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    關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的研究

    2017-11-01 16:04:36李海燕
    關(guān)鍵詞:數(shù)集陽泉收斂性

    李海燕

    (陽泉師范高等??茖W(xué)校 山西·陽泉 045200)

    關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的研究

    李海燕

    (陽泉師范高等??茖W(xué)校 山西·陽泉 045200)

    函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是對(duì)初等函數(shù)進(jìn)行表達(dá)的一種工具,級(jí)數(shù)的和也就是該函數(shù)的核心問題,被稱為收斂性,包含收斂與一致收斂。本文以函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性預(yù)備知識(shí)入手,探究其判別方法,并著手于其推廣定義的研究。并利用MATLAB軟件,結(jié)合當(dāng)代應(yīng)用實(shí)例對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)與編程,對(duì)函數(shù)序列收斂性的動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行探討,表明出一致收斂性的實(shí)質(zhì)。

    函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);一致收斂性;MATLAB軟件;研究

    初等函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中主要討論內(nèi)容之一,且初等函數(shù)可針對(duì)眾多自然現(xiàn)象以及相關(guān)技術(shù)的規(guī)律進(jìn)行解答。但初等函數(shù)并不能滿足客觀規(guī)律所需求的定義與本質(zhì),因此只有初等函數(shù)知識(shí)無法廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)以及相關(guān)理論之中,而級(jí)數(shù)是表示初等函數(shù)本質(zhì)的一種重要工具。為了有效解決這一問題,眾多學(xué)者利用微分、極限、積分等科學(xué)知識(shí)表達(dá)初等函數(shù)之外的內(nèi)容,本文針對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的研究,為使函數(shù)的運(yùn)用能夠更加方便,從而得到更為廣泛的應(yīng)用。

    一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性預(yù)備知識(shí)

    為了保障函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判定的順利進(jìn)行,同時(shí)得到MATLAB軟件編程應(yīng)用的方法與程序,對(duì)其預(yù)備知識(shí)的探討與制定是十分必要的。

    理論5:如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間中與理論4中所提到的公共函數(shù)不符合或不存在,那么收斂性則為非一致收斂性,相反則為一致收斂性。當(dāng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂時(shí),在區(qū)間I中將滿足、、對(duì)于時(shí),函數(shù)。而當(dāng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為非一致收斂性時(shí),符合條件為,此時(shí)對(duì),,此時(shí),函數(shù)需要滿足大于等于的條件。

    此外,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的概念需要更加明確,通常情況下,對(duì)于同一個(gè)數(shù)集N來說,當(dāng)x0不同時(shí),N通常也不同,不僅與有著明確的關(guān)系,還與x0有著緊密的聯(lián)系。因此,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的原則與數(shù)集D中內(nèi)容適應(yīng)的N。與連續(xù)函數(shù)樹立一致收斂性與收斂的概念有著緊密的聯(lián)系。以此可通過函數(shù)一致收斂的相關(guān)定理,可推算出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的相關(guān)定理。此外,還可以根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特征進(jìn)行辨別。

    二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判別方法

    (一)比式判別法

    根據(jù)比式判別法的證明內(nèi)容,我們可知比式判別法重點(diǎn)在于比較,利用兩個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)通項(xiàng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較,較適用于函數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判斷。此外,比式判別法為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性提供了較為簡單的判別方法,只需將所要判斷的函數(shù)與已知收斂性函數(shù)進(jìn)行比較便可證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否一致收斂。通常將等比級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)等相關(guān)級(jí)數(shù)作為比較,因此比式判別法的關(guān)鍵在于選取比較的對(duì)象,以此對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行調(diào)整。

    (二)根值判別法

    (三)對(duì)數(shù)判別法

    三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性推廣定義

    (一)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂定義推廣

    函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的函數(shù)列如果在所設(shè)數(shù)集上出現(xiàn)收斂性函數(shù),則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一直收斂。且由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性取決于其內(nèi)部部分及相關(guān)數(shù)列,因此可根據(jù)函數(shù)一致收斂性的相關(guān)定義得到等價(jià)函數(shù)定義。此外,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的部分以及函數(shù)列處于同一數(shù)集之中,如果對(duì)于任意正數(shù)總存在著正整數(shù),則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集中一致收斂。根據(jù)上述內(nèi)容可知,如果要證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集中一直收斂,找尋正整數(shù)是關(guān)鍵點(diǎn),與數(shù)列極限中找尋正整數(shù)的問題較為相似,由此可針對(duì)此定理進(jìn)行深入推廣,并得到實(shí)用性較強(qiáng)的方法。

    (二)判別法的推廣

    根據(jù)上述內(nèi)容,可知對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判定主要有比式、對(duì)數(shù)、根值三種判別法,而三種方法在判別的過程中需要分類進(jìn)行,探尋其中注意事項(xiàng),例如比式判別法的實(shí)質(zhì)在于比較兩個(gè)函數(shù)之間項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂歸零的速度快慢,并通過快慢的差別判斷出較快的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂。此外,根據(jù)對(duì)數(shù)判別法法可知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂與該項(xiàng)級(jí)數(shù)中涵蓋的前有限項(xiàng)無關(guān),在證明過后,亦需利用反證法驗(yàn)證證明結(jié)果,如果函數(shù)在數(shù)集區(qū)間中一致收斂,則對(duì)數(shù)判別法中函數(shù)亦呈現(xiàn)出一致收斂,最終查看所得結(jié)果與已知是否矛盾。

    四、MATLAB編程應(yīng)用與實(shí)現(xiàn)

    (一)編程實(shí)現(xiàn)必要條件

    利用MATLAB實(shí)驗(yàn)程序進(jìn)行分析,易了解函數(shù)序列在無窮區(qū)間中收斂于函數(shù),如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在無窮區(qū)間中不一致收斂,根據(jù)比式判定法,只需對(duì)函數(shù)序列在無窮區(qū)間中不一致收斂進(jìn)行檢驗(yàn)。

    (二)編程實(shí)現(xiàn)界限原理

    函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)具有一個(gè)充分必要條件,為此利用MATLAB編程驗(yàn)證函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性及非一致收斂性具體需要五個(gè)步驟。首先利用MATLAB軟件對(duì)任意函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中s(x)與sn(x)進(jìn)行計(jì)算,然后選取充分小的正數(shù),畫出相關(guān)函數(shù)的圖像。隨即對(duì)n值進(jìn)行不斷提高,并根據(jù)n值的變化畫出相應(yīng)圖像。當(dāng)n提升到足夠大的數(shù)值時(shí),如果sn(x)的圖像皆落在曲線形成的帶狀區(qū)域中,則可對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性進(jìn)行猜測。

    結(jié)語函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中十分重要的教學(xué)模塊,針對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性研究在課本上介紹了很多方法,因此如果要判定函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性可以先考慮所給函數(shù)是否可應(yīng)用上述方法探尋到優(yōu)級(jí)數(shù),并將問題逐步轉(zhuǎn)化為函數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性研究,研究方法將會(huì)更加便捷。

    [1]劉江蓉.關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性[J].教改教法,2013(18):52-53.

    [2]郝新江.淺談函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的推廣和應(yīng)用[J].呂梁教育學(xué)院學(xué)報(bào),2006(03):68-69.

    [3]毛一波.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判定[J].重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào),2006(04):55-56.

    O171

    A

    1009-8534(2017)05-0120-02

    李海燕,陽泉師范高等專科學(xué)校講師,碩士。

    責(zé)任編輯:徐向陽

    審 稿 人:程家超

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