對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)教材處理的不同策略

桂金星

【摘要】由簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，利用數(shù)學(xué)知識(shí)導(dǎo)出它的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，從理論上導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是正弦函數(shù)形式，補(bǔ)充了教材的無(wú)理論推導(dǎo)的不足，和必修二教材對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的處理達(dá)到了異曲同工之效，使教材編寫得更加完美，利用導(dǎo)出的彈簧振子周期公式可直接導(dǎo)出單擺的周期公式。

【關(guān)鍵詞】簡(jiǎn)諧振動(dòng) ； 線性回復(fù)力 ； 正弦函數(shù)運(yùn)動(dòng)方程 ； 單擺周期

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）08-0213-01

人教版物理3-4第一章第一節(jié)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，教材的處理思路是：先給出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義，然后通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖像，就是從實(shí)驗(yàn)中得出振動(dòng)圖像，在第二節(jié)，教材直接給出了它的振動(dòng)方程x=cos（wt+φ），教材這樣設(shè)計(jì)的原因，可能是因?yàn)楦咧袑W(xué)生的微分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)有限（不會(huì)解微分方程），所以采用了從實(shí)驗(yàn)實(shí)踐中探究運(yùn)動(dòng)方程這樣的編排方式。

人教版物理必修二教材在處理平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，則采用了相反的模式，由理論到實(shí)驗(yàn)探究驗(yàn)證，即：學(xué)生已學(xué)過(guò)了牛頓第二定律后，知道了物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和性質(zhì)是由合外力決定的，于是對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)物體受力分析后，得出物體水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。我想，其實(shí)在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)這里也可以嘗試一下，從理論推導(dǎo)到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，但是對(duì)數(shù)學(xué)的要求，技巧性處理稍強(qiáng)一些。

3—4物理課程開(kāi)設(shè)時(shí)間一般在高二下學(xué)期或是高三后期，此時(shí)學(xué)生的選修數(shù)學(xué)2—2已學(xué)過(guò)，其中的微積分初步知識(shí)已了解，已會(huì)求導(dǎo)，已經(jīng)知道：位移對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得到的是速度，v=■；速度再對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得到的是加速度，a=■；也即位移對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)得到的是加速度，a=■，這為我們建立簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程打下了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

教材首先給出的是簡(jiǎn)諧振動(dòng)模型：彈簧振子。學(xué)生已經(jīng)學(xué)完必修一物理，最大的收獲就是解決了運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系，應(yīng)該有了這樣的物理意識(shí)：物體的運(yùn)動(dòng)不需要力來(lái)維持，但是，物體究竟做何種性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，是由合外力來(lái)決定的。要研究物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和性質(zhì)，就要對(duì)物體進(jìn)行受力分析，列出動(dòng)力學(xué)方程這個(gè)“通項(xiàng)公式”，運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)和過(guò)程就蘊(yùn)含在這個(gè)高度概括的簡(jiǎn)潔力學(xué)方程中。

給出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義：F=-kx，提出線性回復(fù)力，通過(guò)變形：F=ma=m■=m■■=m■，也即是：m■=-kx，再變形：m■+kx=0，■+■x=0，令：w2=■，則有：■+w2x=0；剩下的問(wèn)題就是如何求解這個(gè)微分方程。（高中學(xué)生是不會(huì)求的）

我們可以鋪墊設(shè)問(wèn)：微分求導(dǎo)，大家在數(shù)學(xué)中已有所了解，比如cosx， sinx， ex， xn等的導(dǎo)數(shù)；請(qǐng)觀察：■+■x=0，什么樣的函數(shù)，在求過(guò)二次導(dǎo)數(shù)以后，加上自身，可以等于0？

學(xué)生開(kāi)始在自己腦海里學(xué)過(guò)的函數(shù)中尋找，并在默默求導(dǎo)。

這時(shí)教師可以提示：要滿足■+■x=0，說(shuō)明這個(gè)函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)以后，和自身具有相同的形式。進(jìn)一步追問(wèn)：你們學(xué)過(guò)的函數(shù)中有滿足的嗎？這時(shí)學(xué)生馬上想起了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)。

