設(shè)疑激思　逐層深入促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)化”的過程——“數(shù)學(xué)廣角

孫　明　馬金國

教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)3年級(jí)下冊(cè)第9單元數(shù)學(xué)廣角例1。

教學(xué)目標(biāo)：

1．通過生活中學(xué)生易于理解的簡單事例，使學(xué)生初步體會(huì)利用集合思想解決簡單實(shí)際問題的基本方法，滲透并初步體會(huì)集合的有關(guān)思想。

2．能運(yùn)用直觀圖靈活解決簡單的實(shí)際問題，學(xué)習(xí)解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性。

3．利用生活事例讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)重、難點(diǎn)：體會(huì)集合思想，解決簡單問題。

教學(xué)準(zhǔn)備：學(xué)生姓名卡片兩張，答題紙一張。

教學(xué)流程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引出問題

師：有一個(gè)好消息要告訴大家，學(xué)校要在咱們學(xué)年成立兩個(gè)課外活動(dòng)小組：一個(gè)是趣味數(shù)學(xué)活動(dòng)小組，一個(gè)是小小文學(xué)社。你們想不想?yún)⒓?那好，我們就現(xiàn)場來報(bào)一下名。

師：不過有個(gè)要求，一定要選擇自己的強(qiáng)項(xiàng)來報(bào)名，想?yún)⒓尤の稊?shù)學(xué)組的同學(xué)就在這個(gè)圈里貼一張名片，想?yún)⒓有⌒∥膶W(xué)社的把名片貼在另一個(gè)圓圈里。

生：老師，可不可以兩個(gè)都報(bào)名?

師：如果在兩方面都具有能力，也可以都報(bào)。

師：我們看看大家報(bào)名的情況，數(shù)學(xué)組多少人，文學(xué)社呢?

生：27人，26人。

師：我們已經(jīng)知道參加數(shù)學(xué)組和文學(xué)社各有多少人，現(xiàn)在，學(xué)校要知道我們班報(bào)名參加這兩個(gè)小組的一共有多少人，誰能來說說?

生：53人。

師：你怎么知道的?

生：27+26=53。

生：不對(duì)，我們班沒有那么多人?我們班只有42人。

師：到底是多少人?那剛才53人是怎么回事?

生：有的同學(xué)兩個(gè)小組都報(bào)名了，名字貼重了。

師：舉個(gè)例子說說?？磥?，問題就出在有的同學(xué)既報(bào)了數(shù)學(xué)組，又報(bào)了文學(xué)社，名字貼重了。

師：這兩個(gè)圈里除了有兩項(xiàng)都報(bào)的，還包括什么情況?

生：只參加數(shù)學(xué)組，只參加文學(xué)社。

師：看來，如果還是用這兩個(gè)圈，已經(jīng)不能把這些報(bào)名情況清楚地表示出來了。請(qǐng)同學(xué)們想想辦法，怎樣能直觀、清楚地表示出每種報(bào)名情況中包括哪些同學(xué)呢?自己先想想，也可以在紙上圈一圈、畫一畫，互相交流一下。一會(huì)我們一起來解決這個(gè)問題。(板書課題。)

二、實(shí)踐操作，探求方法

(生操作探究，小組之間交流。)

1．匯報(bào)方法。

師：都研究完了嗎?來，我們先來看看這個(gè)小組是怎么做的。

組1：在中間畫一個(gè)圈，把兩項(xiàng)都報(bào)的名字從兩個(gè)圈里都拿出來，貼一張?jiān)谥虚g，表示兩個(gè)小組都參加，這樣就不重復(fù)了。

師：按你的方法，告訴大家怎樣做吧。

組1：請(qǐng)兩項(xiàng)都報(bào)的同學(xué)把剛才貼的兩張名片都拿下來，在中間貼一張。

師：大家看看，還有沒有重復(fù)的。

師：他們表示了自己的想法，還有哪個(gè)小組也是這樣做的?很好，請(qǐng)你們先站在旁邊，看看其他小組的想法。

組2：(拿圖紙到前面來。)我們也是把那些重復(fù)報(bào)名的人名都拿出來，在中間只貼一張?？梢园炎筮叺娜Ξ嫶簏c(diǎn)，把中間的名圈進(jìn)去，把右邊的圈也畫大一些，也把中間的人名圈進(jìn)去。中間表示既是數(shù)學(xué)組，也是文學(xué)社，左邊是只參加數(shù)學(xué)組的，右邊是只參加文學(xué)社的。這個(gè)大圈里的就都是數(shù)學(xué)組的，這個(gè)大圈里的都是文學(xué)社的。

師：哪個(gè)小組的想法和他們是一樣的?

