素變量混合冪丟番圖不等式

張倩倩

(華北水利水電大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 鄭州 450046)

素變量混合冪丟番圖不等式

張倩倩

(華北水利水電大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 鄭州 450046)

丟番圖不等式;Hardy-Littlewood方法；Davenport-Heilbronn方法;素變量；混合冪

0 引言

現(xiàn)在，關于素變量丟番圖不等式的逼近有了更多的結果，其中它的表達形式諸如λ1p1k1+λ2p2k2+…+λrprkr+η≤(maxpj)-σ，其中λ1,λ2,λ3,λ4是非零實數(shù)，η是任意給定的實數(shù).ALESSANDRO GAMBINI[1]證明了r=4k1=1,k2=k3=2,k4=k的情況，得到結果15,σ=1-2/(11k)-16/(11k2(k+1))+ε.本文將證明以下定理.

定理1設η是任意給定的實數(shù)，假設λ1,λ2,λ3,λ4是非零實數(shù), 不全同號, 并且λ1/λ2是無理數(shù), 則不等式

λ1p1+λ2p22+λ3p32+λ4p43+η<(maxpj)-σ

(1)

1 預備知識

在證明定理1之前, 首先做如下定義,其中η是任意給定的實數(shù),ε與δ是足夠小的給定的正數(shù). 字母p不論是否帶下標都表示素數(shù). 因為λ1/λ2是無理數(shù),用q表示λ1/λ2的漸近分數(shù)的分母. 設X=q2,通常寫e(α)=e2πiα. 對任意j≥1, 有

(2)

由素數(shù)定理及三角函數(shù)積分的一階導數(shù)估計, 熟知有

(3)

傅里葉變換

(4)

則

Kτ(α)?min(τ2,α-2)，

(5)

(6)

為了方便證明, 令

G(α)=S1(λ1α)S2(λ2α)S2(λ3α)S3(λ4α)Kτ(α)e(αη)，

H(α)=T1(λ1α)T2(λ2α)T2(λ3α)T3(λ4α)Kτ(α)e(αη),

并且對于實數(shù)集R的任意Lebesgue的可測子集Ω,記

(7)

根據(jù)(6)可以得到

(8)

這里I(x)表示不等式

λ1p11+λ2p22+λ3p32+λ4p43+η<τ

(9)

現(xiàn)將實數(shù)集劃分為兩兩不相交的3部分,M={αα≤P/X}，m={αP/X<αR},分別稱為主區(qū)間、余區(qū)間與平凡區(qū)間.

2 主區(qū)間上的積分

先選取標準的主區(qū)間,因此可以得到I(τ,η,M)的一個下界. 顯而易見下面的分解

(10)

接下來將逐一證明C1?τ2X4/3及Ci=ο(τ2X4/3)，2≤i≤5.

2.1C1的下界

由以上可知

(11)

由(3), (6)和H(α)的定義, 能夠得到(11)式右邊的誤差項符合

(12)

2.2C2的上界

首先，由歐拉求和公式可以得到

Uk(α)-Tk(α)?1+αX.

(13)

有

(14)

為了估計A2, 引入Selberg積分, 對r≥1, 設

(15)

引理2[4]設r是大于或等于1的實數(shù),ε是任意小的正常數(shù), 則存在與r無關的正常數(shù)c1=c1(ε), 使得

對于X1-5/(6r)+1≤h≤X一致成立.

引理3[2]設j是大于或等于2的實數(shù), 則對于任意實數(shù)A≥6, 有

根據(jù)柯西不等式, 引理3及(3)可得

X4/3(logX)-A/2

(16)

由(3)和(13)得

(17)

由(14), (16)和(17)得出C2?τ2X4/3.

2.3C5的上界

由于C3,C4,C5是相似的, 因此只估計C5. 為了得到C5的一個比較好的上界，需要用到下面的引理.

下面開始估計C5, 由(5)可以得出

(18)

由引理4和推論1可得

X(XlogX)1/2(X-1/3(logX)-A)1/2?

X4/3(logX)(1-A)/2.