老師指出：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，是同一類函數(shù)，他們的圖像可以經(jīng)過(guò)平移而得，沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別。（注：ex指數(shù)式可以通過(guò)歐拉公式化成正弦函數(shù)形式）

通過(guò)探尋，我們得到了■+■x=0這個(gè)微分方程的解，通解形式是正弦函數(shù)形式，那么這個(gè)方程的解是多少呢？可以鼓勵(lì)學(xué)生把正弦函數(shù)帶入驗(yàn)證。特解取決于起始條件。

這樣，我們就把求微分方程的解進(jìn)而轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證正弦函數(shù)是它的解。（求導(dǎo)驗(yàn)證，高中學(xué)生是會(huì)的）

我們就這樣找到了簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。從理論上，我們先推導(dǎo)出來(lái)了，這樣為后面的實(shí)驗(yàn)探究和對(duì)結(jié)論的理解很有好處，和教材對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的處理，達(dá)到相同的效果，同時(shí)也顯得教材內(nèi)容更加完整和完美！

通過(guò)以上這個(gè)簡(jiǎn)短的案例，我們也得到啟示：在提高高中物理課堂提問(wèn)的有效性時(shí)，就必須：提問(wèn)要有目的性，針對(duì)性，啟發(fā)性，層次梯度有序性，使問(wèn)題之間要有聯(lián)系，要有鋪墊，這樣問(wèn)題能更好的推進(jìn)課堂教學(xué)，學(xué)生在這些問(wèn)題的思考中更好的理解課堂內(nèi)容。

我們還可以從簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程中推導(dǎo)出它的周期：T=■=2π■（因?yàn)閣2=■），公式表明簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期由振子自身結(jié)構(gòu)（振子的質(zhì)量和彈簧勁度系數(shù)）決定的。還可以設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，通過(guò)測(cè)量周期時(shí)間來(lái)間接測(cè)量質(zhì)量和彈簧的勁度系數(shù)。

在這一章，還研究了單擺，單擺是一種典型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，我們同樣可以建立起單擺的動(dòng)力學(xué)微分方程，通過(guò)求解微分方程，得到它的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，不過(guò)在推導(dǎo)的過(guò)程中，我們也很容易導(dǎo)出單擺的振動(dòng)周期：T=2π■，這條思路，讀者不妨一試。

這里提供另一條思路：直接利用彈簧振子的周期公式推導(dǎo)單擺的周期公式。

在單擺中，設(shè)擺角為θ，單擺的線性回復(fù)力是：F=-mgsinθ=

-mg■=-mg■x=“k”x，即單擺的勁度系數(shù)相當(dāng)于：“k”=-mg■，直接帶入彈簧振子的周期公式，就可以得出單擺的周期公式T=2π■。教材在這里設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)，通過(guò)測(cè)量單擺的周期來(lái)間接測(cè)量單擺所在地的重力加速度，這樣以來(lái)，就會(huì)使教材知識(shí)前后聯(lián)系緊密，互相照應(yīng)，也會(huì)使同學(xué)們對(duì)知識(shí)的來(lái)龍去脈掌握得更加清楚。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)是運(yùn)動(dòng)的形式之一，通過(guò)以上討論，使學(xué)生進(jìn)一步深刻理解運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系，簡(jiǎn)諧振動(dòng)之所以會(huì)有正弦函數(shù)形式，是因?yàn)楸举|(zhì)上由它的線性回復(fù)力決定的。再一次明確：運(yùn)動(dòng)不需要力來(lái)維持，但運(yùn)動(dòng)過(guò)程和性質(zhì)由合外力決定。

以上案例呈現(xiàn)了另一種處理方式，旨在引導(dǎo)學(xué)生：運(yùn)用已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法去探究新的知識(shí)領(lǐng)域，方法上實(shí)現(xiàn)類比和遷移；同時(shí)將新學(xué)的知識(shí)內(nèi)容歸類在原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的建構(gòu)遷移，加深對(duì)某一物理概念，觀念，意識(shí)的深刻理解，一舉多得，何樂(lè)而不為呢！endprint