2．質(zhì)疑辯論。

師：這兩個(gè)小組講出了自己的想法，到底哪種方法更能清楚地表示出各種不同的報(bào)名情況呢?

組1：我覺得我們的方法挺好，直接把兩項(xiàng)都報(bào)的名字貼中間，圈起來，別人一看就知道這是兩項(xiàng)都報(bào)的，這是只報(bào)數(shù)學(xué)組，這是只報(bào)文學(xué)社的。

組2：這樣不行，放中間別人怎么知道是干什么的?

組1：標(biāo)上不就行了嗎?

組2：中間的也是參加數(shù)學(xué)組的，這里也是參加數(shù)學(xué)組的，這樣看好像跟兩邊都沒關(guān)系，我們覺得應(yīng)該把數(shù)學(xué)組的都圈起來。

組1：可以畫上大括號(hào)。

組2：這樣不就是像我們這樣把這兩部分放在一起嗎?我們這樣圈上就更清楚了。

組2：那你們的所有數(shù)學(xué)組都在哪呢?

組1：(用手圈出左邊和中間的兩部分。)

組2：那你們?nèi)Φ牟痪褪俏覀兊膱D嗎?你們只表示出了3個(gè)部分，我們用兩個(gè)圓交叉可以表示5個(gè)部分。

師：我們?cè)俾犅牬蠹业囊庖?，好?

生：第二種好，因?yàn)榭梢园迅鞣N報(bào)名的情況都表示出來。

師：這組同學(xué)，你們接受大家的建議嗎?數(shù)學(xué)知識(shí)要求嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密，大家都覺得第二種方法更科學(xué)、準(zhǔn)確。真的要感謝兩個(gè)小組的同學(xué)給我們帶來的這場精彩的辯論，正是你們的敢于質(zhì)疑、敢于爭辯，讓我們看到了一種鉆研、求真的學(xué)習(xí)品質(zhì)，為他們的精彩表現(xiàn)鼓鼓掌。

3．理解5個(gè)部分的意義。

師：我們按大家認(rèn)可的這種方法把黑板上的圖調(diào)整畫一下。同學(xué)們看，這個(gè)圖有什么變化?(兩個(gè)圈——兩個(gè)相交在一起的圈。)

師：(指中間。)中間這部分表示什么?

生：既參加數(shù)學(xué)小組，又參加文學(xué)社的。(師貼名稱，讓學(xué)生數(shù)出人數(shù)——11人。)

師：(分別指兩邊。)這部分表示什么?多少人?

生：只參加數(shù)學(xué)組的有16人，只參加文學(xué)社的有15人。

師：(指左邊的大圈。)這表示什么?

生：這些都是參加數(shù)學(xué)組的。

師：除了大圈里的這些同學(xué)，還有沒有參加數(shù)學(xué)小組的了?怎么說更準(zhǔn)確。

生：所有參加數(shù)學(xué)組，所有參加文學(xué)社。

師：這個(gè)“所有”用得很準(zhǔn)確。

師：看屏幕，看到圖中變色的部分，馬上說出它所表示的意義?？磥硗瑢W(xué)們對(duì)于這個(gè)圖中5個(gè)部分所表示的意義非常清楚。

師：剛才，同學(xué)們通過小組合作研究、大膽的嘗試，又通過不斷的調(diào)整、完善，我們找到了一種比較科學(xué)、準(zhǔn)確的表示方法，知道了圖中各個(gè)部分所表示的意義。接下來，我們就應(yīng)用這種表示方法來解決前面我們說的那個(gè)問題。

三、應(yīng)用概念，解決問題

1．多種算法。

師：同學(xué)們看黑板，5個(gè)部分的數(shù)據(jù)都有已經(jīng)統(tǒng)計(jì)出來了。(課件出示。)請(qǐng)你結(jié)合它們各自所表示的意義，合理選擇你需要的數(shù)據(jù)，怎樣計(jì)算報(bào)名的總?cè)藬?shù)呢?自己在草紙上算一算，看看誰能想出不同的方法，然后在組內(nèi)交流。

(巡視過程中發(fā)現(xiàn)以下4種解法，讓學(xué)生板書在黑板上。)

師：(指第一種。)這是誰算的?你來給大家講講吧。

生1：27+26-11=42(人)。

師：給大家解釋一下。(說說算式的意義。)

生1：(指黑板。)27人表示所有參加數(shù)學(xué)組的，26表示所有參加文學(xué)社的。27人包括中間的11人，26人也包括這11人，加起來就把這11個(gè)人算重了，所以再減去11人，等于42人就是報(bào)名人數(shù)。

師：大家聽出來沒有，他在講的時(shí)候，哪里重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了?

