多個指標，以得到一個性能均衡的結果，例如同時考慮頻率、質量和成本等多個目標。因此本文建立起多工況、多目標優(yōu)化的尺寸形狀優(yōu)化數學模型為

(3)

式中：[O1(X),O2(X),…,OP(X)]為目標函數，P為目標個數，QM(X)為第M個工況下的響應函數，Fi(Q1(X),Q2(X),…,QM(X))為第i個約束函數，K為約束個數。優(yōu)化過程如圖2所示。

圖2 Isitht集成NSGA-II算法和Abaqus軟件示意圖Fig.2 Integration of NSGA-II and Abaqus

上述優(yōu)化模型采用多學科優(yōu)化軟件Isight中的NSGA-II算法集成Abaqus軟件求解，具有很好的收斂速度和魯棒性，已成為多目標優(yōu)化領域的基準算法之一，并成功地用于解決實際工程中的力學優(yōu)化問題[10]。

3 分步結構優(yōu)化方法在微小衛(wèi)星結構中的應用

天拓-3微納衛(wèi)星是國防科技大學微納衛(wèi)星工程中心研制的由6顆衛(wèi)星組成的集群衛(wèi)星，如圖3所示，其主星主體為一個近似的立方體，尺寸為398 mm×398 mm×516 mm，質量約20 kg。衛(wèi)星主體由4個板狀支撐腿支撐(見圖4)，固定在星箭分離底座(適配器)上，支撐腿的作用是連接衛(wèi)星主體與分離底座，保護衛(wèi)星天線，發(fā)射過程中，避免衛(wèi)星與火箭共振，保證衛(wèi)星主體內部器件在各種載荷作用下不被破壞。

圖3 天拓-3微納衛(wèi)星及分離底座Fig.3 Tiantuo-3 satellite and separation mechanism base

圖4 天拓-3有限元分析模型Fig.4 Tiantuo-3 finite element analysis model

3.1支撐腿的三維拓撲優(yōu)化

為了驗證分步優(yōu)化方法的有效性，本文以天拓-3微納衛(wèi)星的支撐腿為例進行優(yōu)化。這是一個分步多目標優(yōu)化問題，在拓撲優(yōu)化階段，目標為多個工況下的柔度最小，約束為體積比函數。根據衛(wèi)星飛行極限載荷條件，共有4種極限工況，根據經驗設定它們的權因子值相同，均為0.25，如表1所示。衛(wèi)星的設計載荷為飛行極限載荷乘以1.5倍的安全系數，拓撲優(yōu)化階段考慮到支撐腿要承受較大的載荷，同時具有較好彈性，原始設計選用的是60Si2CrA彈簧鋼，其屈服極限為1200 MPa。

表1 整星的4種極限工況

基于支撐腿的原始設計，建立優(yōu)化模型的設計區(qū)域如圖5所示，為了與衛(wèi)星主體結構和分離機構相配合，支撐腿上端和下端均設為不可設計域。由于在施加X和Y方向的過載后，整星狀態(tài)不發(fā)生偏轉，僅發(fā)生平移，由4個支撐腿變形狀態(tài)一致，推得它們的受力狀態(tài)一致， 4個支撐腿均勻承擔了整星X和Y方向的過載力，可以認為支撐腿的橫向過載大小為整個主星橫向過載力的1/4。在支撐腿上端設置了參考點，衛(wèi)星主體的過載通過加在參考點上的集中力來實現，大小為整星過載力的1/4，也就是5 kg對應的過載力。

圖5 支撐腿拓撲優(yōu)化設計域Fig.5 Topology optimization design region of supporting leg

由線彈性假設、小變形假設以及對稱條件，認為整星結構僅發(fā)生平移，得到支撐腿邊界條件見表2。

表2 支撐腿邊界條件

注：UX、UY表示X、Y方向的位移，θX、θY、θZ表示X、Y、Z軸的轉角。

為了得到較為規(guī)則的構型，本文設置了對稱幾何約束，讓支撐腿關于XZ、YZ平面對稱。為比較不同約束函數對結果的影響，保持目標函數不變，約束函數值分別取0.4、0.3、0.2，對支撐腿進行了優(yōu)化，優(yōu)化結果如圖6所示。

圖6 優(yōu)化后拓撲結構Fig.6 Structure after topology optimization

由圖6的拓撲優(yōu)化結果可以看出：最優(yōu)拓撲構型由多根肋交叉組成，成網狀，隨著體積比約束的減小，結構的三角形空洞逐漸清晰。

3.2支撐腿形狀和尺寸優(yōu)化

3.1節(jié)得到的拓撲構型較為復雜，因此提取主要特征進行參數化建模，得到的參數作為形狀尺寸優(yōu)化的設計變量，得到用于精細優(yōu)化的參數化支撐腿模型如圖7所示。

