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    例談高中數(shù)學(xué)解題中導(dǎo)數(shù)的易錯(cuò)點(diǎn)

    2017-11-02 07:27:08陳渙之
    關(guān)鍵詞:原函數(shù)易錯(cuò)定義域

    ◆陳渙之

    例談高中數(shù)學(xué)解題中導(dǎo)數(shù)的易錯(cuò)點(diǎn)

    ◆陳渙之

    高中數(shù)學(xué)知識(shí)不管是深度還是廣度,同初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)相比有了很大的提高,同時(shí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系較緊密,學(xué)生只有加強(qiáng)對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解才能為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中的知識(shí)難點(diǎn),所以本文對(duì)高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)以及解題過程中容易出現(xiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行了具體的分析,以此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)。

    高中數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù)解題;易錯(cuò)點(diǎn)

    一、未能對(duì)定義域引起高度的重視

    在對(duì)最值進(jìn)行求解的過程中,未能對(duì)函數(shù)變量的定義域引起高度的重視,導(dǎo)致了在解題的過程中出現(xiàn)了概念性的錯(cuò)誤,為了能夠?qū)⒋胧┑脑虺浞煮w現(xiàn)出來,下面進(jìn)行相應(yīng)的舉例說明。

    有這樣一道例題:求出函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x的單調(diào)性。

    錯(cuò)誤分析:根據(jù)已知條件以及定義進(jìn)行分析可以得知原函數(shù)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x的定義域是,在解題的過程當(dāng)中忽視了原函數(shù)的變量,所以也就忽視了定義域的變化。在這樣的情況之下,就造成解題思路以及解題的結(jié)果出現(xiàn)了錯(cuò)誤。所以,原題正確的結(jié)果應(yīng)該是“函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x在(?1,0)上單調(diào)遞增”。

    二、極大值和極小值的坐標(biāo)點(diǎn)不明確

    在進(jìn)行函數(shù)極大值和極小值求解的時(shí)候,認(rèn)為當(dāng)原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0的時(shí)候,就是原函數(shù)的極值點(diǎn)。對(duì)導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解不深刻不全面是存在這種錯(cuò)誤思維的主要原因,認(rèn)為當(dāng)導(dǎo)數(shù)等于0的時(shí)候就可以求原函數(shù)的極值。

    有這樣一道題:函數(shù)f(x)=x3-6x2+cx在x=t的時(shí)候有最小值g(t),求出g(t)的定義域以及值域。

    錯(cuò)誤的解法:首先對(duì)函數(shù)f(x)=x3-6x2+cx進(jìn)行求導(dǎo),就可以得出f′(x)=3x2?1212x+c,然后推導(dǎo)出:(x?2)2+c?1212,然后令f′(t)=0,那么就可以得出c=?3t2+12t。因?yàn)閒(x)能夠在滿足條件的情況下取得極小值,所以f(x)=0有解,因此c<12,c=?3t2+12t<12,就可以得出t≠2,所以就可以求出g(t)的值域?yàn)椋篻(t)=f(t)=-2t3+6t2,其中 t≠ 2。

    錯(cuò)誤分析:在解答這道題的時(shí)候,我犯的錯(cuò)誤是將f′(x)=0當(dāng)做了f(t)的充要條件,在這道題當(dāng)中,f′(x)=0應(yīng)該是f(t)的必要條件。

    正確的解法:c≥12的時(shí)候,f′(x)≥0,那么在這個(gè)時(shí)候f(x)沒有極值;c<12的時(shí)候,f′(x)=0兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1,x2,假如x1<x2,那么就可以得出x1<2<x2。進(jìn)一步推導(dǎo):當(dāng)x<x1的時(shí)候,f′(x)>0,那么就可以得出f′(x)在(-∞,x1)內(nèi)是增函數(shù)。當(dāng)x1<x<x2的時(shí)候,f′(x)<0,f′(x)在(x1,x2)內(nèi)是減函數(shù)。當(dāng)x1>x2的時(shí)候,f′(x)>0,f′(x)在(x2,+∞)內(nèi)是增函數(shù)。

    所以就可以得出一下的結(jié)果:當(dāng)f(x)在x1=x2的時(shí)候,導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x1=x2的時(shí)候存在著極小值,而且只有一個(gè)。所以當(dāng)t=x2且t>2的時(shí)候,就可以得出g(t)的定義域是(2,+∞),根據(jù)f(t)=3t2-12t+c=0,可以得出c=-3t2+12t,最終就可以推出 g(t)=f(t)=t3-6t2+ct=-2t3-6t2。

    三、在導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)以及計(jì)算的過程中未能有效理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義

    通過對(duì)導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)可以得知,函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)曲線在某一個(gè)點(diǎn)的切線的斜率,如果對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行靈活運(yùn)用,就能夠容易的解決相關(guān)的曲線切線方程。有這樣的一道題:曲線經(jīng)過了點(diǎn)(1,1),求出該曲線的切線方程。

    錯(cuò)誤的解法:對(duì)y=-22x+x進(jìn)行求導(dǎo)就可以得出:,然后將點(diǎn)(1,1)帶入到切線當(dāng)中就可以得出原函數(shù)切線的斜率k=-3,所以就可以得出原函數(shù)的切線方程是y=-3x+4。

    結(jié)束語

    導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中是十分重要的,雖然在學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中存在著一些問題,在解答有關(guān)導(dǎo)數(shù)題目的時(shí)候容易出現(xiàn)相應(yīng)的錯(cuò)誤。但是只要在學(xué)習(xí)的過程中加深對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解,加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)題目的練習(xí),掌握解題的思路以及技巧,就能夠有效減少解題的錯(cuò)誤率,從而提高數(shù)學(xué)成績(jī)。

    [1]羅沐奇.剖析高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問題易錯(cuò)點(diǎn)[J].亞太教育,2016,33:70.

    (作者單位:長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡梅溪湖中學(xué))

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