回顧尼爾森數(shù)的研究
——姜伯駒院士訪談錄

陳克勝

訪問整理(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院 蕪湖 241002)

回顧尼爾森數(shù)的研究
——姜伯駒院士訪談錄

陳克勝

訪問整理
(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院 蕪湖 241002)

不動點理論是拓撲學(xué)中的重要篇章。中國拓撲學(xué)家姜伯駒因其對尼爾森不動點理論的研究而具有國際影響。在這篇訪談錄中，他回顧了尼爾森不動點理論的早期發(fā)展，介紹了中國在20世紀60年代和80年代有關(guān)尼爾森數(shù)研究的一些情況。

姜伯駒 江澤涵 石根華 不動點理論 尼爾森數(shù)

訪談?wù)碚甙床粍狱c的定義是拓撲學(xué)開創(chuàng)人、法國拓撲學(xué)家龐加萊(H. Poincare)于1880年給出的。隨后不動點得到一些拓撲學(xué)家的關(guān)注，成為一段時間拓撲學(xué)家研究的中心問題之一，經(jīng)過布勞威爾(J.Brouwer)、萊夫謝茲(S.Lefschetz)、霍普夫(H.Hopf)、尼爾森(J.Nielsen)、雷德馬斯特(K.Reidemeister)、威肯(F.Wecken)等拓撲學(xué)家的發(fā)展而成為拓撲學(xué)中的一個重要理論。在這個階段，拓撲學(xué)家們的著重點在于不動點的有無問題的研究。稍后，尼爾森(J.Nielsen)、雷德馬斯特(K.Reidemeister)、威肯(F.Wecken)提出了不動點類理論(又稱尼爾森不動點理論)，他們的著重點在于不動點的個數(shù)問題的研究[1]。中國拓撲學(xué)家江澤涵、石根華和姜伯駒等在不動點的有無問題和個數(shù)問題兩個方面發(fā)展了不動點類理論，其中姜伯駒的主要成就在于從不動點的個數(shù)方面推廣了尼爾森理論。

受訪人姜伯駒1937年9月4日生于天津，祖籍浙江蒼南，其父親姜立夫是中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)開拓人之一。姜伯駒先后于20世紀60年代和80年代在尼爾森數(shù)的研究方面取得突破性的進展，他創(chuàng)造性地提出“姜子群”等概念來計算尼爾森數(shù)，并利用低維拓撲和紐結(jié)理論進一步拓展了尼爾森理論，豐富了不動點類理論。由此，姜伯駒先后獲得國家自然科學(xué)獎三等獎和二等獎、陳省身數(shù)學(xué)獎、何梁何利基金科學(xué)技術(shù)進步獎和華羅庚數(shù)學(xué)獎，他是中國科學(xué)院院士、第三世界科學(xué)院院士。

訪談時間2017年3月18日

訪談地點北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院3樓姜伯駒院士辦公室

圖1 2017年3月18日陳克勝(左)與姜伯駒院士(右)在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院姜伯駒院士辦公室

1 尼爾森數(shù)的由來

陳克勝(以下簡稱“陳”)：尼爾森數(shù)的研究引起一批拓撲學(xué)家的興趣，并已取得了一系列成果。江澤涵先生是第一位對尼爾森理論研究的中國拓撲學(xué)家，請您談?wù)劷瓭珊壬?dāng)時研究尼爾森理論的一些研究背景。

姜伯駒(以下簡稱“姜”)：國內(nèi)進行拓撲學(xué)研究，早期要提到的是江澤涵先生，江澤涵先生在美國哈佛大學(xué)攻讀博士學(xué)位時的導(dǎo)師是莫爾斯(H.M.Morse)*莫爾斯(H.M.Morse，1892—1977)，美國拓撲學(xué)家，美國科學(xué)院院士，1917年獲得哈佛大學(xué)博士學(xué)位，畢業(yè)后留校任教，開創(chuàng)了臨界點理論，將拓撲學(xué)方法應(yīng)用于變分學(xué)、微分方程和復(fù)變函數(shù)等的研究。。莫爾斯當(dāng)時是一位拓撲學(xué)大家，他研究函數(shù)的極值點與臨界點，簡單地說，函數(shù)是定義在一個空間上，它討論的是這個函數(shù)的臨界點與該空間的拓撲性質(zhì)的關(guān)系，大家稱之為“莫爾斯理論”。江澤涵先生跟隨莫爾斯先生做研究。