圖7 參數化的支撐腿精細優(yōu)化模型Fig.7 Model for shape and size optimization

圖7中，Wi,i=1,…,9為截面尺寸參數，Li,i=1,…,5為結構形狀參數，T為厚度參數。在這一優(yōu)化階段，將整星與4個支撐腿裝配起來，分析整個裝配體，優(yōu)化過程包括兩個主要目標，即支撐腿質量最小的同時整星的結構基頻最高，約束為在過載條件下支撐腿所受最大應力滿足強度要求并且滿足屈曲穩(wěn)定性要求，即屈曲因子大于1，這一優(yōu)化的數學模型為

(4)

本文將主要的形狀尺寸參數作為設計變量在有限元軟件Abaqus上進行參數化建模，利用Isight中的NSGA-II算法優(yōu)化這些參數，結果見圖8、9。

圖8 整星結構基頻與支撐腿質量的近似Pareto前沿Fig.8 Pareto front of lateral fundamental frequency and mass of supporting leg

將圖7中的參數化模型按照圖2所示優(yōu)化過程進行優(yōu)化，得到圖8所示滿足約束的近似Pareto前沿,以及圖9所示的優(yōu)化目標迭代曲線，左側坐標為質量優(yōu)化目標，右側為整星結構基頻優(yōu)化目標。由圖8可以得到多目標優(yōu)化的近似Pareto前沿呈拋物線狀，可以直觀地看出最小化支撐腿質量和最大化整星結構基頻是互相矛盾的，這一點由圖9也可以由兩個目標的迭代呈現此消彼長的趨勢看出。如果更加傾向于減重，則應沿著拋物線選擇左上角的點作為結果，如果傾向于提高整體基頻則應沿著拋物線選擇右下角的點作為結果。一般往往會選擇折衷的設計，即中間部分的點作為結果，以保證結構性能的均衡。

圖9 多目標迭代過程Fig.9 Iteration history of multi-objective optimization

本文選擇圖8中A點作為最終設計，這是一個折衷的選擇，支撐腿質量性能和整星結構基頻性能均滿足設計要求，得到表3、4、5的最終參數值。其中，表3給出了形狀和尺寸優(yōu)化結果的兩個目標函數及約束函數值，表4及表5給出了優(yōu)化結果的形狀參數值和尺寸參數值以及相應的優(yōu)化初始值和設計上下限取值。

表3 目標及約束值

表4 形狀參數值

表5 尺寸參數值

3.3考慮加工和實際要求的人工迭代優(yōu)化

零部件在制造加工過程中，往往有一個最小尺寸要求，小于該尺寸范圍的特征將很難鑄造或用刀具加工，另外工程上不希望出現過于細長的結構，并且需要考慮應力集中、安裝干涉、倒角大小等要求，上一部分得到的支撐腿設計由于沒有考慮這些約束，并不能直接應用。因此這一部分以上一步優(yōu)化得到的優(yōu)化結果作為參考，通過幾輪人工設計迭代，不斷修正設計，使支撐腿符合這些約束，最終獲得一個可以應用于實際工程上的零件結構，如圖10(b)所示?？梢钥闯觯瓮韧诳仔螤詈统叽鐓档淖罱K設計與完全憑借經驗的設計相比有了很大的改變，由原先單純挖橢圓減重孔變成了十字交叉的肋形式，直觀上，這一多三角構型也會更加的穩(wěn)定，并且孔洞面積顯著增加。

圖10 原始和最終的支撐腿設計Fig.10 Original and final design of supporting leg

3.4最終設計的有限元校驗

本節(jié)將3.3節(jié)得到的最終設計與其他部件裝配起來，進行有限元仿真，與由完全憑借經驗設計的原始支撐腿設計進行性能對比，以驗證分步優(yōu)化方法的有效性。

將得到的支撐腿最終設計與衛(wèi)星主體和底座裝配起來，進行有限元分析得到的結果見表6。

表6 原始設計和最終設計的有限元分析結果

由表6可以看出，經過一系列優(yōu)化過程后，相比于原始設計，本文成功地在滿足約束的條件下，將支撐腿的質量減少了44.57%，整星結構基頻提高了3.97%，說明支撐腿的剛度沒有下降，性能得到了保證。這些都表明盡管這兩個目標是矛盾的，但仍然可以通過多目標優(yōu)化使得結構性能比原始設計均有所提升。由于支撐腿的質量降低了，更加薄弱，導致最大Von Mises應力和屈曲因子提高，但仍然具有相當大的安全余量，從另一個角度也說明原始設計確實過于保守，因此，可以認為本文介紹的分步優(yōu)化方法是有效的。

4 結束語

本文針對工程實際經常面對的多工況、多目標優(yōu)化問題，提出了基于拓撲優(yōu)化以及形狀尺寸優(yōu)化，考慮多工況、多目標的分步優(yōu)化方法，并利用Abaqus拓撲優(yōu)化模塊以及多學科優(yōu)化軟件Isight。以天拓-3微小衛(wèi)星為例，通過在4種工況下同時降低質量和提高整星結構基頻的多目標優(yōu)化，得到了滿足工程實際要求的優(yōu)化方案，使得支撐腿性能比原始設計均有所提升，與原始設計相比，支撐腿成功減重44.57%，整星結構基頻提高3.97%，驗證了本文介紹的分步優(yōu)化方法的有效性及其在衛(wèi)星結構設計應用中的良好效果?？蔀樾l(wèi)星結構設計提供參考。