(19)

且由引理4及(13)得出

(20)

式(20)必須滿足X+XP2=ο(τ2X4/3)，則有P

由(18),(19)及(20)得出C5=ο(τ2X4/3).由前面結論，取P=X1/6.

3 平凡區(qū)間上的積分

根據(jù)算數(shù)―幾何平均不等式, 有

(21)

式(21)滿足X4/3(logX)2/R=ο(τ2X4/3)，所以有R=τ-2(logX)2.

4 余區(qū)間上的積分

m1={α∈m:S2(λ1α)

下面只對m1做積分. 由引理4和H?lder不等式得

(22)

因為式(22)等于ο(τ2X4/3)，因此取τ=X-9/48.

下面討論在m*上的積分,下面式子同時成立:

S1(λ1α)>X1-1/8+ε,S2(λ2α)>X1/2-1/16+ε,P/X=X-5/6<α≤τ-2log2X.

根據(jù)文獻[1]中的方法, 將m*分成不相交的集合E(Z1,Z2,y), 對于α∈E(Z1,Z2,y)有

Z1

這里Z1=2k1X1-1/8+ε,Z2=2k2X1/2-1/16+ε,y=2k3X-5/6-ε,k1,k2,k3是非負整數(shù).為了方便計算, 將E(Z1,Z2,y)記作Α, 利用文獻[6]Lemma 6可以得到Α的勒貝格測度.

引理6[1]μ(Α)?yX5/2+εZ1-2Z2-4.

證明見文獻[1]Lemma 5.5.

由引理6可得

(23)

所以τ=X-9/48是最好的選擇.

綜上所述, 在余區(qū)間m上有

(24)

5 定理的證明

選τ=X-9/48，根據(jù)文中在主區(qū)間、余區(qū)間及平凡區(qū)間上得到的結論可推出I(τ,η,)?τ2X4/3, 因此, 根據(jù)(10)能夠得出I(x)?τX4/3(logX)-4.

這就說明不等式(11)有?τX4/3(logX)-4組素數(shù)解p1,p2,p3,p4, 其中Pj∈[δX,X](2≤j≤3),P1∈[δX,X],P34∈[δX,X].根據(jù)τ的選取和maxpj≈X,能夠得出λ1p11+λ2p22+λ3p32+λ4p43+η<(maxpj)-σ式右端σ的范圍. 由于λ1/λ2是無理數(shù), 它的漸近分數(shù)的分母q有無限多個, 因此當q→∞時, 一定有X→∞, 即說明了解數(shù)的無限性, 得出了定理的證明.

[1] GAMBINI A. Diophantine approximation with one prime,two squares of primes and one k-th power of a prime[J/OL].[2017-06-30].https://arxiv.org/abs/1703.02381.

[2] MU QUAN WU, LV XIAO DONG. Diophantime approximation with prime variable and mixed powers(II)[J]. Advances in mathematics (China),2017，46(2):190-202.

[3] LANGUASCO A, ZACCAGNINI A . On a ternary Diophantine problem with mixed powers of primes[J]. Acta Arithmetica, 2013, 159(4):345-362.

[4] GAMBINI A, LANGUASCO A, ZACCAGNINI A. A Diophantine problem with two prime and one k-th power of a prime[J/OL].[2017-06-30].https://arxiv.org/abs/1706.00343.

[5] LANGUASCO A, ZACCAGNINI A. A Diophantine problem with a prime and three squares of primes[J]. Journal of Number Theory, 2012, 132(12):3016-3028.

[6] MU Q. Diophantine approximation with four squares and one k-th power of primes[J]. The Ramanujan Journal, 2016, 39(3):481-496.

MixedVariablesDiophantineInequalitywithPrimeVariables

ZHANG Qianqian

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthChinaUniversityofWaterResourcesandElectricPower,Zhengzhou450046,China)

Diophantine inequality; Hardy-Littlewood method; Davenport-Heilbronn; prime variable; mixed power

2017-07-25

張倩倩(1994—)，女，河南駐馬店人，華北水利水電大學數(shù)學與統(tǒng)計學院在讀碩士研究生，研究方向：數(shù)論.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.03.004

O156.4

A

1007-0834(2017)03-0018-05