江澤涵先生畢業(yè)以后，先到普林斯頓大學(xué)做萊夫謝茲(S.Lefschetz)*萊夫謝茲(S.Lefschetz，1884—1972)，生于莫斯科，早年留學(xué)法國，1905年，獲得巴黎中央高等工業(yè)學(xué)校學(xué)士學(xué)位，1911年獲得美國克拉克大學(xué)博士學(xué)位，后到普林斯頓大學(xué)任教。1930年他在不動點理論、上同調(diào)環(huán)等拓撲學(xué)方面取得突破性的進展。的助教，一年以后回國。實際上，江澤涵先生的博士論文研究的內(nèi)容與莫爾斯理論有關(guān)，是研究調(diào)和函數(shù)的極值點、臨界點。但是，到萊夫謝茲那里之后，江澤涵先生受到萊夫謝茲的影響而轉(zhuǎn)向研究不動點理論，由于萊夫謝茲對不動點理論已經(jīng)做了一些開創(chuàng)性的工作，大概在1923年，萊夫謝茲得到了現(xiàn)在被稱之為“萊夫謝茲不動點定理”[2]。簡而言之，一個空間到自身的映射，這個映射可以定義一個不變量，這個不變量就是萊夫謝茲數(shù)。

陳：由萊夫謝茲不動點定理到尼爾森理論是不動點理論研究的重大突破，那么它們在本質(zhì)上有什么不同？

姜：萊夫謝茲不動點定理實際上是：如果一個映射的萊夫謝茲數(shù)不等于零，那么它一定有不動點，但是不能告訴你有多少個不動點。同時在這個階段，尼爾森(J.Nielsen)*尼爾森(J.Nielsen，1890—1959)，丹麥拓撲學(xué)家，主要研究代數(shù)拓撲和代數(shù)學(xué)。開始了他的研究，尼爾森研究不動點的工作引起人們注意是在1921年，當(dāng)時在環(huán)面上得到一個不動點個數(shù)的下界[3]，意思是：一個映射如果它的不變量是10，那么，每一個與它同倫的映射不動點數(shù)至少有10個。而萊夫謝茲數(shù)則不能提供這種信息，萊夫謝茲數(shù)告訴我只能保證有一個不動點；而尼爾森數(shù)如果是10的話，那么尼爾森則可以保證至少有10個不動點。由此可見，尼爾森數(shù)應(yīng)該說是不動點理論的一個強有力的結(jié)果。當(dāng)時不動點研究的主流是從布勞威爾不動點定理到萊夫謝茲不動點定理，這一派的結(jié)論是至少保證有一個不動點，但不能保證多于一個不動點，這種信息是沒有的。

