芻議高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課的有效性

翟榮俊

摘 要

如何提高高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課的有效性？許多在高三一線教學(xué)的老師提出了很多觀點(diǎn)，總結(jié)出很多具體實(shí)施的方法和措施，比如有的教師認(rèn)為要研究考綱考點(diǎn)、高考試題、考試說明，增強(qiáng)授課的針對(duì)性；有的認(rèn)為教師要下題海，精心挑選練習(xí)題，精講多練；要求學(xué)生搞錯(cuò)題本；要有教學(xué)計(jì)劃；教師要團(tuán)結(jié)合作，共享資源；查缺補(bǔ)漏，培優(yōu)轉(zhuǎn)差，激勵(lì)學(xué)生等等.當(dāng)然我們并不否定前面所提的許多具體措施，這些措施對(duì)提高課堂教學(xué)效果，促進(jìn)學(xué)生成績(jī)的提高無疑是有效的.但是僅僅做到這些還不能大面積提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，課堂教學(xué)有效性的核心內(nèi)容是學(xué)生的發(fā)展，是學(xué)生對(duì)知識(shí)的自我構(gòu)建，形成能力.課堂上必須是學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，學(xué)生全面參與教學(xué)，知識(shí)體系、技能方法是學(xué)生自我構(gòu)建的，而不是老師教給學(xué)生，更不是死記硬背.構(gòu)建主義理論同樣適用于高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)，新課程理念與高考并不矛盾，相反，高三復(fù)習(xí)課必須在新課程理念的指導(dǎo)下才能最大限度地提高課堂教學(xué)的有效性，才能大面積提高學(xué)生的高考成績(jī)。

【關(guān)鍵詞】高三數(shù)學(xué)；一輪復(fù)習(xí)課；有效性

受某名校邀請(qǐng)，筆者就高三一輪復(fù)習(xí)中《直線與圓》的內(nèi)容上了一節(jié)公開課，以下為課堂實(shí)錄：

1 課前對(duì)話

（1）開場(chǎng)白：解析幾何的學(xué)習(xí)，大家最大的感觸是什么？感覺最難的是什么？

師生總結(jié)：運(yùn)算量大，方法多，面對(duì)參數(shù)的時(shí)候不知如何轉(zhuǎn)化。

（2）解析幾何的基本數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合，

以兩個(gè)重要的思想觀念為基礎(chǔ)：

一是坐標(biāo)觀念，通過位置量化——點(diǎn)的代數(shù)化；

二是運(yùn)動(dòng)變化的思想，點(diǎn)動(dòng)成線，實(shí)現(xiàn)圖形代數(shù)化。

（3）解析幾何的基本方法——幾何問題代數(shù)化（代數(shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系）

幾何問題代數(shù)化——處理代數(shù)問題——分析代數(shù)結(jié)果的幾何意義——解決幾何問題。

（4）突出：平面解析幾何的本質(zhì)還是幾何，是通過代數(shù)解析的方法解決幾何問題。

2 教學(xué)過程

問題1.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)

三點(diǎn)，則圓C的方程為 。

學(xué)生思考，討論，給出了以下方法。

方法一：待定系數(shù)法。設(shè)圓C方程為，因?yàn)榻?jīng)過A，B，C三點(diǎn)，

所以有；圓C的方程為。

方法二：細(xì)致觀察后，可以發(fā)現(xiàn)，

，發(fā)現(xiàn)，圓C是以B，C為直徑的圓，所以圓C的方程為

，

化簡(jiǎn)可得C的方程為。

（解后反思，解析幾何問題的關(guān)鍵是幾何問題代數(shù)化，在分析幾何特性的時(shí)候，要善于觀察幾何關(guān)系，從而優(yōu)化運(yùn)算）

追問：若過原點(diǎn)O作直線l，恰好與圓C相切。則直線l的方程為 。

方法一：圓C：x2+y2-4x+3=0可轉(zhuǎn)化為（x-2）2+y2=1，直線l與圓C相切，

所以直線l斜率存在，設(shè)為k，直線l方程為y=kx

所以圓心（2，0）到直線的l距離

。

方法二：將y=kx帶入圓C方程，可得；

化簡(jiǎn)可得關(guān)于x的方程，因?yàn)橹本€l與圓C相切，

所以。

方法三：圖象分析，由圖1可知，，

所以斜率為

歸納小結(jié)：數(shù)形結(jié)合會(huì)給解題帶來很多的驚喜。學(xué)會(huì)多角度的分析問題，在靈活多變的方法中，找尋最適合的方法。

2.已知點(diǎn)，直線l的方程為y=x+2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試分析直線l上是否存在點(diǎn)P，滿足。

解析：學(xué)生比較容易想到的方法是設(shè)點(diǎn)P。利用兩點(diǎn)間距離公式構(gòu)建方程，研究方程的根。

方法一：假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，則，

可得到，化簡(jiǎn)可得方程，

因?yàn)榉匠膛袆e式，方程無解，所以得到在直線l上不存在點(diǎn)P，滿足。

方法二：研究點(diǎn)P的幾何特征，可設(shè)點(diǎn)P（x，y），因?yàn)?，考慮阿波羅尼斯圓，

由可得，所以；化簡(jiǎn)可得點(diǎn)P所在的曲線方程為圓，

因?yàn)閳A心M到直線l的距離

，所以不存在滿足條件的點(diǎn)P。

（解后反思：在研究存在性問題時(shí)，不僅僅要重視設(shè)點(diǎn)構(gòu)建方程求解，更要重視滿足幾何條件得點(diǎn)是否有確定的軌跡，從而簡(jiǎn)化問題的解決過程）

