函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)求法探討

楊淑菊

摘要： 高階導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，本文結(jié)合實(shí)例對(duì)高階導(dǎo)數(shù)的求法進(jìn)行探討。

Abstract： Higher order derivative is an important and difficult point in the study of advanced mathematics. This paper discusses the solution of higher order derivatives with examples.

關(guān)鍵詞： 高階導(dǎo)數(shù)；直接法；公式法

Key words： higher order derivative；direct method；formula method

中圖分類號(hào)：O174 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2017）32-0202-02

0 引言

高階導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，高等數(shù)學(xué)課程教材中關(guān)于函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)大部分都是簡(jiǎn)單地給出概念，并對(duì)幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)求高階導(dǎo)數(shù)，本文結(jié)合實(shí)例對(duì)函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的求法進(jìn)行了探討。

1 直接法

直接法是指按高階導(dǎo)數(shù)的定義逐階求導(dǎo)，找出規(guī)律，寫出n階導(dǎo)數(shù)，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

例1 求函數(shù)y=ln（1-2x）在x=0處n階導(dǎo)數(shù)y（n）（0）。

解：y′==-2（1-2x）-1，

y″=（-2）2（-1）（1-2x）-2=-22（1-2x）-2

y′″=（-2）3（-1）（-2）（1-2x）-3=-232?。?-2x）-3

y（4）=（-2）4（-1）33！（1-2x）-4=-243?。?-2x）-4

一般地，可得y （n）=-2n（n-1）?。?-2x）-n；y（n）（0）=-2n（n-1）！

例2 設(shè)y=，求y（n）（n？叟2）。

分析：先將有理假分式利用多項(xiàng)式的除法化為一個(gè)多項(xiàng)式與真分式之和的形式，再將真分式拆分成部分分式之和。

解：y==（x+1）+

=（x+1）+-

y′=1+（-1）[6（x-3）-2-5（x-2）-2]；

y″=（-1）2×2！[6（x-3）-3-5（x-2）-3]

y′″=（-1）33！[6（x-3）-4-5（x-2）-4]

一般地，可得y（n）=（x+1）（n）+-

y（n）=（-1）nn！[6（x-3）-1-n-5（x-2）-1-n]

根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)是一種常用的方法，用這種方法的關(guān)鍵和核心是分析函數(shù)前幾階導(dǎo)數(shù)的規(guī)律性后，寫出n階導(dǎo)數(shù)，在用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。應(yīng)用這種方法要求學(xué)生具備較強(qiáng)的歸納總結(jié)的能力。

2 間接法

利用已知函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式，把要求的函數(shù)轉(zhuǎn)化成高階導(dǎo)數(shù)已知的函數(shù)，從而求出要求的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的方法。

例3 設(shè)y=sin4xcos2xcos3x，求y（n）。

解：

y=（sin6x+sin2x）cos3x=（sin6xcos3x+sin2xcos3x）

=（sin9x+sin3x+sin5x-sinx）

=9nsin9x++3nsin3x++5nsin5x+-sinx+

一般地，由sinn？琢，cosm？茁（n，m，？琢，？茁，均為自然數(shù)）的和、差、積所構(gòu)成的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，利用三角函數(shù)中的積化和差公式與倍角公式把函數(shù)的次數(shù)降低，變?yōu)閟inkx，coskx再用公式（sinkx）（n）=knsinkx+，（coskx）（n）=kncoskx+將所求函數(shù)n的階導(dǎo)數(shù)寫出。將求未知函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)是一種常用的求高階導(dǎo)數(shù)的方法。

3 用萊布尼茨公式

設(shè)函數(shù)u=u（x），v=（x）都在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù)，則（uv）（n）=Cuv，其中u（0）=u，v（0）=v。對(duì)于函數(shù)是兩項(xiàng)乘積，且其中一項(xiàng)為多項(xiàng)式，用萊布尼茨公式比較方便。

例4設(shè)y=x3sinx，求y（6）（0）

解：（x）=x，（x）=3x，（x）=6x，（x）=6，（x）=0（n？叟4），

y=Cx（sinx）+C3x（sinx）+C6x（sinx）+C

6（sinx）

y（0）=C6sinx+=-120

對(duì)于形式為g（x）=xf（x）或h（x）=x2f（x）的函數(shù)，經(jīng)常用萊布尼茨公式求高階導(dǎo)數(shù)，此時(shí)：

g（x）=Cxf（x）+Cx′f（x）=xf（x）+nf（x）；

h（x）=Cxf（x）+2xCf（x）+2Cf（x）

4 利用函數(shù)的泰勒展開式

例5 設(shè)y=x3sinx，求y（0）

解：（1）y=x3sinx無(wú)窮階可導(dǎo)，先將其抽象展開為：

y=x

（2）y=x3sinx=x3x-x3+o（x3）=x4-x6+o（x6）

對(duì)比（1），（2）中的系數(shù)，則=-，所以y （6）（0）=-=120

5 總結(jié)

利用函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式，求函數(shù)在一點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)先寫出函數(shù)的抽象展開式，再將題目中具體的函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，通過(guò)比較系數(shù)可求出f （n）（x0）或者f （n）（0）。

參考文獻(xiàn)：

[1]張宇.高等數(shù)學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2016.

[2]陳文燈，黃先開.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2015.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析上冊(cè)[M].高等教育出版社，2006.endprint