陳：江澤涵先生的第一篇論文是關(guān)于尼爾森理論的研究，請您談?wù)劷瓭珊壬P(guān)于尼爾森理論的研究情況？

姜：尼爾森剛開始是考慮在一個環(huán)面上，后來到了1927年，尼爾森在閉曲面上進行研究[4]，并且他考慮的映射不是一般的連續(xù)映射，而是自同胚。雖然他所研究的空間和映射相對比較特殊，但是提供的信息超出了當(dāng)時一般的想象，所以萊夫謝茲對尼爾森的工作非常注意，因為尼爾森的結(jié)論比他強。但是尼爾森的工作是在曲面上做，因此他要充分利用曲面的幾何性質(zhì)，特別是在除了環(huán)面以外的有虧格比較高的曲面上，現(xiàn)在叫做雙曲面幾何，又叫做非歐幾何。尼爾森用的這套東西全是非歐幾何的語言，這個語言應(yīng)該說比較古老，這是19世紀以來羅巴切夫斯基的那一套語言。所以他寫得這個東西，萊夫謝茲看不懂，拓撲學(xué)家一般也看不懂，不知道他怎么把這個東西弄出來。那個時候，萊夫謝茲就請江澤涵先生來幫助工作，他考慮到江澤涵剛剛博士畢業(yè)，便要求江澤涵去閱讀尼爾森的論文。江澤涵先生的目標(biāo)非常明確，就是把非歐幾何的語言剝掉，不用非歐幾何的語言，而是用拓撲學(xué)家聽得懂的語言。所以，江澤涵先生當(dāng)時嘗試用基本群里面的序列來代替非歐幾何，其成果是以一篇短文的形式于1931年發(fā)表在美國的數(shù)學(xué)期刊上[5]。這篇短文實際上已經(jīng)把他的論文要點都點出來了，也就是把非歐幾何的語言改過來了。江澤涵先生回國以后，把詳細的論證寫成長文，并于1936年發(fā)表在中國數(shù)學(xué)會創(chuàng)辦的第一本雜志《中國數(shù)學(xué)會學(xué)報》的第一卷上[6]。后來由于抗戰(zhàn)，他的這方面工作沒有繼續(xù)下去。他當(dāng)時是中國第一位拓撲學(xué)家，在當(dāng)時做了很多教學(xué)工作，至于自己的研究工作主要是整理他當(dāng)時在美國所做的研究，以后他的研究工作也就放下了。

陳：江澤涵先生回國后的一段時間，國外關(guān)于不動點類理論的研究已經(jīng)取得了重大進展，請您談?wù)動嘘P(guān)不動點類理論的研究進展？

姜：江澤涵先生回國后的一段時間，不動點類理論在國外又發(fā)生了重要的新變化，其發(fā)展?fàn)顩r大致是這樣的：尼爾森是丹麥人，其主要文章是在20世紀20年代發(fā)表。然后在20世紀30年代，因為丹麥同德國靠得比較近，一些德國人開始注意到尼爾森的工作，他們的主要工作是在多面體的框架之下，用非歐幾何語言來思維、構(gòu)造，同萊夫謝茲工作一樣，也就是在緊致多面體的框架下做研究，那么這個范圍就大了很多，從而也就容易得到比較強的結(jié)論。這其中有一個關(guān)鍵人物名叫雷德馬斯特*雷德馬斯特(K.Reidemeister，1893—1971)德國數(shù)學(xué)家，1921年獲得漢堡大學(xué)博士學(xué)位，在紐結(jié)理論方面取得突出貢獻。，雷德馬斯特并沒有專門以不動點為標(biāo)題的文章，但是他的文章叫什么名字現(xiàn)在我已經(jīng)記不清楚。到1935年，好像他有一篇文章叫做“同倫鏈的環(huán)”，他提出了類似于萊夫謝茲數(shù)的一個公式[7]。不動點理論，萊夫謝茲剛開始是在流形上做研究，后來到了1929年，瑞士數(shù)學(xué)家霍普夫已經(jīng)在緊致多面體上做研究[8]，通過用單純映射來逼近連續(xù)映射，用單純鏈來做。當(dāng)然，霍普夫后來進一步研究高維環(huán)面的情形。雷德馬斯特也轉(zhuǎn)向霍普夫所用的這種方法——用單純鏈來做，并且他比霍普夫的工作更深入，采用了基本群，這就是尼爾森想法的一個根本性的東西——基本群。但這是萊夫謝茲所沒有考慮的，因為采用基本群方法以后，不動點數(shù)在傅立葉空間上的性質(zhì)就被看得比較清楚。到了雷德馬斯特階段，用基本群的思想來考慮不動點已經(jīng)開創(chuàng)了一個比較好的形勢。后來到了二戰(zhàn)期間，有一位德國拓撲學(xué)家威肯，他應(yīng)該是雷德馬斯特的學(xué)生，他把雷德馬斯特的工作做得比較徹底，他有3篇長的文章[9]，其中有一篇把雷德馬斯特的想法寫得比較清楚[10]。威肯的文章發(fā)表于1941和1942年，這時正值打仗，之后威肯不知去向。