References)

[1] M Moshrefi-Torbati, A J Keane, S J Elliott, et al. Passive vibration control of a satellite boom structure by geometric optimization using genetic algorithm[J]. Journal of Sound and Vibration,2003,267: 879-892

[2] 魏磊,金光,謝曉光,等.對地觀測微小衛(wèi)星主承力結構的優(yōu)化設計與試驗[J].光學精密工程,2015,23(11): 3183-3191

Wei Lei, Jin Guang, Xie Xiaoguang, et al. Optimized design of primary load-bearing structure for earth observation micro-satellite [J]. Optics and Precision Engineering, 2015, 23(11): 3183-3191 (in Chinese)

[3] 張家鑫,王博,牛飛,等.分級型放射肋短殼結構集中力擴散優(yōu)化設計[J].計算力學學報,2014,31(2): 140-148

Zhang Jiaxin, Wang Bo, Niu Fei, et al. Optimal design of concentrated force diffusion for short shell structure using hierarchical radial ribs [J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2014,31(2): 140-148 (in Chinese)

[4] 左孔天.連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化理論與應用研究[D].武漢: 華中科技大學, 2004

Zuo Kongtian. Research of theory and application about topology optimization of continuum structure[D]. Wuhan: Huazhong University of Science and Technology, 2004 (in Chinese)

[5] 羅震,陳立平,黃玉盈,等.連續(xù)體結構的拓撲優(yōu)化設計[J].力學進展,2004,34(4): 463-476

Luo Zhen, Chen Liping Huang Yuying, et al. Topological optimization design for continuum structures [J]. Advances in Mechanics, 2004, 34(4):463-476 (in Chinese)

[6] 巢媛.重型貨車車架結構的與拓撲優(yōu)化設計[D].重慶: 重慶大學, 2007

Chao Yuan. Study on topology optimization technologies of heavy vehicle frame [D]. Chongqing: Chongqing University, 2007 (in Chinese)

[7] Svanberg K, Stolpe M. An alternative interpolation scheme for a minimum compliance topology optimization[J]. Structural and Multidiscipline Optimization, 2001,22:116-124

[8] 羅震,陳立平,張云清,等.多工況下連續(xù)體結構的多剛度拓撲優(yōu)化設計和二重敏度過濾技術[J].固體力學學報,2005,26(1): 29-36

Luo Zhen, Chen Liping, Zhang Yunqing, et al.Multi-stiffness topological optimization for continuum structures with multiple loading cases and a duplicate sensitivity filtering method[J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2005,26(1): 29-36 (in Chinese)

[9] 邱瑞斌,雷飛,陳園,等.基于權重比的車架多工況拓撲優(yōu)化方法研究[J].工程設計學報,2016,23(5): 444-452

Qiu Ruibin, Lei Fei, Chen Yuan, et al. Research on the method of multi-case topology optimization of frame structure based on the weight ratio[J]. Chinese Journal of Engineering Design, 2016, 23(5): 444-452 (in Chinese)

[10] 賴宇陽.Isight參數優(yōu)化理論與實例詳解[M].北京:北京航空航天大學出版社,2012

Lai Yuyang. Isight parameter optimization theory and explanation of examples[M]. Beijing: Beijing University of Aeronautics and Astronautics Press, 2012 (in Chinese)

A Satellite Multi-step Structure Optimization Method

XU Hao YAO Wen ZHAO Yong WANG Ning DU Bingxiao

(College of Aerospace Science and Engineering,National University of Defense Technology，Changsha 410073，China)

During the design of satellite structure, in order to achieve weight reduction under various working conditions, a multi-step optimization method to optimize and design structure is proposed. First step, an optimal topology configuration is obtained by utilizing Solid Isotropic Material Penalty (SIMP) approach, considering minimization of compliance. The optimization objective under multiple loading cases is transformed into a single objective. The second step is to extract the topology configuration of the first-step, and the multi-objective optimization of shape and size parameters is achieved utilizing the Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II(NSGA-II) method. The third step, engineer conducts several rounds of redesign considering requirements of manufacture and assemblage and a new design is given. This method is applied to the design of the supporting leg of Tiantuo-3 satellite, which considering the topology optimization and multi-objective shape and size optimization under multi-loading cases. The mass reduction of supporting leg is 44.57% and the satellite structural fundamental frequency is increased by 3.97%, which indicates that the method has strong engineering application value.

satellite；topology optimization; shape and size optimization; multiple loading cases; multi-objective

V423.4

A

10.3969/j.issn.1673-8748.2017.04.004

2017-03-24；

2017-05-06

國家自然科學基金(51675525)

徐皓，男，碩士，研究方向為航天器結構優(yōu)化設計。Email：15616265054@163.com。

(編輯：李多)