生：中間那11個(gè)人不能算重了。

生2：16+11+15=42。16表示只參加數(shù)學(xué)組的，11表示既參加數(shù)學(xué)組。又參加文學(xué)社的，15表示只參加文學(xué)社的。把這3個(gè)部分分別相加就求出共有多少人報(bào)名。

生3：27+15=42。

師：這是誰寫的?這樣，你來請(qǐng)一位你信任的同學(xué)講講，看看他講的對(duì)不對(duì)?

生：參加數(shù)學(xué)組的所有人+只參加語文組的=總?cè)藬?shù)。

師：他講得你滿意嗎?同學(xué)們覺得呢?

生4：16+26=42。(指黑板)

師：最后大家一起說說吧。

生：只參加數(shù)學(xué)組的+參加語文組的所有人=總?cè)藬?shù)。

2．總結(jié)歸納。

師：同學(xué)們很善于觀察，能從不同角度思考，找到了多種解決問題的方法。后面這3種方法(畫大括號(hào))和第一種方法比較一下，解題思路有什么不同?

生：第一種是先相加，然后再減掉重復(fù)的。后3種都是在每部分不重復(fù)的情況下，只要不遺漏地把每一部分都加上，也能求出總?cè)藬?shù)。

師：無論哪一種方法，都要注意哪一個(gè)關(guān)鍵的問題?

生：都要考慮到中間這11個(gè)人不能重復(fù)計(jì)算。

師：在解決問題的過程中，你覺得這個(gè)圖對(duì)我們有什么幫助?

生：很清楚，很直觀。

師：大家感受到了借助這種圖我們可以直觀、清晰地分析數(shù)量間的關(guān)系，來解決問題。

師：這種圖是由19世紀(jì)英國著名的邏輯學(xué)家韋恩發(fā)明的。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他，就把這種圖叫做韋恩圖。感興趣的同學(xué)可以在課后查找這方面的資料深入了解一下。

四、生活拓展

師：同學(xué)們，2009年2月，將有個(gè)隆重的體育盛會(huì)在我們哈爾濱召開，知道嗎?(世界大學(xué)生冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)。)這對(duì)于我們每一位來說都是一次展示風(fēng)采的機(jī)會(huì)。哈爾濱師范大學(xué)外語系的學(xué)生積極報(bào)名擔(dān)任大冬會(huì)的志愿者。我們看，這是他們報(bào)名的情況。

(課件出示：師范大學(xué)外語系共有50名同學(xué)擔(dān)任大冬會(huì)的志愿者，他們中間會(huì)說英語的有39人，會(huì)說日語的有20人。)

師：分析以上數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)什么問題?

生：一定有兩個(gè)小組都參加的。因?yàn)閮蓚€(gè)小組人數(shù)加起來超過了總?cè)藬?shù)。

師：你能用韋恩圖把這些信息清楚地、完整地表示出來嗎?在答題紙上畫一畫。

(生展臺(tái)匯報(bào)，每個(gè)部分所表示的意思，以及數(shù)據(jù)。)

會(huì)英語39人會(huì)日語20人

師：說說你為什么這樣畫。給大家指著說說每部分表示的意義。

生：(指在大圈。)這部分表示所有會(huì)英語的39人。(指右大圈。)這部分表示所有會(huì)日語的20人。中間表示既會(huì)英語又會(huì)日語的9人。

師：能說說這9個(gè)人是怎樣得到的嗎?

生：39+20-50=9人。

師：為什么這樣算就可以求出兩種語言都會(huì)的有9人?

生：因?yàn)?9人包括兩種都會(huì)的，20人也包括兩種都會(huì)的，加起來就比總?cè)藬?shù)多。多的那些正好是把兩種都會(huì)的加了兩次，多加了一次，減去總?cè)藬?shù)，就是兩種都會(huì)的9人。

師：其中的算理講得非常清楚。

生：這部分表示只會(huì)英語有30人，只會(huì)日語有11人。

生：其他同學(xué)能不能說說這兩個(gè)數(shù)又是怎樣算出來的?

生：39-9=30，20-9=11。

師：圖畫得清晰、準(zhǔn)確，每部分的意義及數(shù)量關(guān)系講得很清楚。計(jì)算每一部分報(bào)名的人數(shù)，還可以有其他不同的方法，課后的時(shí)候，大家可以再試一試。

師：(總結(jié))同學(xué)們，這節(jié)課我們借助直觀圖表示出生活中的一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象，并進(jìn)行觀察、分析，找到了解決這類重復(fù)問題的一般方法。更為可貴的是大家能學(xué)以致用，用這些方法去解決生活中數(shù)學(xué)問題。孫老師相信同學(xué)們?cè)谖覀兘?jīng)緯小學(xué)這個(gè)大家庭里一定會(huì)學(xué)有所得、學(xué)有所樂。