陳：這時，江澤涵先生知道國外有關(guān)尼爾森理論的研究已經(jīng)取得了重大進展？并請您作一些評論。

姜：當(dāng)時，江澤涵先生在國內(nèi)，他并不知道這些研究工作。但是，雷德馬斯特和威肯的工作實際上是剝掉尼爾森理論的非歐幾何方法的外衣，并且從曲面做到緊致多面體，也就是把這個理論基礎(chǔ)建立好了，而且有了現(xiàn)在被稱之為“尼爾森數(shù)”的概念，但當(dāng)時沒有取這個名字，這個名字其實是我們后來給起的。有了尼爾森數(shù)這個概念也就有了很好的邏輯基礎(chǔ)，證明了由映射所確定的同倫類中不動點數(shù)的下界。特別是威肯證明了這個結(jié)論：如果空間是三維或三維以上的流形，尼爾森數(shù)就是一個下確界。也就是說如果尼爾森數(shù)是10的話，那么這個同倫類里面至少有一個映射有10個不動點。雷德馬斯特和威肯的工作主要是在理論的基礎(chǔ)上下了功夫，但是尼爾森數(shù)怎么計算，他們并沒有做很多事情。要使得尼爾森數(shù)有用，必須要能夠計算，如果不能計算就不能應(yīng)用，而萊夫謝茲數(shù)的威力在于它容易計算。

在二戰(zhàn)期間，德國的一位數(shù)學(xué)家弗朗茲(W.Franz)，于1943年發(fā)表了一篇文章，計算了三維透鏡空間上映射的尼爾森數(shù)[11]。這時，人們才發(fā)現(xiàn)尼爾森數(shù)并不容易計算，弗朗茲花了很大力氣只算了三維透鏡空間的尼爾森數(shù)。到后來打仗結(jié)束以后，大概在20世紀50年代初，又有一位德國人瓦爾(J.Weier)考慮另外一個問題：雖然在三維及三維以上的流形上尼爾森數(shù)等于最少不動點數(shù)，這在曲面上卻不一定正確[12]。他提出一個例子，但是沒有證明，所以大家將信將疑，因為他只是用很短的文章來說明，而沒有進行嚴格的證明。這個事情當(dāng)時他也沒有辦法去做，雖然比較直觀，但是他又不能說出理由來，從數(shù)學(xué)的角度來看這是站不住腳的。我想尼爾森理論從可計算這條線上來看，尼爾森最初計算了二維環(huán)面，后來霍普夫計算了高維射影空間，然后弗朗茲計算了三維透鏡空間之后，更高維情況就沒有了。另外，對于尼爾森數(shù)的實現(xiàn)問題，即尼爾林數(shù)的下確界，威肯證明在三維空間上是對的，瓦爾表示懷疑，又沒有辦法來證明。

以上這些大體上就是我們開展相關(guān)研究之前國外的研究進展情況。

2 尼爾森數(shù)研究的中國人工作

陳：您的主要研究工作是計算高維透鏡空間的尼爾森數(shù)，請您談?wù)劗?dāng)時您著手研究的過程。

姜：20世紀60年代初，確切地說是1961年，國家提出要恢復(fù)教學(xué)秩序。1962年，教育部要求重新開展科學(xué)研究，提出給在學(xué)術(shù)上有成就的老先生學(xué)術(shù)休假的辦法。實際上，1956年曾經(jīng)提出“向科學(xué)進軍”，國家已經(jīng)有過這方面的考慮，但是后來由于1958年“大躍進”而暫時被擱置。當(dāng)時，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系就把這個機會給了兩位老先生，一個是段學(xué)復(fù)先生，一個是江澤涵先生，學(xué)校給他們學(xué)術(shù)休假一年，不需要教書，可以專門從事科學(xué)研究。江澤涵先生就想，這一年時間打算干什么？因為他曾對尼爾森數(shù)有過研究，并受到萊夫謝茲不動點定理的影響，所以感覺尼爾森理論是一個比較重要的理論，只是后來停頓下來了。因此，利用這次學(xué)術(shù)休假的機會，江澤涵先生決定帶領(lǐng)我們一起研究尼爾森理論。當(dāng)時比較年輕的教員只有我一個，另外還有高年級的幾位本科生。江澤涵先生就給我閱讀尼爾森理論的論文，并提出一個問題：既然弗朗茲能在三維透鏡空間中計算其尼爾森數(shù)，能不能計算高維透鏡空間的尼爾森數(shù)？并以這個問題作為我的拓撲專門化的一項任務(wù)。我為此花了大約半年時間，讀了一些相關(guān)的文獻，覺得可以算出尼爾森數(shù)，這個工作基本上是在1962年做的。到1962年秋，我計算出了一個結(jié)論，其形式同弗朗茲很象，也就是這個定理敘述起來同弗朗茲相類似。當(dāng)時為什么要想這樣的事情，其實我的動機還是比較單純的：就是要計算高維透鏡空間的尼爾森數(shù)，然后把計算尼爾森數(shù)所用的一些方法進行提煉，提煉到一種理性的高度，搞清楚為什么這樣的辦法就可以計算出尼爾森數(shù)，就是從具體的例子開始，把一般的、有用的原理和方法提煉出來。

