成功之中抓反思

陸紅艷

【摘 要】解題過后再反思是我們廣大數(shù)學(xué)教師都需要做的一項(xiàng)重要工作，也是學(xué)生所必備的一項(xiàng)基本學(xué)習(xí)技能。根據(jù)所選的典型例題對(duì)于知識(shí)的認(rèn)知過程及“成功之中抓反思”的深刻體會(huì)，對(duì)于廣大師生養(yǎng)成良好的自覺反思的習(xí)慣是至關(guān)重要的。

【關(guān)鍵詞】成功；反思；數(shù)學(xué)；解法；應(yīng)用

作為一名高中數(shù)學(xué)教師，我們每天都會(huì)解題，每天都會(huì)不斷地進(jìn)行總結(jié)，但更多的時(shí)候我們都是解題成功之后就沒有拿更多的時(shí)間去思考一下這道題更多的解題思路，或是自己的這種解法是否更加簡(jiǎn)便，能否具備通用性。下面我就借用對(duì)一道高考題談一下我自己的體會(huì)。

原題如下：

題目：（2013年高考新課標(biāo)卷Ⅱ第11題）設(shè)拋物線C：y=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，MF=5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)（0，2），則C的方程為（ ）

A.y=4x或y=8x B.y=2x或y=8x

C.y=4x或y=16x D.y=2x或y=16x

我的原來的解法是比較常規(guī)而且較繁瑣，費(fèi)事較多，因此雖然題目解對(duì)了，但我并不滿意，于是我進(jìn)行了認(rèn)真地反思：解得不好的原因是題目中一定有個(gè)重要的隱含條件未被發(fā)掘出來，或某種規(guī)律性的東西未被揭示出來而加以利用所致。

基于這種想法，如下圖所示，我作MF⊥y軸，N為垂足，目的是將題目中的所有數(shù)據(jù)在圖形中標(biāo)注出來，然后進(jìn)行觀察、分析、研究，很快就可以發(fā)現(xiàn)：NM+OF=x+=FM這個(gè)重要的隱含條件。即：直角梯形NOFM的上、下兩底邊之和等于斜腰。

聯(lián)想到梯形中位線定理，便知此時(shí)中位線長(zhǎng)為斜腰長(zhǎng)之半。于是得到一個(gè)一般性結(jié)論：如果一個(gè)直角梯形的上、下兩底之和等于斜腰，那么以斜腰為直徑的圓與直角腰相切于直角腰的中點(diǎn)。

回到原題便得已知點(diǎn)（0，2）為ON的中點(diǎn)，故可得：y=y=4，x===。

從而產(chǎn)生了第一種解法，姑且把它說成解法一。

能夠在解題中有所發(fā)現(xiàn)而獲得一種較為簡(jiǎn)單的解法，心情是我們廣大高中數(shù)學(xué)教師所不可言喻的。然而在高興之余，但我仍有一些困惑，因?yàn)轭}目的本質(zhì)尚未揭示出來，但我還不能用十分簡(jiǎn)捷的語言概括出此類問題的結(jié)果，這就促使我進(jìn)一步認(rèn)真地在思考、再探索。

于是我把p=2時(shí)p=8時(shí)的兩個(gè)直角梯形都畫出來，如圖所示：

圖中的Q分別在相應(yīng)的準(zhǔn)線上，由于只存在圖中的兩種使得OM=MF=5D的可能性，故問題有且只有兩解。

注意到圖1中的F點(diǎn)恰好是圖2中的P點(diǎn)，而圖1中p的點(diǎn)又恰好是圖2中的F點(diǎn)，這就說明，x是某個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，又注意到P點(diǎn)也在以MF為直徑的圓上，因此，這個(gè)一元二次方程很容易求出來，因而得到

解法二：由切割線定理OPOF=（ON），即得

和x是一元二次方程 的兩個(gè)根，解

之得： 故=1或=4。故選C答案。

（注：當(dāng)然，也可以將 或 代入拋物線方程而得到8p=16或2p=16，也可選出C答案。）

又在Rt△FPM中FM=5PM=4，故FP=3，則OP=+3或OP=-3，同樣利用切割線定理又可得到

解法三：（+3）=4或（-3）=4。解之取正根，可得：=1或=4。故選C答案。

在難易程度上解法二、揭發(fā)三與解法一相當(dāng)，雖然在解法一的基礎(chǔ)上又補(bǔ)充了兩種解法，但我希望的結(jié)果仍未出現(xiàn)，只能算是得到了一些“副產(chǎn)品”。不過“副產(chǎn)品”積累多了對(duì)培養(yǎng)思維的靈活性、開闊性還是很有好處的。

前面得到FP=3。另一方面，又有FP=x-或FP=-x，可合并成FP=

-

x，于是又得到

解法四：

-

x=

-（5-

）=P-5=3 p=5-

3=2或p=5+3=8故選C答案。

至此，我忽然看見了希望的曙光，p的值很有可能就是MF與其在x軸上的射影長(zhǎng)差或和。

我立刻由圖1，圖2加以驗(yàn)證，這就是下面的另一種解法

解法五：圖1中p=QM-FP=5-3=2，

圖2中p=QM-FP=FM+FP=5+3=8.故選C答案。

將結(jié)果用三角函數(shù)的形式寫下來，就有

解法六：設(shè)MF與x正方向所成的角為θ，則p=QM-FMcosθ=MF（1-cosθ）.

圖1中cosθ=，圖2中cosθ=-.故得：p=5（1-）=2或p=5（1-）.故選C答案。

寫到這里我不禁打了自己一下腦袋，焦半徑公式“MF=”我原本是知道的呀，為什么起初會(huì)想不到用它呢？其實(shí)原因很簡(jiǎn)單，如果知道θ或θ的三角函數(shù)和p，我肯定會(huì)用它來求MF，但我的頭腦中卻缺乏在知道MF及θ時(shí)，也可以用它來求p這樣一種意識(shí)，好在亡羊補(bǔ)牢，為時(shí)不晚，我終于還是用上了，更為重要的是強(qiáng)化了我對(duì)焦半徑公式的認(rèn)識(shí)和自覺應(yīng)用該公式的意識(shí)，我堅(jiān)信，今后再遇見類似的題，即便題目的面貌改變了，性質(zhì)轉(zhuǎn)化了，內(nèi)容發(fā)展了，我也能隨機(jī)應(yīng)變，妙用該公式。想到這些，我欣喜若狂，如獲珍寶。說到反思，這難道不就是一種深刻的反思嗎？

綜上所述，我更加清醒地認(rèn)識(shí)到，我們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)不是一次完成的，而是要經(jīng)歷一個(gè)曲折的、漫長(zhǎng)的、由淺入深的認(rèn)識(shí)過程。而對(duì)于學(xué)會(huì)反思，養(yǎng)成自覺反思的良好習(xí)慣，就能縮短我們所經(jīng)歷的這個(gè)認(rèn)識(shí)過程，最終培養(yǎng)我們高效率的學(xué)習(xí)能力。特別是對(duì)于我們?cè)诮虒W(xué)一線的老師而言，這樣的良好習(xí)慣我們不僅要如魚得水地應(yīng)用，更要潛移默化地傳授給學(xué)生，使他們?cè)趯W(xué)習(xí)上達(dá)到事半功倍的效果，實(shí)現(xiàn)真正意義上的雙豐收。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王申懷.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修2-1A版，人民教育出版社，2013.4