追問：已知點(diǎn)，直線l的方程為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線l上總存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P，滿足，則直線l斜率的取值范圍為 。

解析：本題的研究中，如果學(xué)生采用設(shè)點(diǎn)P。利用兩點(diǎn)間距離公式構(gòu)建方程，研究方程的根。的方法會(huì)比較繁瑣，可以從幾何特點(diǎn)出發(fā)研究問題。

解析：直線l的方程為，所以直線l經(jīng)過定點(diǎn)，斜率為k。

點(diǎn)P滿足，可得到點(diǎn)P所在的曲線方程為圓，

觀察圖2，可得當(dāng)直線l與圓M相切時(shí)，

斜率，

直線l上總存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P，滿足PA=2PO，

所以直線l斜率的取值范圍為。

歸納小結(jié)：阿波羅尼斯圓在近年高考及模擬題中時(shí)常出現(xiàn)。

反映出命題中對(duì)數(shù)學(xué)文化的關(guān)注，在問題的研究中要關(guān)注。

3.已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線y=x2-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上。求圓C的方程。

解析：學(xué)生比較容易想到的方法是求出曲線y=x2-6x+1與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，分別是，根據(jù)圓的特點(diǎn)，設(shè)圓心C（3，m），利用CA=CP，求出圓心，得到半徑，從而得到圓C的方程。

方法一：圓心C（3，m），利用，求出m=1，r=3。

所以圓C的方程為。

方法二：利用同解方程的特點(diǎn)，可直接設(shè)圓C的方程為，因?yàn)閳AC過點(diǎn) ，所以，所以圓C的方程為，即。

（解后反思：在求解圓的方程時(shí)，可以從解方程的角度，把握整體性，利用同解問題，簡(jiǎn)化方程形式，從而優(yōu)化解題過程。）endprint

追問1：若圓C與直線交于A，B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)a的值。（本題也可以將“”變?yōu)椤耙跃€段AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O”）

解析：直線代入圓C：，

可得：（﹡），設(shè)，

如圖3所示。

則，因?yàn)?，所以?/p>

所以

因?yàn)閍=-1時(shí)，方程（﹡）的判別式，滿足條件，所以a=-1。

追問2：過點(diǎn)P（1，0）作圓C兩條互相垂直的弦AB，MN，

求證：為定值。

解析：，

，

因?yàn)椋?/p>

所以為定值。

追問3：試求四邊形AMBN的面積最大值。

解析：，

當(dāng)且僅當(dāng)AB=MN時(shí)，四邊形AMBN的面積取到最大值為13。

3 對(duì)本節(jié)課的課后體會(huì)與思考

（1）高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)內(nèi)容和應(yīng)充分和學(xué)生的實(shí)際學(xué)情相結(jié)合才能提高復(fù)習(xí)效率的時(shí)效性，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)也應(yīng)和學(xué)生的活躍主動(dòng)相結(jié)合才能有更好的復(fù)習(xí)效果。

（2）對(duì)本節(jié)課在教學(xué)實(shí)施中，老師充分體現(xiàn)了新課程理念，從學(xué)生的學(xué)的角度出發(fā)，層層推進(jìn)，具體表現(xiàn)在：

第一步：?jiǎn)栴}引動(dòng)，加強(qiáng)基礎(chǔ)

夯實(shí)基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)的教學(xué)目標(biāo)之一，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，由于學(xué)生已經(jīng)有了第一次的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，再加上課前的復(fù)習(xí)，總認(rèn)為自己知道，傳統(tǒng)的提問回答勢(shì)必使學(xué)生感到乏味，因此，在教學(xué)中，圍繞教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題中，使學(xué)生主動(dòng)地復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)。

第二步：主動(dòng)探究，培養(yǎng)能力

提高素質(zhì)，培養(yǎng)能力是第一輪復(fù)習(xí)的目標(biāo)之二。而能力的培養(yǎng)要通過學(xué)生的主動(dòng)探究來實(shí)現(xiàn)。在復(fù)習(xí)中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，精選例題，讓學(xué)生通過獨(dú)立思考或通過合作討論解答，是培養(yǎng)能力的途徑之一。因此，在教學(xué)中，我特別注意讓學(xué)生動(dòng)手做題，通過展示學(xué)生的解題過程，或讓學(xué)生口答解題過程，師生共同評(píng)價(jià)，與學(xué)生一起分析解題過程中的得與失，總結(jié)提煉數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生主動(dòng)領(lǐng)悟、吸收、內(nèi)化解題規(guī)律。

第三步：開放發(fā)散，綜合創(chuàng)新

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和綜合能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的總目標(biāo)，應(yīng)貫穿于復(fù)習(xí)教學(xué)的全過程。因此，在復(fù)習(xí)中，特別注意設(shè)計(jì)更開放的問題，將內(nèi)容引申拓展，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

總之，這樣的一堂課，老師引導(dǎo)著學(xué)生體驗(yàn)了“思考”、“實(shí)踐”、“歸納”、“創(chuàng)新”幾個(gè)過程，是課堂的真正主體，這些數(shù)學(xué)問題的完成，思想方法的歸納，很大程度上是學(xué)生自己完成的，知識(shí)是學(xué)生自己構(gòu)建的，不是老師灌給他的，這樣的數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課才能真正體現(xiàn)出其有效性。

作者單位

江蘇省無錫市洛社高級(jí)中學(xué) 江蘇省無錫市 214000endprint