關(guān)于拓撲專門化討論班實際上只有幾位學(xué)生，這些學(xué)生大概是1962、1963年即將畢業(yè)，好像是每年7— 9個。拓撲專門化討論班當(dāng)時由北大數(shù)學(xué)系兩位老先生帶的，一個是廖山濤先生，一個是江澤涵先生。廖山濤先生那邊學(xué)生多些，其中比較有影響的有劉應(yīng)明，后來在模糊拓撲上做了一些杰出的工作，而江澤涵先生這邊只有石根華和我，另外還有一位學(xué)生現(xiàn)在我已記不得了。記得當(dāng)時尤承業(yè)也是跟隨江先生，但研究方向不是尼爾森數(shù)的內(nèi)容，其畢業(yè)論文是關(guān)于莫爾斯理論，雖然他們也參加討論班，但真正的做不動點理論只有石根華和我。事實證明，江澤涵先生開展拓撲專門化討論班非常有價值，石根華[13，14]和我[15]在尼爾森數(shù)方面在當(dāng)時都取得了一些成果。

陳：當(dāng)時，在江澤涵先生的帶領(lǐng)下，您和石根華很快在尼爾森數(shù)都取得了一些成果，請您談?wù)劗?dāng)時石根華的研究工作與您的研究的關(guān)系。

姜：石根華于1963年北京大學(xué)畢業(yè)，江澤涵先生要求留在北大做研究生，繼續(xù)做這方面的工作。他的研究工作不是尼爾森數(shù)的計算方面，而主要研究3維及以上流形的理論方面，是對威肯的理論工作進行推廣，將其推廣到多面體，當(dāng)然不是所有的多面體，推廣到一定范圍，實際上是一個能否實現(xiàn)問題。后來，他的本科畢業(yè)論文是推廣威肯定理，但他在做研究生期間做的是關(guān)于恒等映射的不動點，當(dāng)然恒等映射的尼爾森數(shù)肯定是1，于是也就不存在計算方面的問題。但是恒等映射經(jīng)過同倫以后就存在一個不動點的個數(shù)問題，因此石根華主要是考慮恒等映射條件下推廣威肯的工作。這些成果于1966年和1975年發(fā)表在《數(shù)學(xué)學(xué)報》上，其中1975年的那篇論文實際上已經(jīng)于1965年完成了。后來石根華下放，無暇顧及他的研究成果，況且在“文化大革命”期間，論文也沒有地方發(fā)表，這項研究成果后來由江澤涵先生將其進行整理而最終發(fā)表在《數(shù)學(xué)學(xué)報》。而我的研究則主要在緊致多面體上的映射在同一倫型上的不動點類研究，這些成果實際上是在1962年完成的，并投稿到《數(shù)學(xué)學(xué)報》，1964年《數(shù)學(xué)學(xué)報》正式發(fā)表我的成果，當(dāng)然，我的工作只是對雷德馬斯特定理的推廣。

