淺談向量在平面幾何解題中的應(yīng)用

李昊翔

【摘要】在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，向量是重要的組成部分，向量將“數(shù)”與“形”合為一體，兼具代數(shù)及幾何的雙重性質(zhì)。在平面幾何解題中，運(yùn)用向量方法可以更清晰地明確代數(shù)與幾何之間的關(guān)系，為這類數(shù)學(xué)問題提供重要的解決思路和方法。本文主要針對(duì)向量的概念、特點(diǎn)以及向量在平面幾何解題中的應(yīng)用進(jìn)行分析探討。

【關(guān)鍵詞】向量 平面幾何 應(yīng)用 問題

【中圖分類號(hào)】G634.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）38-0128-02

一、概述

1.向量的概念與特點(diǎn)

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，向量是具有大小和方向的量，沒有方向的量稱為數(shù)量，帶有方向的量稱為向量，用一條帶有箭頭的線段來表示。其中箭頭的方向代表向量的方向，線段的長度就代表向量的大小。向量不僅代表著幾何及代數(shù)形式的兩種身份，更能將數(shù)形融為一體，構(gòu)成新的知識(shí)點(diǎn)。正是由于這個(gè)特點(diǎn)，向量知識(shí)以及向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)學(xué)科中運(yùn)用較為廣泛。在數(shù)學(xué)體系中，平面幾何具有重要地位，常規(guī)的解題方法往往比較復(fù)雜，如果采用向量方法進(jìn)行數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化，就可以在很大程度上簡化解題過程。

2.向量記法

3.向量與實(shí)數(shù)的乘積

4.向量的坐標(biāo)運(yùn)算

向量是一條具有方向的線段，其起點(diǎn)坐標(biāo)與終點(diǎn)坐標(biāo)之間的差就為向量的坐標(biāo)，兩個(gè)向量坐標(biāo)相加則為向量和的坐標(biāo)，兩個(gè)坐標(biāo)之間的差就為向量差的坐標(biāo)。在平面直角坐標(biāo)系，一條向量由且僅由其起點(diǎn)及終點(diǎn)確定，換句話說，就是被其在兩條坐標(biāo)軸上的射影所確定。一般情況下，我們?nèi)稳蓷l相交的直線作為參考系，那么任何一條向量也可以由在這兩條直線上的射影共同確定。

二、向量在平面幾何解題中的應(yīng)用

1.提高創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思維

在平面幾何解題過程中，采用平面向量方法，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的創(chuàng)新性內(nèi)容，通過坐標(biāo)對(duì)平面向量進(jìn)行刻畫，能夠?qū)⒋鷶?shù)的運(yùn)算性質(zhì)及幾何圖形的特征同時(shí)反映出來，在進(jìn)行平面幾何解題中具有重要作用。例如：

已知等腰△ABC，AB=AC，D為BC邊上中點(diǎn)，DE⊥AC，F(xiàn)為DE中點(diǎn)。求證：AF⊥BE。

2.思維轉(zhuǎn)換融合，利于簡化解題過程

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，思維轉(zhuǎn)換有利于將不同的知識(shí)建立彼此間的聯(lián)系。平面幾何圖形中，點(diǎn)可以用向量表示，圖形整體就可以被看成是很多向量的集合，然后就可以通過代數(shù)運(yùn)算對(duì)平面幾何圖形中的位置關(guān)系進(jìn)行度量。采用向量方法解決平面幾何問題能夠避免傳統(tǒng)解題中所需的大量邏輯論證，大大簡化解題過程。例如：

三、向量在平面幾何解題應(yīng)用中需要注意的問題

（1）在運(yùn)用向量進(jìn)行平面幾何解題過程中，需要注意的是：如果要求求出某點(diǎn)的坐標(biāo)，需要對(duì)其終點(diǎn)和起點(diǎn)進(jìn)行明確，通常需要采用消除法進(jìn)行求解；如果出現(xiàn)多個(gè)解，需要對(duì)每個(gè)解進(jìn)行驗(yàn)證，避免出現(xiàn)增根或失根問題。

（2）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對(duì)平面幾何解題的學(xué)習(xí)是在學(xué)習(xí)平面向量后才開展的，沒有采用融合的方式進(jìn)行，就容易導(dǎo)致平面向量與幾何解題的融合程度比較低。

四、加強(qiáng)向量方法學(xué)習(xí)的建議

向量法對(duì)于平面幾何解題具有重要的應(yīng)用意義，要正確運(yùn)用向量法求解平面幾何問題，首先，要從比較熟悉的平面幾何問題開始，體會(huì)到向量的工具性；其次，要充分挖掘課本素材，從有關(guān)的定理、公式、以及案例學(xué)習(xí)入手，提高向量應(yīng)用意識(shí)；最后，可以對(duì)問題結(jié)論加以利用和引申，從而簡化解題過程。

參考文獻(xiàn)：

[1]王玉光.自由向量在解析幾何中的應(yīng)用[J].高師理科學(xué)刊，2016，11：27-28.endprint