評(píng)析：

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一是要系統(tǒng)而有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的思維能力。孫老師所教學(xué)的“數(shù)學(xué)廣角”一課所涉及的是集合的初步認(rèn)識(shí)。集合思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想。由于它比較抽象，所以教師在教學(xué)中借助生動(dòng)有趣的事例引出問題，激發(fā)矛盾沖突，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入思考，促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)化”的學(xué)習(xí)過程。

一、設(shè)疑激思，引發(fā)認(rèn)知沖突

通過現(xiàn)場報(bào)名參加學(xué)校舉辦的“數(shù)學(xué)趣味小組”和“小小文學(xué)社”的活動(dòng)作為教學(xué)素材展開教學(xué)。當(dāng)學(xué)生通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)報(bào)名數(shù)超過了班級(jí)的總?cè)藬?shù)時(shí)，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生探尋更科學(xué)的表示方法——借助集合圖把兩個(gè)小組的關(guān)系表示出來，以解釋這一數(shù)學(xué)現(xiàn)象。

二、逐層深入，滲透數(shù)學(xué)思想方法

在本課中，孫老師著力引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、交流等活動(dòng)，由淺入深。逐層深入地滲透數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生的思維活動(dòng)，逐步形成有序的、嚴(yán)密的思考問題的意識(shí)。

1．操作探索，啟發(fā)思維。

當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾種報(bào)名情況在兩個(gè)圈里不能清楚地表示出來時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生想辦法，圈一圈、畫一畫，尋找一種清楚、科學(xué)的表示方法。遇到問題，觀察調(diào)整，是學(xué)生思維活動(dòng)的第一步。

2．質(zhì)疑辯論，深化思維。

學(xué)生匯報(bào)自己的想法時(shí)，教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)自我表達(dá)、相互質(zhì)疑、辯論的機(jī)會(huì)，把學(xué)生的思維逐步推向深入。引導(dǎo)其經(jīng)歷操作、探索、發(fā)現(xiàn)、調(diào)整、完善的過程，就是“數(shù)學(xué)化”的過程。

3．總結(jié)歸納，提升思維。

數(shù)學(xué)思想融于數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，并隱身于其后，因此，適時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)思想做出歸納、概括是十分必要的。在學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生說出圖中各部分所表示的意義，再借助直觀圖從不同角度思考，根據(jù)數(shù)據(jù)列式計(jì)算出總?cè)藬?shù)。在這個(gè)過程中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題一般方法的規(guī)律性，以及不同方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步感受到集合思想的應(yīng)用價(jià)值，使學(xué)生的思維上升到更為抽象的理性認(rèn)識(shí)領(lǐng)域，經(jīng)歷從現(xiàn)象到問題再到本質(zhì)的深刻思考。

三、實(shí)踐運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)化的過程

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決生活中的實(shí)際問題，使學(xué)生學(xué)以致用是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一。最后，教師出示這樣一組數(shù)據(jù)：師范大學(xué)外語系共有50名同學(xué)擔(dān)任大冬會(huì)的志愿者，他們中間會(huì)說英語的有39人，會(huì)說日語的有20人。把前面具體形象的圖形轉(zhuǎn)化成抽象的文字，讓學(xué)生運(yùn)用集合的思想解決實(shí)際問題，從整體上對(duì)知識(shí)進(jìn)行鞏固，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用意識(shí)，也使其對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題的具體操作方式有更深刻的了解。這樣有利于學(xué)生活化所學(xué)知識(shí)，提高形成獨(dú)立分析、解決問題的能力。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的高度概括，會(huì)給學(xué)生留下長久的思想激動(dòng)和對(duì)知識(shí)的深刻理解，在一段時(shí)間后，他們可能會(huì)把具體的知識(shí)淡忘了，但從數(shù)學(xué)角度去思考問題的方式卻將伴隨終身。我們進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，是通過數(shù)學(xué)知識(shí)和觀念的培養(yǎng)。讓學(xué)生形成一種數(shù)學(xué)頭腦，將數(shù)學(xué)知識(shí)真正建立在數(shù)學(xué)思想方法基礎(chǔ)之上，真正促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)化”的過程，用思想方法指導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，讓學(xué)生能將知識(shí)和方法用于今后的工作和生活之中。

個(gè)人簡介

孫明特級(jí)教師、中學(xué)高級(jí)教師，省優(yōu)秀教師、骨干教師、數(shù)學(xué)學(xué)科最佳教師，哈爾濱市首批學(xué)科帶頭人。2008年北京奧運(yùn)會(huì)火炬手，曾先后4次獲全國數(shù)學(xué)課堂教學(xué)大賽一等獎(jiǎng)。在全市推出了以“精雕細(xì)琢、融情寓理、潤澤生命”為題的“孫明教學(xué)風(fēng)格研討會(huì)”。