我與石根華實際上分別從不同方向研究尼爾森數(shù)，我的研究來源是以德國雷德馬斯特所提出的緊致多面體作為基礎(chǔ)，石根華則圍繞威肯的理論工作進行推廣。這些工作在江澤涵先生的帶領(lǐng)下得到了大家的認可，1982年，江澤涵、石根華和我共同獲得國家自然科學(xué)三等獎。

1968年，石根華到甘肅參加白龍江碧口水電站建設(shè)，在建設(shè)過程中工程隊將面臨塌方而引起的安全問題，這是工程建設(shè)中最為棘手的問題之一。石根華將所學(xué)的拓撲學(xué)知識應(yīng)用于水電站建設(shè)，預(yù)測塌方風(fēng)險的大小，這對于水電部來說很重要，從此石根華轉(zhuǎn)向巖石力學(xué)的研究。1980年，石根華去美國深造，就是研究巖石力學(xué)。這從某種程度上說明，抽象的拓撲學(xué)在其它學(xué)科上有廣泛的應(yīng)用和影響。

3 計算尼爾森數(shù)的過程

陳：在研究過程中，您查閱了哪些資料，有哪些因素或方法導(dǎo)致您能夠計算尼爾森數(shù)？

姜：可不可以計算，只有最終計算出來才能硬道理，當(dāng)時的動機只是想解決高維透鏡空間的尼爾森數(shù)，這是當(dāng)時研究工作的核心。至于后來被稱為“姜子群”“姜空間”的只是派生出來的東西，其實最要緊的、研究的核心是往往由某些具體的例子來考慮其能否計算，然后再來研究這個結(jié)論到底有多大的潛力，再進行提煉形成一個理論。因此，研究工作剛開始的動機基本上是從一個具體的問題開始，這是我進行數(shù)學(xué)研究的一個基本辦法。

陳：您的研究工作可以說分兩個階段：一個是20世紀60年代，一個是20世紀80年代，請您談?wù)?0世紀80年代研究的工作。

姜：1978年，國家有個機會出國訪學(xué)，在江澤涵先生支持下，由陳省身先生幫助聯(lián)系，我前往美國普林斯頓高等研究所，當(dāng)時是跟隨華裔數(shù)學(xué)家項武忠先生，他早年就在美國留學(xué)。當(dāng)我前往美國訪學(xué)時，瑟斯頓(Thurston)已經(jīng)開創(chuàng)了低維拓撲學(xué)，項武忠先生也對低維拓撲學(xué)非常感興趣，出于前期對尼爾森數(shù)的研究有了一定的基礎(chǔ)，我自然嘗試用新學(xué)習(xí)的低維拓撲方法來思考，將其運用到尼爾森不動點理論的研究工作中。幸運的是瑟斯頓的曲面理論[16]與尼爾森理論是緊密相關(guān)的，瑟斯頓起初并不知道尼爾森的工作而是另起爐灶、單獨研究，后來我發(fā)現(xiàn)這兩個理論是相通的。當(dāng)然，在這里，也要感謝華裔數(shù)學(xué)家項武忠先生，他一直從事拓撲學(xué)研究工作，并在國際著名數(shù)學(xué)期刊上發(fā)表了很多拓撲學(xué)論文，是國際著名的拓撲學(xué)家。后來，我將從瑟斯頓那里學(xué)習(xí)到低維拓撲方法，再加上紐結(jié)理論與辮理論，用于尼爾森數(shù)的研究并得到一系列成果，被國際同行所認可，由此，此項研究成果獲得了國家自然科學(xué)二等獎(1987年)[17—20]。

陳：江澤涵先生在您的研究過程中是否有過哪些具體研究方法的指導(dǎo)？

姜：大概是我在本科3年級，1955—1956年，當(dāng)時快要提出向科學(xué)進軍的口號，數(shù)學(xué)系要求一些老師給學(xué)習(xí)比較輕松的學(xué)生做學(xué)年論文。在這樣的背景下，江澤涵先生就給我一篇匈牙利的一位數(shù)學(xué)家寫的一篇拓撲學(xué)文章。這篇文章的內(nèi)容大概是這樣：一個圖放到平面上去，如果沒有交點就叫做嵌入，如果不能嵌入，硬放到平面上則肯定有交點，該論文給出了關(guān)于這個交點的個數(shù)問題。經(jīng)過閱讀以后，我發(fā)現(xiàn)這篇文章有一些毛病，證明不對。在簡單的情況下是沒問題的，但是他在證明中運用的歸納法就有問題了。這件事當(dāng)然對于我后來走向拓撲學(xué)研究是有關(guān)系的，因為這個問題本質(zhì)上是一個拓撲學(xué)問題?？梢哉f，這是我3年級學(xué)習(xí)的一個心得，這個心得當(dāng)然不是正面的，它把人家的結(jié)論給推翻了，我當(dāng)時對此也無法進行證明，后來發(fā)現(xiàn)這個問題并不簡單。到20世紀80年代，國外有人注意到這篇文章有錯誤，并給出了正確的答案，指出這篇文章不僅證明錯了，而且結(jié)論也錯了。但是后來到了4年級，我做畢業(yè)論文實際上是跟隨廖山濤先生的，他當(dāng)時給的題目比較大，到現(xiàn)在我都沒有解決掉。當(dāng)時我只能做一個比較小的特例，寫了一篇小文章作為畢業(yè)論文。那時候，我才知道有關(guān)不動點理論的一些問題。

4 國內(nèi)有關(guān)不動點研究的其他方向

陳：20世紀80年代，由于您在尼爾森數(shù)的研究取得了杰出的成績，吸引了一些國內(nèi)研究者熱衷于不動點理論的研究，請您談?wù)劗?dāng)時中國對不動點研究的一些基本情況。

姜：你說到的熱衷，大概是指四川大學(xué)的張石生先生為代表的，發(fā)表了非常多的文章。他們研究巴拿赫(S.Banach)的度量空間壓縮映射不動點原理，改動其假設(shè)條件而仍保持其不動點存在。雖提出了種種形式繁雜的假設(shè)條件，卻難說有實質(zhì)的進步。這些研究其實已不屬于拓撲學(xué)范疇了。不動點理論分為拓撲的不動點理論和度量的不動點理論，兩者并沒有什么聯(lián)系。

至于不動點類理論，也就是尼爾森不動點理論，我們的研究一直延續(xù)至今。不過涉及許多數(shù)學(xué)術(shù)語，不容易談了。

致謝本文得到姜伯駒院士的大力支持，并經(jīng)姜伯駒院士的同意后公開發(fā)表。今年恰逢姜伯駒院士80歲壽辰，籍此文表示祝壽。

1 江澤涵. 不動點類理論[M]. 北京:科學(xué)出版社, 1979. 1—27.

2 Lefschetz S. Continuous transformations of manifolds [J].ProceedingsoftheNationalAcademyofSciencesU.S.A., 1923,9: 90—93.

3 Nielsen J. Uber die Minimalzahl der Fixpunktebei den Abbildungstypen der Ringflachen [J].MathematischeAnnalen, 1921,82: 83—93.

4 Nielsen J. Untersuchungen zur Topologie des geschlossen zweiseitigen Flachen, Ⅰ[J].ActaMathematica, 1927,50: 189—358.

5 Tsai-Han Kiang. On the groups of orientable two-manifolds[J].NationalAcademicScienceU.S.A., 1931,(17): 142—143.

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AbstractFixed point theory is an important chapter in topology. Chinese topologist Boju Jiang is worldwidely known for his work on Nielsen fixed point theory. In this interview， Mr. Jiang explains the early development of Nielsen fixed point theory， and recalls the study of Nielsen number in China in the 1960s and early 1980s.

KeywordsJiang Boju， Tsai-Han Kiang， Shi Genhua， fixed point theory， Nielsen number

ReviewingthestudyofNielsenNumber——AninterviewwithacademicianJiangBoju

CHEN Kesheng
(SchoolofMathematicsandcomputerscience，AnhuiNormalUniversity，Wuhu241002，China)

N09∶O1

A

1673- 1441(2017)03- 0363- 08

2017- 04- 08；

2017- 05- 24

陳克勝，1970年生，安徽無為人，理學(xué)博士，安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院副教授，研究方向為中國近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史，Email: chenks2004@sina.com。